Propagazione di onde magnetofluidodinamiche in un plasma incomprimibile.
G~v~m MAz~,I (Siena) (*) (**)
Sunto. - C#. Introduzione.
1. - I n t r o d u z i o n e .
I n questo lavoro l'Autore hu ten~ato 4i esaminare nel modo pifl completo pos- sibile i fenomeni di propagazione ondosa in u n plasma omogeneo, incomprimibile, n o n dissipativo, deseritto dalle equazioni della magnetofluidodinamica (MiFD) hello schema 4el continuo.
Aleune p~rti di esso (nn. 3, 9 e 10) sono unu rielaborazione con aggiunte e variuzioni di risultati di altri A u t o r i (cir. [1]-[18] e la bibliografia ivi indicata) Ullita qualche n u o v o sviluppo c o n t e n u t o nei nn. 3.1.1 e 10.3-10.6; altre (nn. 4, 7, 8 e Appendice I) sono u n a rielaborazione di Mctme p a r t i di u n p r e c e d e n t e lavoro ([34]) dell'Autore con n u o v i c o n t r i b u t i c o n t e n u t i nei nn. 4.1.1, 4.1.2, 8 e nella Appen- dice I ; n u o v o ~ anehe il c o n t e n u t o delle r i m u n e n t i p a r t i del lavoro (n. 6 e Appen- dice I I ) . P e r aleuni a r g o m e n t i specifici infine ci si ~ limita, t i a r i m a n d a r e alla biblio- gTafia (cfr. Ira. 5 e 11).
2. - L e e q u a z i o n i m a g n e t o f l u i d o d i n a m i c h e p e r u n p l a s m a i n e o m p r i m i b i l e .
L e equazioni che nello schema del continuo della M~FD descldvono a n plasma omogeneo, incomprimibile, n o n dissipativo (non viscoso, non c o n d u t t o r e de1 cMor~
e p e r f e t t o c o n d u t t o r e de]l'elettricit~) sono - - he1 sistema di misure di Gauss e trascu- r~ndo~ come 4 ' a b i t u d i n e nei problemi di propagazione ondos~, le forze di massa
(*) Lavoro eseguito con eon~ribu~o del C.N.R. ne]l'ambito det Gruppo Nazlonale per la Fisiea Matematica e per le applicazioni della Matema*iea alla Fisica ed alla Ingegneria presso l'Istituto Matematlco dell'Universit~ di Siena.
(**) Entrata in Redazione ii 19 se~tembre 1972.
316 GIULIO ~/IATTEI: Propagazione di onde magneto]luidodinamiche, ece.
di origine non elettromagnetic~ - -
(2.1)
(2.2) div V = 0
(2.3) rot B = 4 ~ j
e
(2A) d i v B = 0
1 ~B
(2.5) rot E
c 3t
~V ~ + oV. g r a d V = - - grad P + J A B
c
(2.6) E + K A B = 0 ,
dove @ (costante) ~ la densitY, V il campo di velocitY, P la pressione, J il vettore densit~ di torrente elettrica, B il vettore induzione magnetica, E i l campo ele%rico,
# la perme~bilit~ magnetica (tostante) e e 1~ veloeit~ della lace he1 vuoto.
Per una distassione sul contenuto fisito e la struttm'a m a t e m a t i c a di queste equazioni, t o m e pure su]la loro importanza e stfi 1Lmiti della loro applicabilitY, si r i m a n d a specificatamente a [1] Cap I ; si segnalano al riguardo anche [2]-[18].
Eliminando J nella (2.1) con l'uso della (2.3) e4 E nella (2.5) con l'uso della (2.6) si h a n n o le
(2.7)
(2.s)
~V 1
+ @V.grad V : - - g r a d P + ~ (rot B ) A B
@
~ B
~--~- = r o t (VA B ) .
L e equazioni f o n d a m e n t a l i netle incognite V, B, ~P sono quindi le (2.2), (2.7), (2.8) (con la condizione (2.4) di solenoidalit£ di B, che h a il t a r a t t e r e d i u n a condi- zione iniziale nel senso the, t o m e si deduce da (2.8), essa 5 soddisfatta in ogni istante se lo ~ inizialmente).
Per quanto concerne lo studio della propagazione ondosa nell'ambito lineariz- zato ci riferiremo d a p p r i m a a.1 caso in cui il plasma hello stato i m p e r t u r b a t o ~ in quiete e sottoposto ad u n campo m a g n e t i t o uniforme. (Per il caso in t u i il plasma mobile nello s~ato i m p e r t u r b a t o tfr. it n. 7). Assumiamo percib qu~le solazione i m p e r t u r b a t a (nota) delle equazioni (2.2), (2.7), (2.8), (2.4) la seguente
(2.9) @ = @o = e o s t a n t e , P = Po = c o s t a n t e , V = Vo = 0 , B = Bo = eostante.
