Condizione di radiazione e unicità per la propagazione guidata di onde

(1)

Condizione di radiazione e unicit` a per la propagazione guidata di onde

Giulio Ciraolo

Dipartimento di Matematica Universit`a di Bologna

In collaborazione con Prof. Rolando Magnanini (Universit`a di Firenze).

Bari, Settembre 2007

(2)

Guide d’onda rettilinee. Una funzione di Green Unicit`a delle soluzioni

Outline

1 Guide d’onda rettilinee. Una funzione di Green Introduzione al problema

Guide d’onda 2-D

2 Unicit`a delle soluzioni Motivazioni

Condizione di radiazione di Sommerfeld Un teorema di unicit`a delle soluzioni Verifica

(3)

Guide d’onda e fibre ottiche

Tipi di energia Energia guidata Energia irraggiata Energia evanescente

(4)

Introduzione al problema Guide d’onda 2-D

Modello matematico in 2-D

Equazione di Helmholtz

∆u+k²n(x )²u = f , (x , z) ∈ R².

Notazioni

n – indice di rifrazione ncl – indice di rifrazione del cladding (costante)

k – numero d’onda (2π/λ)

2-D

n funzione pari,

n =

(n_co(x ) se |x | ≤ h, n_cl altrimenti.

(5)

Guide d’onda 2-D.

Magnanini – Santosa, SIAM J. Appl. Math., 2001.

Desideriamo ‘trasformare’ l’equazione di Helmholtz

∆u + k²n(x )²u = f , (x , z) ∈ R².

n non `e costante nella variabile x ⇒ trasformata di Fourier?

n `e costante nella variabile z, ma i modi guidati oscillano senza svanire all’infinito ⇒ trasformata di Fourier?

Abbiamo bisogno di una trasformata ‘ad hoc’ che tenga conto di n(x )

⇒ teoria di Titchmarsh.

(6)

Verso una funzione di Green.

∆u(x , z) + k²n(x )²u(x , z) = f

↓

∆u(x , z) + [k²n_∗²− q(x)]u(x, z) = f

n∗= max n(x ) q(x ) = k²[n∗²− n(x)²]

Moltiplicando per v e integrando per parti:

U_zz(z, λ) + (k²n²_∗− λ)U(z, λ) = F

U(z, λ) =

+∞

R

−∞

u(x , z)v (x , λ)dx , v soluzione di v⁰⁰+ (λ − q)v = 0.

U(z, λ) =

+∞

Z

−∞

e^{i |z−ζ|}

√

k²n²_∗−λ

2ipk²n²_∗− λ F (ζ, λ)d ζ

Formula d’inversione ⇒ u(x , z) =

+∞

R

0

U(z, λ)v (x , λ)d ρ(λ),

⇒ u(x, z) = Z

R²

G (x , z; ξ, ζ)f (ξ, ζ).

(7)

Verso una funzione di Green.

∆u(x , z) + k²n(x )²u(x , z) = f

↓

∆u(x , z) + [k²n_∗²− q(x)]u(x, z) = f

n∗= max n(x ) q(x ) = k²[n∗²− n(x)²]

Moltiplicando per v e integrando per parti:

U_zz(z, λ) + (k²n²_∗− λ)U(z, λ) = F

U(z, λ) =

+∞

R

−∞

u(x , z)v (x , λ)dx , v soluzione di v⁰⁰+ (λ − q)v = 0.

U(z, λ) =

+∞

Z

−∞

e^{i |z−ζ|}

√

k²n²_∗−λ

2ipk²n²_∗− λ F (ζ, λ)d ζ

Formula d’inversione ⇒ u(x , z) =

+∞

R

0

U(z, λ)v (x , λ)d ρ(λ),

⇒ u(x, z) = Z

R²

G (x , z; ξ, ζ)f (ξ, ζ).

(8)

Autovalori e autofunzioni

v⁰⁰+ [λ − q(x )]v = 0, x ∈ R.

vj(x , λ) =











φj(h, λ) cos Q(x − h) +^φ

0 j(h,λ)

Q sin Q(x − h), x > h,

φ_j(x , λ), |x| ≤ h,

φ_j(−h, λ) cos Q(x + h) +^φ

0 j(−h,λ)

Q sin Q(x + h), x < −h, Q =√

λ − d².

