Exercices de cours du chapitre III : Système à 1 DDL
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Exercice III-3: Excitation périodique, série de Fourrier
L’intérêt de l’exercice réside dans le calcul des termes de la série de Fourrier, qui permet de montrer que la convergence est très rapide si l’excitation est simple.
Étudions les mouvements plans du système représenté par la figure ci- contre.
La barre de masse m, de longueur 3a est munie d’une surcharge (supposée ponctuelle) de masse M reliée au bâti par un ressort linéaire de raideur k. La liaison pivot en O est supposée parfaite. Le champ de pesanteur est pris en compte, et nous nous plaçons dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements.
Une force F constante est appliquée verticalement en un point P
tel que OP = u(t). La fonction donnant la position du point P est une fonction périodique de période T, d’amplitude a. Elle est représentée par la figure ci-contre. A l’instant initial, la barre est en équilibre dans la position horizontaleθ =0, le ressort est non contraint, et OP = a
Effectuez la mise en équations de ce problème
M G
g
xGo θ
k a
2a
FG
P
t u(t)
3a/2
T a
a/2
En déduire la pulsation propre des petites oscillations et la condition d’équilibre du système à l’instant initial.
Déterminez la solution particulière en régime forcé, vous utiliserez une décomposition en série de Fourrier du déplacement u(t).
Calculer l’amplitude des mouvements pour les premiers termes de la série.
Les caractéristiques du système sont les suivantes : m = 60 Kg , F = 1000 N
Le ressort se comprime de 2 cm, sous une charge de 100 Kg En déduire la valeur de M pour g = 10 m/s2
u(t) est d’amplitude a = 1m , et de période T = 1,25 s
Donner la forme de la solution générale du problème (réponse complète).