Per la ricerca 4ella soluzione perturbat~ poniamo
(2.10) @ = @o, P---- P o + P , V = v , B = Bo + b ,
G~%~o h[ATTEI: Propagazione di onde magnetofluidodinamiche, etc. 317
d o v e le loerturbazioni p, v, b soddisfuno il seguente sistem~ linearizzato
8v 1
(2.11) qo ~-~ = - - g r ~ d p + ~ (rot b)AB0
(2.12) d i v v -~ 0
(2.13) 3b ~--~ =- roe (v A Bo)
(2.14) d i v b = 0 .
P ~ I - O N D E L I N E A R I
3 . - O n d e p i a n e .
Stttdiumo in qtles~o n u m e r o 1~ propug~zione di onde piune in u n u direzione gene- rics. Senz~ pregiudizio p e r 1~ gener~lit~ i n t r o d u c i ~ m o qu~le tern~ di r i f e r i m e n t o tm~
t e r n ~ c~rtesian~ ortogon~le destrorsu T(0; x, y, z) di versori ~ 9, $ con l'asse z eoincidente con 1~ direzione di propugazione delle onde Diane e t~le du ~versi
(3.1)
Bo = Bo~2~-[- B o ~ con Bo~> 0, Bo~> 0 (~).L e (2.11)-(2.14) forniscono il seguente s i s t e m a di equa.zioni sc~laxi
~% Bo.. ~b~
(3.2) ~0 ~t - - 47t# ~z
~% Bo~ 8b~
(3.3) eo ~7 = 4 ~ ~ z
(3.4) eo ~7 =
~z 4z~# ~z
(3.5) ~v~ _ o
~z
(3.6) ~b~_ B ~
~t - - o~ ~ z
Q) I1 caso B0z = 0 va escluso in quan~o, come indicano le (3.2)-(3.9), non ci pub essere prop~gazione in direzione or~ogonale at campo magne~ico. I1 caso Bo~ = 0 (proloagazione nella direzione del camloo magnetico) sar~ esaminato nel n. 3.1.
318 G ~ m I o )/~ATTtiII: Propagazione di onde magneto]luidodinamiche, ecc.
ab~ av~
(3.7) ~--~ = Bo~ ~ z
(3.8) ~bz
~t -- 0
(3.9)
~--~ = o .~b~
Poich6 siamo interessati solo alia p~rte v~riabile 4el camlai, possiarao porre, in accor4o con (3.5), (3.8) e (3.9),
(3.1o) v~ = o
(3.11) bo = 0 .
Delle r i m a n e n t i equazioni la (3.4) serve a d e t e r m i n a t e la pressione, una volta n o r a b~, m e n t r e 4elle ~ltre q u a t t r o , 4ue - - la (3.2) e t a (3.6) ~ legano ~ e b~ e due - - 1~ (3.3) e la (3.7) - - v~ e by; i n t r o d o t t a 1~ veloeit~ di Al]vdn (2)
Bo
da queste 4iscende che v e b obbediseono all'equazione di d ' A l e m b e r t
[ ~ - - A ~ z ~ ) (v, b) = O
(3.13) ~ t o ~ •
i campi v e b si p r o p a g a n o quindi per onde. D a t a la loro i m p o r t a n z a passiamo a studiare in particol~re le onde p l a n e sinasoidali. I m p o n e n 4 o atlora alle (3.2), (3.3) (3.4), (3.6), (3.7) la soluzione
(3.14) p = ~ e x p [i(oJt-- kz)] , v = ~ exp [i(eot-- kz)] , b = b exp [i(o)t-- kz)]
con /¢ (:/= 0), co ( # 0), /5, Y, b c o s t a n t i di ovvio signifieato fisico (con k si indiea qui la c o m p o n e n t e secondo l'asse z del v e t t o r e n u m e r o d ' o n 4 a k, 1~ = k . ~ ) , si ricava in corrispondenzu il seguente sistem~ ulgebrico lineare omogeneo helle amlaiezze
Bo~ kS~
(3.15) ~ =
4~#~oo ~o Bo~ k ~
(3.16) v ~ - 43r/~o ~o
(3.17) P = 4~r~
(2) In tutto il presente l~voro col simbolo ~/- si intende la radice quadrata aritme~ica.
GIULIO ~LaTTEI: Propagazione di onde magneto]luidodinamiche, etc. 319
(3.18) ~ = ~ -Bo~k ~ - V~
O9
(3.19)
~ : ~ - - V y , Bo~k _(D
L a equazione di dispersione (3) 8 d a t a d a
(3.20) ~# = A ~ k ~ .