λ > d². vj(x , λ) limitate.

0 < λ < d². vj(x , λ) limitate se ^√d²− λ φj(h, λ) + φ⁰_j(h, λ) = 0.

Numero finito di radici {λ^jm}^M_m=1^j .

Le vj(x , λ^jm) corrispondenti tendono a zero esponenzialmente per |x | → +∞.

(9)

Classificazione delle soluzioni

Modi

I modi sono le soluzioni dell’equazione di Helmholtz della forma v (x , λ)e^{i βz}, con β =pk²n²_∗− λ.

guidati: per0 < λ < d². I modi guidati si propagano principalmente all’interno del core e svaniscono esponenzialmente all’esterno. Sono un numero finito.

irraggianti: per d² < λ ≤ n²_∗k². L’energia non si localizza all’interno del core ma si propaga in modo significativo all’esterno.

evanescenti: perλ > n²_∗k². La costante di propagazione β diventa immaginaria. Questi modi hanno un comportamento di tipo esponenziale nella direzione z.

(10)

Classificazione delle soluzioni

Modi

(11)

Classificazione delle soluzioni

Modi

(12)

Formula di risoluzione

M-S trovano una soluzione (nel senso delle distribuzioni)

dell’equazione di Helmholtz come sovrapposizione di modi guidati, irraggianti ed evanescenti:

u(x ) = Z

R²

G (x , z; ξ, ζ)f (ξ, ζ)d ξd ζ,

dove

G (x ,z;ξ,ζ)= P

j ∈{s,a}

∞

R

0 ei |z−ζ|

√

k2n2∗−λ 2i

√

k2n2∗−λ

vj(x ,λ)vj(ξ,λ)d ρ^j(λ),

con

hdρ^j,ηi=

Mj

P

m=1

r_j^mη(λ^m_j )+_2π¹

∞

R

d 2

√

λ−d 2 (λ−d 2)φj (h,λ)2+φ0

j(h,λ)2η(λ)d λ, ∀η∈C₀^∞([0,+∞)).

(13)

Esempi numerici

Parte reale della funzione di Green

Parte reale di un modo guidato Parte reale di G^rad

(14)

Motivazioni

Unicit` a delle soluzioni

G. Ciraolo – R. Magnanini, “A radiation condition for uniqueness in a wave propagation problem for 2-D open waveguides”, preprint.

(15)

Verifica

Motivazioni

Abbiamo una buona soluzione:

G = G^g + G^r + G^e=P . . . +

k²n²∗

R

d²

. . . +

∞

R

k²n²∗

. . . ma...

E unica? Sotto quali condizioni al contorno?` E quella fisicamente significativa?`

(16)

Motivazioni

Abbiamo una buona soluzione:

G = G^g + G^r + G^e=P . . . +

k²n²∗

R

d²

. . . +

∞

R

k²n²∗

. . . ma...

E unica? Sotto quali condizioni al contorno?` E quella fisicamente significativa?`

(17)

Verifica

Condizione di radiazione di Sommerfeld

L’equazione di Helmholtz

∆u + k²u = f in R^N, ha due soluzioni che tendono a zero all’infinito, rappresentanti la radiazione uscente ed entrante.

Funzioni di Green

−₄ⁱH₀⁽¹⁾(kr ), −₄ⁱH₀⁽²⁾(kr ), N = 2;

−e^ikr

4πr, −e^−ikr

4πr , N = 3;

r variabile radiale.

N=3. Equazione delle onde

∆w − wtt= −δ(x, t) ha le soluzioni

e^{−ik(t−r )}

4πr e ^e^{−ik(t+r )}_4πr .

w (x,t)=u(x)e^ikt

−−−−−−−−−→

∆u + k²u = −δ(x) ha le soluzioni

e^ikr

4πr e ^e_4πr^−ikr. Unicit`a. Condizione di radiazione di Sommerfeld (1912)

r →∞lim r^N−1² ∂u

∂r − iku

= 0 uniformemente.

