L’intérêt de l’exercice réside dans le calcul des termes de la série de Fourrier, qui permet de montrer que la convergence est très rapide si l’excitation est simple.

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Exercice III-3: Excitation périodique, série de Fourrier

L’intérêt de l’exercice réside dans le calcul des termes de la série de Fourrier, qui permet de montrer que la convergence est très rapide si l’excitation est simple.

Étudions les mouvements plans du système représenté par la figure ci- contre.

La barre de masse m, de longueur 3a est munie d’une surcharge (supposée ponctuelle) de masse M reliée au bâti par un ressort linéaire de raideur k. La liaison pivot en O est supposée parfaite. Le champ de pesanteur est pris en compte, et nous nous plaçons dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements.

Une force F constante est appliquée verticalement en un point P

tel que OP = u(t). La fonction donnant la position du point P est une fonction périodique de période T, d’amplitude a. Elle est représentée par la figure ci-contre. A l’instant initial, la barre est en équilibre dans la position horizontale θ = 0 , le ressort est non contraint, et OP = a

Effectuez la mise en équations de ce problème

M G

g

x G _o θ

k a

2a

F G

P

t u (t)

3a/2

T a

a/2

En déduire la pulsation propre des petites oscillations et la condition d’équilibre du système à l’instant initial.

Déterminez la solution particulière en régime forcé, vous utiliserez une décomposition en série de Fourrier du déplacement u(t).

Calculer l’amplitude des mouvements pour les premiers termes de la série.

Les caractéristiques du système sont les suivantes : m = 60 Kg , F = 1000 N

Le ressort se comprime de 2 cm, sous une charge de 100 Kg En déduire la valeur de M pour g = 10 m/s

u(t) est d’amplitude a = 1m , et de période T = 1,25 s

Donner la forme de la solution générale du problème (réponse complète).

Corrigé de l’exercice III-3: Excitation périodique, série de Fourrier

Mise en équation

Objectif : équations du mouvement Î On traite le Pb réel à 1 paramètre θ

2Ec =  I θ 2 avec

2 2

2 (3 )

12 2

m a a

I = Ma + + ⎜ ⎟ m ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ^{Î 2Ec =} ( ^{M + m a} ) ^{2 θ  2}

( )

2 2 2

sin sin 1 sin sin

2 2 ^o

Ep = − Mga θ + mg a θ + ka θ − θ

( ) ^{2 2}

2 Ep ≅ − 2 M + m ga θ + ka θ

( ) 1 ( )

. . ^{t t}

F o

T F P F y u y Fu

δ = G G δ = − G δθ G ≅ − δθ

Équations de Lagrange :

( ^{M + m a} ) ^{2 θ  + ka 2 θ ≅} ( ^{M − m / 2} ) ^{ga − Fu ( ) t Î} o ²

k M m ω =

+

De plus pour u ^{( ) t} = a le système est à l’équilibre dans la position horizontale Î ^{F =} ( ^{M − m / 2} ) ^g

Décomposition en série de Fourier de u(t)

Ressort non contraint pour θ = 0 Î θ

= ₀

Hypothèse des petits mouvements

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t u (t)

3a/2

T a

a/2

( ) t

u est une fonction impaire u ⁽ − ^{t )} = − u ^{( ) t} Î a _n = 0

Î ( )

1

sin( )

t n

n

u a ^∞ b n t ω

=

= + ∑ ^{ω = 2} _T ^π

avec

0 2

2 sin( ) sin( )

2 2

T T

n

a a

b n t dt n t dt

T ^⎛ ω ω ^⎞

= ⎜ + − ⎟

⎝ ∫ ∫ ⎠

( )

/ 2

0 / 2

cos cos 2

1 ( 1)

T T

n n

T

a n t n t a

b T n n n T

ω ω

ω ω ω

⎛ ⎡ − ⎤ ⎡ ⎤ ⎞

= ⎜ ⎜ ⎝ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ + ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎟ ⎟ ⎠ = − −