D e t t o 0 l ' a n g o l o che k f o r m a con Bo(O<<O ~<z), a v e n d o s i B o ~ = BofcosOl(Bo = IBol) p e r la scetta f a t t a della t e r n a T, dalla (3.20) si r i c a v a p e r la velocit~ di /use ~ = ¢o/k
(3.2])
--- :t: AoIcos0[, ( A o = IAol) •D i s c e n d o n o da q u a n t o sopra le seg~enti p r o p r i e t ~ delle onde in e s a m e : 1) Dispersione: la velocit~ di fase n o n d i p e n d e dalla lunghezza d ' o n d a , cio~
n o n c'~ dispersione.
2) Anisotropia: la velocitg di fuse d i p e n d e dalla direzione di p r o p a g a z i o n e del- l ' o n d a e quindi il mezzo g a n i s o t r o p o (a causa e s s e n z i a l m e n t e della p r e s e n z a di Bo).
3) Trasversali~d: la p e r t u r b a z i o n e v (come p u r e b) 6 ortogonMe a k, cfr. (3.10), clog le onde sono t r a s v e r s a l i . $3 b e n n o t a la i n t e r p r e t a z i o n e fisica, d o v u t a a d Alfv6n, di q u e s t a circostunza: nella i d r o d i n a m i c a o r d i n a r i a n o n si p r e s e n t a n o onde t r a s v e r - suli per l ' a s s e n z a di u n a forzu di richiumo di r i p e elastico a t t a a c o n t r o b i l a n c i a r e io s c o r r i m e n t o reciproco di s t r a t i di fluido a c o n t a % o ; in M F D invece questo scorri- m e n t o p r o d u c e u n o s t i r a m e n t o delle linee di forza m g g n e t i c h e (~( congelate ~ col fluid% cfr. [6] nn. 3.4.3 e 3.9) ed g per conseguenza c o n t r o b i l a n c i a t o dalla tensione m a g n e t i c g neUe linee stesse (cfr. a n c h e A p p c n d i c e I I ) .
4) Legame Ira b e v eg equipartizione dell'energia: dalle (3.10)7 (3.1]), (3.15) e (3.16) si deduce poi che b = - (dz/~9o/Bo~)uv e da q u e s t a p e r (3.12) e (3.21) si con- d u d e che p e r le onde che si p r o p a g a n o secondo il verso p o s i t i v e dell'asse z (cio6 p e r le onde il cui v e t t o r e d ' o n d a f o r m a u n angolo a c u t e , in p a r t i c o l a r e nullo, col
(s) ~ quasi superfluo ricordare ehe tale eqnazione esprime la condizione necessaria e sufllciente per t'esistenza di soluzioni non nulle per il sistema algebrico lineare omogeneo ndle ampiezze delle perturbazioni, e quindi la eondizione di eslstenza de]l'onda (~o, k). Per ogni prefissato valore di k, l'equazione di dispersione fornisee i possibili autovalori dieo e, in cor- rispondenza, dal sistema algebrieo si rieavano gli autovettori.
Useremo qui la dizione ~ equazione ,) di dispersione al posto delle altre, pare frequente- mente usate, ~(relazione ,) o ~ legge ~) di dispersione, in quanto ehe queste ultime, nella teoria Fisieo-Matematica dei plasmi, vengono usate anehe con signifieato diverse (per es. nella descri- zione diele~rica dei plasmi, eft'. [19], pp. 53 e 330, ei si riferisce con ~ali denominazioni alle relazioni di KRA~;a~S e KRO~m).
320 GIULI0 ~L~TT~: Propagazione di onde magneto]luidodinamivhe, etc.
eampo magnetieo) 6
(3.22) b = - - V ~ / ~ e o V ,
mentre per quelle che si propaguno secondo il verso negative de]l'asse z (il eui vettore d'ondu forma qaindi un angolo ottuso, in purticolare platte, eel eampo magaetico) 6
( 3 . 2 3 ) b =
V~oo~.
Le (3.22)-(3.23) indic~no fra l'altro che in entrambi i c~si b ~ 1
(3.24) 8~# -- 2 ~°v~'
cio~ the 0~6 equipartizione fra la densi$~ d'energia magnetica dell'onda e la densit~
d'energia einetiea. Cib appare natm'ale alia luce del teorema del viriale tenendo congo the le onde in questione sono armoniehe pure.
