15. ESERCIZI su INTEGRALI IMPROPRI Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.
1. Sia f (x) funzione continua in (0, 1] tale che lim
x!0+f (x) = +1. Allora A.
Z 1 0
f (x) dx diverge
B.
Z 1
0
f (x)
x diverge C.
Z 1 0
f (x)
px converge
2. Sia f (x) funzione continua e positiva in [a, +1) tale che lim
x!+1f (x) = 0. Allora A.
Z +1 a
f (x) dx esiste (finito o infinito)
B. Se Z +1
a
f (x) dx converge allora Z +1
a
f2(x) dx converge
C. Se Z +1
a
f (x) dx diverge allora Z +1
a
f2(x) dx diverge
3. Sia f (x) funzione continua in (0, 1] tale che lim
x!0+
px f (x) = +1. Posto F (x) = Z 1
x
f (t) dt, si ha che
A. esiste lim
x!0+F (x) B. lim
x!0+F (x)2 R C. lim
x!0+F (x) = +1
Calcolare i seguenti integrali impropri
4.
Z 1
0
ex e2x 1dx 5.
Z 1 0
x 3
x2 2xdx 6.
Z 2 0
| log x|
x dx
7.
Z +1 1
log(1 + x) x2 dx 8.
Z +1 1
2x + 1 x3+ xdx 9.
Z +1 2
1
x2 arctanx 2x+2dx
. Risolvere gli esercizi 1-10 del libro di testo
102
Stabilire se i seguenti integrali impropri risultano convergenti
10.
Z 1 0
epx p 1 + x sinh x log(1 + x2)dx 11.
Z 1 0
sin x ex2 coshp
x dx
12.
Z 1
0
4
q x
log(1+x) 1 1 cosp
x dx
13.
Z +1 1
log(1 + x2) x3log x dx
14.
Z +1 1
⇡ 2 arctan x px(ex 1) dx
15.
Z +1
0
px3+ x2
sinh x log(1 + x) dx
. Risolvere gli esercizi 11-30 del libro di testo
Stabilire per quali valori di ↵2 R i seguenti integrali impropri risultano convergenti
16.
Z 1 0
1 cos x x↵sin2x dx 17.
Z 1 0
sin x p3
1 + ↵x cosp x dx 18.
Z +1
1
arctan x↵ p3
x4+ x p3
x4 1 dx
19.
Z +1
1
arctan x (log x + x↵)2 dx 20.
Z +1 0
p 1
x + x↵ dx 21.
Z +1
0
sinh x x↵ cosh x p
1 + x2dx
. Risolvere gli esercizi 31-56 del libro di testo Studiare le seguenti funzioni integrali 22. F (x) =
Z x
1
e1 tp3
t 1 dt
23. F (x) = Z x
2
1
(1 + t2) log(1 + t2)dt 24. F (x) = x 1
Z x 0
cos1tdt
25. G(x) = Z px
2
1
log(1 + t2)dt
. Risolvere gli esercizi 57-60 del libro di testo
103
