Sia f (x) funzione continua in (0, 1] tale che lim x!0+f (x

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(1)

15. ESERCIZI su INTEGRALI IMPROPRI Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Sia f (x) funzione continua in (0, 1] tale che lim

x!0+f (x) = +1. Allora A.

Z 1 0

f (x) dx diverge

B.

Z 1

0

f (x)

x diverge C.

Z 1 0

f (x)

px converge

2. Sia f (x) funzione continua e positiva in [a, +1) tale che lim

x!+1f (x) = 0. Allora A.

Z +1 a

f (x) dx esiste (finito o infinito)

B. Se Z +1

a

f (x) dx converge allora Z +1

a

f2(x) dx converge

C. Se Z +1

a

f (x) dx diverge allora Z +1

a

f2(x) dx diverge

3. Sia f (x) funzione continua in (0, 1] tale che lim

x!0+

px f (x) = +1. Posto F (x) = Z 1

x

f (t) dt, si ha che

A. esiste lim

x!0+F (x) B. lim

x!0+F (x)2 R C. lim

x!0+F (x) = +1

Calcolare i seguenti integrali impropri

4.

Z 1

0

ex e2x 1dx 5.

Z 1 0

x 3

x2 2xdx 6.

Z 2 0

| log x|

x dx

7.

Z +1 1

log(1 + x) x2 dx 8.

Z +1 1

2x + 1 x3+ xdx 9.

Z +1 2

1

x2 arctanx 2x+2dx

. Risolvere gli esercizi 1-10 del libro di testo

102

(2)

Stabilire se i seguenti integrali impropri risultano convergenti

10.

Z 1 0

epx p 1 + x sinh x log(1 + x2)dx 11.

Z 1 0

sin x ex2 coshp

x dx

12.

Z 1

0

4

q x

log(1+x) 1 1 cosp

x dx

13.

Z +1 1

log(1 + x2) x3log x dx

14.

Z +1 1

2 arctan x px(ex 1) dx

15.

Z +1

0

px3+ x2

sinh x log(1 + x) dx

. Risolvere gli esercizi 11-30 del libro di testo

Stabilire per quali valori di ↵2 R i seguenti integrali impropri risultano convergenti

16.

Z 1 0

1 cos x xsin2x dx 17.

Z 1 0

sin x p3

1 + ↵x cosp x dx 18.

Z +1

1

arctan x p3

x4+ x p3

x4 1 dx

19.

Z +1

1

arctan x (log x + x)2 dx 20.

Z +1 0

p 1

x + x dx 21.

Z +1

0

sinh x x cosh x p

1 + x2dx

. Risolvere gli esercizi 31-56 del libro di testo Studiare le seguenti funzioni integrali 22. F (x) =

Z x

1

e1 tp3

t 1 dt

23. F (x) = Z x

2

1

(1 + t2) log(1 + t2)dt 24. F (x) = x 1

Z x 0

cos1tdt

25. G(x) = Z px

2

1

log(1 + t2)dt

. Risolvere gli esercizi 57-60 del libro di testo

103

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