5) Comportamento della perturbazione nelta pressione: 1~ (3.17) indiea che ci sono due distinti tipi di onde MFD plane: quelle per cui la perturbazione nella pressione si annulla e quelle per eui cib non aceade. Avendosi per (3.1) e (3.11) Bo, b, = Bo'b il primo ripe di onde si presenta solo nel case in eui la pertm'bazione nel campo magnetieo (e quindi, per (3.22)-(3.23), anche que]la nel campo di velocitY) b erie- gentle al europe magqmtico imperturbato. Nel case di propagazione in direzione generica (Be,=/= 0) si possono presentare entrambi i tipi a seeonda che sia b , = 0 oppure b,V= 0; nel case di propagazione nella direzione del campo m~gnetico ( B e , = 0) si hanno solo onde del primo ripe.
Le (3.1), (3.22) e (3.23) indicano poi 1~ disposizione nello spazio dei vettori k, Be, b, v nei vari casi.
6) Polarizzazione: riferendoci al c~so di propagazione in direzione generiea e not~ndo ehe le due perturbazioni (v., b,) sono sempre disaecoppiate dalle due per- turbazioni (v.,, b~) si vede che possiamo avere due tipi di onde MFD polarizzate linearmente: il primo scegliendo la soluzione particolare caratterizzata d a v , = b, = 0 (cui corrisponde p = 0) e i l secondo quelia caratterizzata da v. = b . - 0 (cui corri- sponde p ~ 0) ; data la linearit~ delle equazioni ogni eombinazione lineare di queste due soluzioni ~ aneora una soluzione.
3.1. - Onde piane propagantesi nella direzione del campo magnetico (onde di Alfv~n).
Se ~ Bo~----0 abbiamo u = ~= Ao: le on4e si propagano nella direzione di Be con velocit~ di fase K=Ao (onde di Al/v~n, 1942, [20]; err. anche [6] Cap. I I I e la bibliografia ivi indicata).
GItrLTO MATTEI: Propagazione di onde magneto/luidodinamiehe, eee. 321
D a t o che nel c~so p r e s e n t e le due soluzioni p a r t i c o l a r i di cui al n. 3 (6) si c o m p o r t a n o allo stesso m o d o (p = 0 p e r e n t r a m b e , err. n. 3 (5)), p o s s i a m o sen- z ' a l t r o p o r r e p e r es. % = b~ ~ 0. P e r conseguenza a~bbiamo la seguente f o r m a esplicita.
della soluzione p = 0
(3.1-1) v~(z, t) = ,~ cos (cot - - kz) ~ v~ = v~ = 0
b~(z,
t) = 7 = V'(z/~eG~ cos ( ~ t - - kz), b~ = bo = 0 ,dove il seg'no - - v a l e p e r le onde che si ioropagano nel verso di B0, il segno + p e r quelle che si p r o p a g a n o he1 verso opposto.
L a (2.6) p e r (2.10) e (3.22)-(3.23) d i v e n t a
(3.1-2) E = B ° A ~ ,
¢
da.lla quale, essendo E o = 0, si ricuv~ p e r lu p e r t u r b a z i o n e e nel e a m p o elet- trico (e --= E)
(3.1-3) e~(z, t) = Bo ~ cos (egt-- k z ) , e~ = e~ = O.
L a disposizione sp~ziale dei v e t t o r i Bo, k, v, b, e ~ indicatu in figur~ p e r i due casi possibili.
k ~
/ / /
< / .... >
b
Bo
k
~ e
/ / /
b ) v >
Fig. 1.
Si n o t i che~ allo stesso m o d o che in u n ' o n d a e l e t t r o m a g n e t i c a n e l v u o t o , e, b, k costituiscono un~ tern~ Crirettangola, destrorsu in e n t r a m b i i cusi, ed inoltre b e d e oscillano in fase.
21 - A n n a l i d i iTlalematica
322 G I v ~ I o M ~ W T E ~ : Propagazione di onde magneto]luidodinamiche, etc.
3.1.1. Velocit5 di propagazione dell'e~ergia ed intensitd delle onde di Alfvgn.
La densi$6 d'energia in u n p l a s m a d e s c r i t t o dalle equazioni M F D ~ d a t a da
(at. [1] § s, [lS] § 51)
~V ~ B'2
d o v e e ~ l'energia i n t e r n a p e r unit~ di massa. D a questa si p u b r i c a v a r e r e s p r e s - sione della densit~ d ' e n e r g i a w associata a l l ' o n d a p i a n a di Alfv6n; essendo il p l a s m a i n c o m p r i m i b l e ~ ora s : eo : c o s t a n t e , ~ = ~o : c o s t a n t e ed inoltre a v e n d o s i V : v, B --- Bo + b con Bo' b = 0 si r i c a v a
B~ 1 b 2
W = + + ff + wo + ,
d o v e Wo : ~oso ÷ B~/Sz# ~ la densit£ d ' e n e r g i a (costante) del p l a s m a hello s t a t o i m p e r t a r b a t o . ]~ quindi
1 b ~
w = ~ ~)oV ~ + 8~/~ "
D a questa, t e n e n d o conto di (3.24) e (3.1-1)2, p e r il suo v a l o r m e d i o i n u n p e r i o d o
-
(3.1.1-1) w = - # .