(18)

Motivazioni

Condizione di radiazione di Sommerfeld

Funzioni di Green

−₄ⁱH₀⁽¹⁾(kr ), −₄ⁱH₀⁽²⁾(kr ), N = 2;

−e^ikr

4πr, −e^−ikr

4πr , N = 3;

e^{−ik(t−r )}

4πr e ^e^{−ik(t+r )}_4πr .

w (x,t)=u(x)e^ikt

−−−−−−−−−→

e^ikr

∂r − iku

= 0 uniformemente.

(19)

Verifica

Condizione di radiazione di Sommerfeld

Funzioni di Green

−₄ⁱH₀⁽¹⁾(kr ), −₄ⁱH₀⁽²⁾(kr ), N = 2;

−e^ikr

4πr, −e^−ikr

4πr , N = 3;

e^{−ik(t−r )}

4πr e ^e^{−ik(t+r )}_4πr .

w (x,t)=u(x)e^ikt

−−−−−−−−−→

e^ikr

∂r − iku

= 0 uniformemente.

(20)

Motivazioni

Condizione di radiazione di Sommerfeld. Generalizzazioni

Unicit`a di ∆u + k²n(x)²u = f , x ∈ R^N. n ≡ 1 all’esterno di un compatto:

R→∞lim Z

∂BR

∂u

∂r − iku

2

d σ = 0 ,

o

Z

R^N

∂u

∂r − iku

2

d x < +∞.

n(x) → n∞(x/|x|): lim

R→+∞

1 R

Z

BR

∂u

∂r − ikn_∞u

2

d x = 0.

(cfr. Magnus, Rellich, Miranker, J¨ager & Sait¯o, Eidus, Zhang, Perthame & Vega...)

(21)

Verifica

Sommerfeld vs guide d’onda

Problemi

n non `e costante all’esterno di un compatto.

J¨ager & Sait¯o.

Spettro puntuale → condizione di radiazione di Sommerfeld?

Letteratura russa: Nosich-Shestopalov, condizione di Reichardt.

Cosa si `e fatto

Teorema di unicit`a.

u =R Gf soddisfa la nostra condizione di radiazione.

(22)

Motivazioni

Sommerfeld vs guide d’onda

Problemi

n non `e costante all’esterno di un compatto.

J¨ager & Sait¯o.

Spettro puntuale → condizione di radiazione di Sommerfeld?

Letteratura russa: Nosich-Shestopalov, condizione di Reichardt.

Cosa si `e fatto

Teorema di unicit`a.

u =R Gf soddisfa la nostra condizione di radiazione.

(23)

Verifica

∆u + k²n(x )²u = f , (x , z) ∈ R². (Helm)

Cose note

Numero finito di γ_l ∈ (0, d²), l = 1, . . . , M;

a ciascun γl corrisponde v (x , γl) soluzione di v⁰⁰+ [γ_l − q(x)]v = 0;

v (x , γ_l)e^{i β}^l^z verifica l’equazione di Helmholtz omogenea, dove βl =√

k²n²∗−γ_l. Remarks

|x|→∞lim v (x , γ_l) = 0; (esponenzialmente).

v (x , γ_l) ortogonale ad ogni altra v (x , γ_l) e v (x , λ), λ > d².

(24)

Motivazioni

∆u + k²n(x )²u = f , (x , z) ∈ R². (Helm)

Cose note

Numero finito di γ_l ∈ (0, d²), l = 1, . . . , M;

a ciascun γl corrisponde v (x , γl) soluzione di v⁰⁰+ [γ_l − q(x)]v = 0;

v (x , γ_l)e^{i β}^l^z verifica l’equazione di Helmholtz omogenea, dove βl =√

k²n²∗−γ_l. Remarks

|x|→∞lim v (x , γ_l) = 0; (esponenzialmente).

v (x , γ_l) ortogonale ad ogni altra v (x , γ_l) e v (x , λ), λ > d².