Si n pair b _n = 0 et pour n = 2 p + 1 : 4 2 (2 1)

n

a a

b ⁼ n T ω ⁼ p + π

Finalement ( )

0

(2 1) (2 1)

2 sin

t

p

p p

u a a ω t

π

∞

=

+ +

= + ∑

Reportons ce résultat dans l’équation du mouvement, en tenant compte des conditions d’équilibre,

( )

( )

2 0

0

(2 1) (2 1)

2 / 2 sin

p

p p

M m g t

M m a θ ω θ ω

π

∞

=

+ +

+ ≅ − −

+ ∑



Nous cherchons une solution particulière de la forme

0 0

(2 1)

sin sin

p p p

p p

p t t

θ ^∞ θ ω ^∞ θ ω

= =

= ∑ + = ∑

Î ^{p 2} p ^{1 1} ( ² ) o ^{2 1 2} p

F M m a

θ + π ω ω

⎛ ⎞

⎛ ⎞

= − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎟ ⎠ ^avec ω ^p = ^{(2 p} + ¹⁾ ω

( ) ² ( 2 1 ) ² ( 0 ) ²

2 1

1 2 1

1 /

p

o p

p

F M m a

θ + πω + ω ω

⎛ ⎞

⎛ ⎞

= − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎟ ⎠

( 2 1 ) ² ( 0 ) ²

2 1

2 1 1

1 /

p

p p

F θ ka

π + + ω ω

⎛ ⎞

⎛ ⎞

= − ⎜ ⎝ ⎟⎜ ⎠⎝ ⎜ − ⎟ ⎟ ⎠

Application numérique

Raideur

3

4 2

10 5 10 /

k = 2 10 ₋ = N m Masse : 130

2 m F

M Kg

= + g =

Pulsations : _o k 16, 22 /

M m rd s

ω = =

+ ^et

2 5, 03 / rd s T

ω = π =

D’où 2

30,31 F

ka π ^{= − et} ₀ ^{0, 31} ω

ω ⁼

( )

0 2

30, 31 1 30, 31*1,106 1 0, 31

θ = − ^⎛ ⎜ ^⎞ ⎟ = −

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

( )

1 2

30, 31 1/ 3 30, 31* 2, 452 1 9 0, 31

θ = − ^⎛ ⎜ ^⎞ ⎟ = −

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

( )

2 2

30, 31 1/ 5 30, 31* 0,143 1 25 0,31

θ = − ^⎛ ⎜ ^⎞ ⎟ =

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

Les deux premiers termes

correspondent à des fréquences plus basses que celle de la résonance

A partir de ce terme la série est

décroissante.

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( )

3 2

30, 31 1/ 7 30,31* 0, 038 1 49 0,31

θ = − ^⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − ^⎞ ⎟ ⎟ ⎠ =

( )

4 2

30, 31 1/ 9 30,31* 0, 016 1 81 0, 31

θ = − ^⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − ^⎞ ⎟ ⎟ ⎠ =

Réponse complète : _{0 0}

0

sin cos sin

p p

p

t A t B t

θ ^∞ θ ω ω ω

=

= ∑ + +

À t = 0 ^{( 0)}

( 0)

0 0

t

t

θ θ

=

=

⎧ =

⎨ =

⎩  ^{Î 0}

0

0

p p 0

p

A

ω θ B ω

∞

=

⎧ =

⎪ ⎨ + =

⎪ ⎩ ∑

D’où ₀

0 0

sin ^p sin

p p

p

t ω t

θ θ ω ω

ω

∞

=

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

∑

Simulation Matlab

La figure ci-dessous donne une représentation de l’excitation et de la réponse forcée pour p variant de zéro à 2,4,6 et 8 termes

Analyse : La convergence sur la réponse est comme prévue très rapide, même si l’excitation nécessite un nombre plus important de terme pour être correctement représentée à cause des singularités de la fonction donnée.

Il est possible de tronquer le

développement en série à partir

de ce terme.