Si r i c a v a w : ~)o v~ c°s2 (wt-- kz) e
Caleoliamo ora la velocit6 di propagazione dell'energia, u~, delle onde p i a n e sinu- soidali di Alfv~n. Tale velocit£ ~ qui i n t e s a come il r a p p o r t o f r a il v a l o r medio in t l a periodo del flusso a t t r a v e r s o u n a superficie u n i t a r i a d i s p o s t a o r t o g o n a l m e n t e alla direzione di p r o p a g ~ z i o n e delle onde del vettore, q, densitd di ]lusso d'energia asso- ciato a l l ' o n d a e i l v a l o r m e d i o in a n periodo della densit£ d ' e n e r g i a associata al- l ' o n d a ; cio~ nel easo p r e s e n t e
(3.1.I-2) U~ = = .
w
P e r il calcolo di q~, a v e n d o s i in assenza di dissipazione (cfr. [1] § 8, [18] § 51)
dove i g l ' e n t a l p i a p e r unitt~ di m a s s a e S== ( c / 4 s # ) E A B il vettore di Poynting, si r i e a v a - - t e n e n d o e o n t o eli (3.1-1), (3.1-2) e (3.12) - -
q~ = ± eoAo~ cos 2 ( ~ t - - kz)
GIULIO I~ATTEI: Propagazione di onde magnetofluidodinamiche, ece. 323
e quindi
(3.1.1-3) FI, = ~ ½~oAov~.
(Per il calcolo di ~ nel ease di propagazione in direzione generica eft'. [21]).
L a (3.1.1-2) fornisce q u i n d i
(3.1.1-4) u, = ± Ao,
cio~ il valore della velocit$ di propagazione dell'energia dclle onde p l a n e sinusoidali di Alfv6n p r o p a g a n t e s i nella direzione 4et c a m p o magnetico coincide col vMore delia velocit~ 4i Alfv6n.
Si osservi c h e l a vdocith di gruppo % = d ~ / d k di u n p a c c h e t t o d ' o n d e unidi- mensionale coincide qui con la velocit& di fase u, n o n essendoci dispersione. ]~ quindi nel case presente
(3.1.1-5) u~ - - ug -~ u = ~ Ao (4).
L'intensit~ I 4elie onde in esame - - intesa quale valor medio in u n periodo del vMore assoluto di q~ - - rislflta infine d a t a per (3.1.1-3) dalla
(3.1.1-6) I = }0oAo~ •
N o t i a m o che, come gi~ per le onde e l e t t r o m a g n e t i c h e nel v a o t o , i risulta proper- zionale al q u a d r a t e delFampiezza.
4 . - I n f l u e n z a dell'effetto H a l l .
]~ n o t e ehe in Mcune circostanze l'effetto H a l l influenza in m o d e r i l e v a n t e il c o m p o r t a m e n t o di u n plasma (cfr. al riguardo, anche per q u a n t o concerne la legge di O h m generalizzata: [22] Sect. 2.2, [2] Cap. VI, [23], [24], [25]~ [6] Sect. 5.2.3~ [14]
Sect. 8.14, [10] Sect. 1.3, [26] Cap. V I Sect. 4, [12] Sect. 8.4, [27] Sect. 6.5.1, [16]
Cap. I X n. ], [28] Sect. 3.7 e 3.10, [29]-[34]).
Vari sono poi i lavori con oggetto a n plasma n o n dissipative in cai si tiene conto delFeffetto H a l l ; fra essi segnaliamo, oltre a [33], anche i lavoI'i [35]-[42] (5). Stu-
(a) Per un paeehetto d'onde tridimensionale la velocit~ di gruppo ug = gradk~o risulta data da (err. [6], p. 97) u s ---- ~ Ao; essa ha qaind/Ia direzione del campo magnetico ed il modulo uguale a quello della velocit~ di Alfv~n. ]~ da notate c h e s e si introduce la velocith di fase in forma vettoriale u = (w/kS)k, si ha, a causa della anisotropia dcl mezzo, u~/lu~l # u/luJ, % # ~ .
(5) Nella letteratura i lavori dedieati alia influenza detl'effetto Hall su vari probleml di fisica dei plasmi sono molto numerosi; per una bibliografia al riguardo si rimanda a [34].
324 G~rI~IO 1VIATTEI: Propagazione di onde magnetofluidodinamiehe, etc.
diamo qui per questo tipo di plasma la propagazione di onde MFD nel caso incom- primibile.