(25)

Verifica

Decomposizione di u

Proiezioni di u su v (x , γ_l)

u_l(x , z) proiezione di u su v (x , γ_l):

u_l(x , z) = e(x , γ_l)U^j(z, λ^jm), dove U(z, γl) =

∞

R

−∞

u(ξ, z)e(ξ, γl)d ξ, e(x , γl) =_kv^v^j^{(x ,γ}^l⁾

j(·,γ_l)k₂. Scriviamo u come somma di tutte le u_l pi`u “tutto quello che avanza”, che denotiamo con u₀.

Decomposizione di u

u = u0+

M

X

l =1

u_l,

(26)

Motivazioni

Una condizione di radiazione per l’unicit` a

Teorema di unicit`a

Esiste al pi`u una soluzione debole u ∈ L²_µ(R²) di (Helm) tale che

∞

Z

0

Z

∂Ωρ

∂u0

∂ν − iknclu0

2

d `d ρ +

M

X

l =1

∞

Z

0

Z

∂Qρ

∂ul

∂ν − i βlul

2

d `d ρ < +∞.

QR = {(x , z) ∈ R²: |x |, |z| < R}, ΩR = {(x , z) ∈ R²: [x ]²_h+ z²< R²},

[x ]h= 8

><

>:

x + h, x < −h, 0, −h ≤ x ≤ h, x − h, x > h;

L²_µ(R²) = {u : R²→ C :R

R²|u(x, z)|²µ(x , z)dxdz < +∞}, dove µ = (1 + x²+ z²)^−s, con s > 1.

(27)

Verifica

Remarks

Il teorema di unicit`a vale anche con la seguente condizione di radiazione (β0 = kn_cl)

M

X

l =0

∞

Z

0

Z

∂Ωρ

∂u_l

∂ν − i β_lu_l

2

d `d ρ < +∞.

Più in generale il teorema di unicità vale per domini qualsiasi (ma non è detto che ci sia esistenza di una soluzione).

Se i modi guidati non sono presenti, scegliendo Bρ al posto di Ω_ρ, (RC) `e

Z

R²

∂u

∂r − ikn_clu

2

dx < +∞,

gi`a stata ottenuta da Rellich (con ipotesi differenti su n).

(28)

Motivazioni

Remarks

Il teorema di unicit`a vale anche con la seguente condizione di radiazione (β0 = kn_cl)

M

X

l =0

∞

Z

0

Z

∂Ωρ

∂u_l

∂ν − i β_lu_l

2

d `d ρ < +∞.

Più in generale il teorema di unicità vale per domini qualsiasi (ma non è detto che ci sia esistenza di una soluzione).

Se i modi guidati non sono presenti, scegliendo Bρ al posto di Ω_ρ, (RC) `e

Z

R²

∂u

∂r − ikn_clu

2

dx < +∞,

gi`a stata ottenuta da Rellich (con ipotesi differenti su n).

(29)

Verifica

Dimostrazione

Idee principali della dimostrazione

u1, u2∈ L²_µ(R²) due soluzioni di (Helm), allora w = u₁− u₂ ∈ L²_µ(R²) soluzione di

∆w + k²n(x )²w = 0;

w ∈ L²_µ(R²) ⇒ stime sulla crescita di w e wx per |x | → ∞;

w ∈ L²_µ(R²) e w verifica (RC) ⇒ w ∈ L²(R²);

w ≡ 0 `e la sola soluzione dell’equazione di Helmholtz che appartiene a L²(R²).

(30)

Motivazioni

Alcuni dettagli della dimostrazione

Teorema

Se w ∈ L²_µ(R²) `e una soluzione di ∆w + k²n(x )²w = 0 che soddisfa (RC), allora w ∈ L²(R²).

[Per semplicit`a, supponiamo che w sia sufficientemente regolare.]

ImR

∂Ω

w^∂w_∂νd σ = 0: seconda formula di Green ci dice che

2Im Z

∂Ω

¯ w∂w

∂νd σ = Z

Ω

(w ∆ ¯w − ¯w ∆w )dx = 0.

w₀ e w_l soddisfano l’equazione di Helmholtz omogenea.

w0, wl ∈ L²(R²):

+∞

Z

0

Z

∂Ω_ρ

»˛

˛

∂wl

∂ν

˛

2

+ β_l²|w_l|² –

d σd ρ =

+∞

Z

0

Z

∂Ω_ρ

»˛

˛

∂wl

∂ν − i β_l²w_l

˛

2–

d σd ρ < +∞.