Le equazioni fondamentMi helle incognite V, B, P sono ora (cfr. per es. [34]) la (2.7) e 1~ (2.2) inalterate, u n i t a m e n t e alia
0 B
(4.1) ~--~ = rot (VAB) ÷ fl rot ( B A r o t B ) ,
con la condizione (2.4) di solenoidalit~ di B. Nella (4.1) si ~ posto
( 4 . z ) =
con ft, coefficiente di ItM1.
L a forma linearizzata della (4.1) ~ d a t a dMla
(4.3) ~b 8-7 = rot (v A Bo) q- fl r o t (BoArot b ) .
Consideriamo dapprima il easo delle
4.1. - Onde piane.
Proeediamo in modo analogo a q u a n t o f a t t o nel n. 3. L e (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5), (3.8) e (3.9) restaao inalterate, mentre le (3.6) e (3.7) sono sostituite dalle
(4.1-1) ~b~ ~v~ ~b~
(4.1-2) ~b, ~% ~2b~
2-7 = B.o
DMl'esame deile equazioni scritte si deduce subito che:
1) i termini dovuti Mla corrente Hall intro4ucono un effetto di accoppiamento;
2) sia in presenza che in assenza di effetto I I a n , in u n plasma incomprimibile n o n c'6 propagazione di onde M F D ortogonaimente al campo m~gnetico (Bo~ = 0) ;
3) sussistendo inalterate le (3.10) e (3.11) le onde sono trasversali.
Consideriamo d a p p r i m a il caso della propagazione nella direzione del campo magnetico di onde piane sinusoidali. Abbiamo allora che sussiste inalterata la circo- stanza (cfr. n. 3.1)
(4.1-3) p --- 0
G ~ o ~ A ~ : Propagazione di onde magneto]luidodinamiehe, eee. 325
mentre il sistem~ algebrico helle incognite ~ , ~ , b~ e ~ divents
(4.14) 4X#~o
che conduce a ~ equazione eli dispersione
(4.1-5)
(u ~ - flBoku-- A~)(u ~ + ~Boku-- A~) = 0 che si spezzs helle(4.1-5)' u 2 - - f i B o k u - - A ~ = O, u ~ + ~ B . k u - - A ~ = 0 .
Tenendo presente ehe in sssenza di eorrente Hall si ha u S = A~, la (4.1-5) indica intanto c h e l a presenza di tale corrente fa sumentare il numero (tegli effettivi modi di propagszione.
Esaminlamo la propagszione nel verso di Bo(k > 0, u > 0). (Per la propsgazione nel verso opposto si avrsnno ovvie modificazioni nei segni).
Studismo d~pprima le onde di prefissata hmghezza (k assegn~to positivo).
La (4.1-5) indies che nel verso di B0 si propagano, in corrispondenza a4 ogni valore di 1~, due onde 4i velocith 4i fuse data rispettivamente 4alle
(4.1-6)
(4.1-7)
~1 = ~ (V~sB~k * + 4A] + ~Bok), us -= ½ (V'fl~B~k s + 4A~ - - flBok).
Le (4.t-6)-(4.1-7) indicano intanto the:
1) la velocit~ di fsse di entrsmbi i modi di propsgazione dipende ora dal vslore de] vettore numero d'on4% oltre che dalla sua direzione, e quindi il plasma, oltre che anisotropo come gi£ i a assenza di corrente Hall, in presenza di detta corrente 4iventa anche dispersivo;
2) l'effetto Hall non introduce instabilit~ per le onde di prefisssts lunghezza nel senso che, per qualsiasi prefisssto valore di k, si hanno per w rsdici sempre resli dell'equazione di dispersione.
Soddisfatts l'equazione di dispersione, dulls soluzione del sistems (4.1-4) si ricsvs la
(4.1-8) ~ = ~ : i ~
326 GIIJLIO lVIA:ErE~: Propagazione di onde magneto]luidodinamiehe~ eco.
dove il segno -k vale per l'ond~ 1 e quello - - per l ' o n d a 2. D a (3.10), (3.11), (4.1-4)~, (4.1-4)~ e (4.1-8) discendono poi le
(4.1-9)
I
v(z, t ) = g ~ ( 1 , - i, O) exl) [i(o)l t - - k z ) ] + g~(1, i~0) exp [ i ( m ~ t - - k z ) ] = v~ -k v~ ,( )
b(z, t ) = -~- (ulv~ -k u~v~) ---- - 7 •
L a soluzione (~.1-9) r a p p r e s e n t a due onde trasversali polarizzate eircolarmente con i ve%ori r o t a n t i in sensi opposti.
Sussiste q u i n d i la i n t e r e s s a n t e circostanza ehe l ' o n d a p i a n a sinnsoidale di A]fv~n a causa della c o r r e n t e H a l l si scinde in due onde trasversali polarizzate eir- colarmente.
D a (4.1-6) e (4.1-7) discende poi 1~
(4.1-10) 0 < % < A ~ < u~,
ciog u n a delle due onde h a velocit~ di fuse maggiore e l ' a l t r a m i n o r e della veloeit£
di Alfv6n, ed inoltre
(4.1-11) u~ - - us = ~Bol¢ = 7 - - ~ , B o l ¢ ,
cio~ la differenza delle velocit~ di fase delle due onde ~ d i r e t t a m e n t e proporzionate alla intensit~ del c a m p o magnetico~ at n u m e r o d ' o n d a e al coefficiente dl Hall.
N o t i a m o poi che da~a (4.1-9)~ si deduce che n o n sussiste pi~l la (3.24) e quindi, al contrario di cib che accade per l ' o n d a di Alfv4n pura, per le onde in presenza di effetto H a l l cessa l'equipartizione ira la densit~ d'energia magnetic~ d e l r o n d a e la densit~ d'energia cinetica.
I~a velocit~ di gruppo ug = &o/dk di u n p a c c h e t t o d ' o n d e unidimensionale ~ poi data, per i due modi di propagazione, dalla
~ . . Z~B~ + 2A~ 4- ~Bo~/~B~k ~ + 4A~
q~g
e n o n coincide pifi, a eausa della dispersione i n t r o d o t t a dall'effetto Hall, con la velocit~ di fase.
Nel caso di propagazione in dirczione generica infine, indicando ancora con 0 l'angolo che h f o r m a con Bo, si t r o v a per le velocit~ di fase dei due m o d i di prol0a- gazione eli cui sopra
(~.1-12) ~1.~ = ± ~ (~/Z°Bgk ' + 4AX ± ~B°~) cosO,
dalla quale si possono t r a r r e conclusioni analoghe a quelle viste per il caso 0 = 0.
G z ~ z o 5~ATTE~: Propagazione di onde magneto]l~idodinamiehe, eec. 327
4.1.1. Fre~q~enza di risonanza.
Psssiamo infine a considerate le onde di prefissata frequenza (co assegnata positiva).
Introdotto l'indice di ri]razione N --- c/u = kc/oJ, l'equ~zione di dispersione (4.1-5) pub mettersi nella forms
(4.1.1-1) ( A~ - - fl~ B~eo~) N ~ - - 2A~ v2 N 2 -+- v" ---- O .
Se adottiamo uns terminologia diffusa nella Fisica Matematica dei plasmi (cir. per es. [19] pag. 76) secondo la quale i vMori 4i v----w/27~ in corrispondenza ai qusli Z r -+ c~ vengono detti ]requenze di risonanza e quelli in corrispondenzs ai quuli iV--> 0 frequenze di soglia, ds (4.1.1-1) diseende che nel esso in esame non ei sono frequenze di soglia, mentre c'~ una ffequenza di risonanza fl eui valore ~,~
dato dslls
Ao ~ ~ Bo
(4.1.1-2) ~ 2z/~Bo -- 27~0 ~ eoflH"
Tale ffeqaenza risulta quindi proporzionale direttamente al campo magnetico ed inversamen~e al eoefficiente di Hall e a l l a densith.
Nel caso di propagszione in direzione generics 1s (4.1.1-2) ~ sostituita dulla
(4.1.i-3) ~ -- 1 Bo]cos 01
2~e ~ qo~H
4.1.2. Una osservazione.
Si ~ ~ s t o nel n. 4.1 che l'intervento della eorrente Hall csus~ la seissione del- l'onda pisna sinusoidMe di Alfv~n polsrizzsta linearmente in due onde trasversali polarizzate eircolarmente cloture di distinte veloeit~ di fase.
Osservando qui che ~ palese una analogia fra questa situazione e quella dell'e]- ]etto Z e e m a n clsssico, possiumo affermare c h e l u corrente Hail introduce in un plasma ineomprimibile non dissipativo descritto dalle equazioni lVIFD nello sche- rna del continuo un effetto del tipo Zeeman.
Effetti del tipo Zeemsn si presen~ano anche in altri tipi di plasmi; per es. nei plssmi freddi soggetti ad un campo magnetico (cir. [19] pag. 81-86, dove si udotta una deserizione diele%rica lineare del plasma).
4 . 2 . - O n d e c i l l n d r i c h e .