(31)

Verifica

Alcuni dettagli della dimostrazione

Teorema

ImR

∂Ω

2Im Z

∂Ω

¯ w∂w

∂νd σ = Z

Ω

(w ∆ ¯w − ¯w ∆w )dx = 0.

w0, wl ∈ L²(R²):

+∞

Z

0

Z

∂Ω_ρ

»˛

˛

∂wl

∂ν

˛

2

+ β_l²|w_l|² –

d σd ρ =

+∞

Z

0

Z

∂Ω_ρ

»˛

˛

∂wl

˛

2–

d σd ρ < +∞.

(32)

Motivazioni

Alcuni dettagli della dimostrazione

Teorema

ImR

∂Ω

2Im Z

∂Ω

¯ w∂w

∂νd σ = Z

Ω

(w ∆ ¯w − ¯w ∆w )dx = 0.

w0, wl ∈ L²(R²):

+∞

Z

0

Z

∂Ω_ρ

»˛

˛

∂wl

∂ν

˛

2

+ β_l²|w_l|² –

d σd ρ =

+∞

Z

0

Z

∂Ω_ρ

»˛

˛

∂wl

˛

2–

d σd ρ < +∞.

(33)

Verifica

Alcuni dettagli della dimostrazione II.

Teorema

w ≡ 0 `e la sola soluzione di ∆w + k²n(x )²w = 0 in L²(R²).

Risultati di regolarit`a globale ⇒ w ∈ H²(R²). Assumiamo w 6≡ 0.

Trasformiamo con Fourier nella variabile z:

ˆ

wxx(x , t) + [k²n(x )²−t²] ˆw (x , t) = 0. w (x ,t)=ˆ +∞

R

−∞

w (x ,z)e−izt dz

ˆ

w (x , t) = a(t) cos√

λ − d²(x − h) + b(t) sin√

λ − d²(x − h), a.e. x > h, con λ = k²n_∗²− t².

Poich´e k ˆw k₂ = kw k₂ ≤ C , allora ˆw ≡ 0 per λ > d².

Se 0 < λ < d² trasformiamo con Titchmarsh nella variabile x w (x , z) = AZs(z)vs(x , λ^m_s) + BZa(z)va(x , λ^m_a),

dove Zj(z) = e^±

√k²n²_∗−λ^m_jz

.

⇒ w 6∈ L²(R²), perch´e w (x , ·) 6∈ L²(R).

(34)

Motivazioni

Alcuni dettagli della dimostrazione II.

Teorema

ˆ

R

−∞

w (x ,z)e−izt dz

ˆ

w (x , t) = a(t) cos√

λ − d²(x − h) + b(t) sin√

dove Zj(z) = e^±

.

⇒ w 6∈ L²(R²), perch´e w (x , ·) 6∈ L²(R).

(35)

Verifica

Alcuni dettagli della dimostrazione II.

Teorema

ˆ

R

−∞

w (x ,z)e−izt dz

ˆ

w (x , t) = a(t) cos√

λ − d²(x − h) + b(t) sin√

dove Zj(z) = e^±

.

⇒ w 6∈ L²(R²), perch´e w (x , ·) 6∈ L²(R).

(36)

Motivazioni

u = R Gf verifica (RC)

Teorema di esistenza

Poniamo u =R Gf , con supp(f ) compatto. Allora u ∈ L²_µ(R²) e u verifica la condizione di radiazione.

Osservazioni sulla dimostrazione

Se f ∈ L²_µ−1(R²) allora u ∈ L²_µ(R²). [Ciraolo – Magnanini, 2006]

Verifica di (RC) sulla parte guidata. Grazie alla

ortogonalit`a delle v_j(x , γ_l) abbiamo un’espressione ‘semplice’

di u_l. (RC) pu`o essere data e verificata su quadrati o su Ωρ. u0 corrisponde alla parte non guidata della soluzione, data da G^rad.

Abbiamo bisogno di una rappresentazione differente della funzione di Green e di accurate stime asintotiche della soluzione sull’insieme Ωρ.