II plasma nello ststo imperturbato sia in quiete e sottoposto ad un eampo msgnetico uniforme di induzione B0. I n t r o d o t t a una terna T . di coordinate cilin-
328 GruLIo ~¢[A~:TE~: Propagazione di onde magnetoJluidodinamiche, etc.
driche ortogonMi r, ~, z di corrisponden.ti versori r, ¢~, ~ con ~ = Bo/Bo, supponiamo A
le pertarbazioni d o , a t e di simme~ria citindrica rispetto a.ll'asse z.
I n d i c a t e con v , v~, v, e con b~, b~, b le componen~i fisiche relative a T , di v e b (proiezioni di v e b secondo ~, ~ , F; rispettivamenSe), da (2.11),(2. 12), e (~.3) diseendono le
(4.2-2) ~v__2_ Bo bb~
~t 4~r/~ ~)o ~z
(4.2-3) ~--/: Oo ~z
l~(rv,)
~v~(~.2-~) - r ~r + ~ z = 0 - -
(4.2-5) ~b, _ ~v, ~b~
~t - - Bo -~z + f l B o ~z ~
(4.2-6) ~b¢ B . ~% ~ [~b, ~b,~
O-t = r ~r (rye) - - f i B o ~z ~r (rb~) .
Le equazioni scritte indicano che i termini i n t r o d o t t i dall'effe%o Hall accop- piano le oscillaziord torsionMi alle oscillazioni nei pi~ni meridiani.
I1 sistema (4.2-1)-(4.2-7) ammet~e (cfr. [34]) la seguente soluzione~ corrispon- dente ~111 propagazione lungo l'asse z di onde cilindriche,
(4.2-s)
p = ~Jo(yr) exp [i(o~t-- kz)]
fornendo Fequazione di dispersione
(4.2-9) (Ao~k~ 2)~ _#~Bo%W(r~ + k~) = 0.
Nelle precedenti v,, %, v~, b,, b~, b~, ~ sono delle costanti, J1 e Jo sono 16 funzioni di Bessel di prima specie di ordine uno e zero rispettivamente e ~ u n a costante reMe n o a nulla determinabile con le condizioni al contorno; se, per esempio, le condizioni al contorno relati~e a u n a superficie cilindriea di r a g g i o / ~ e normale N sono (6)
(4.2-10) v ' N = 0 , B ' N = 0 ,
(~) Per quanto concerne l'~so di condizioni al contorno di ques~o tipo cir. per es. [43J, [44], [1] Cap. II, [45] n. 81.
GIULIO MATTEI:
Propagazione di onde magnetofluidod~'namiche, evv.
329esse sono soddisfatte dulle (4.2-8) con
(4.2-11) :, = ~,/R (s = 1, 2, 3, ...)
dove 8, ~ l's-mo zero di J~(~). Le (4.2-8) assieurano regolarit~ in t u t t o il campo e limitatezza.
La (4.2-9) indica che, in assenza di effetto Hall, le oscillazioni torsionMi e quelle nei piani meridiuni sono disaccoploiate ira lore e danno origine alla equazione di dispersione caratteristica dellc onde di Alfv4n pure.
Considcriamo dapprima le onde di prefissatu lunghezza. DMla (4.2-9) si ricava che ci sono due modi di propagazione con velocit~ di fuse reMe data dMla
(4.2-]2)
u~.~= 4- {[2A~ q-fl2B~(y2 q-
k~)] ~fiB°[fl~B~(Y~2 + 1~)~ + 4A~(Y2 q-
k~)]½} ~dMla quMe si deduce che, come gi~ .per 1c onde piane, anehe per quelle eilindriche l'intervento della corrente HMl: 1) fa ~ument~re il numero dei modi di propaga- zione; 2) introduce un effetto dispersive; 3) non introduce instabilit~ per le ondc di prefissato numero d'onda.
Considerando infine le onde di prcfissata frequenz~, scritta la (4.2-9) nella forma
(4.2-]_3) (Ao-- fl Boo) )N --o (fi Boy + 2A~o)N ~ +
4 2 2 2 4 2 2 2 2 0 4= 0 ,
si deduce che, auMogamente a quanto accadeva per le onde plane, anche per quelle citindriche non ci sono frequcnze di sogli~, mentre c'~ uJaa frequenza di risonanza % il cui vMore, date dall~ (4.1.1-2), coincide con queLlo relative alle onde piane.
5 . - I n f l u e n z a di u n a r o t a z i o n e u n i f o r m e .
Per quunto riguarda l'influenza di uu~ rot~zione uniforme sulla propaga.zione di di onde piane MFD in a n plasma incomprimibile, si rimanda direttamente M lavori [46] e [47], dove ~ svelte uno studio complete sull'argomento.
Per una bibliografia relativa agli effetti di una rotazione uniforme su problemi di Fisica Matematica dei plasmi si rim~nda a [48].
6. - I n f l u e n z a della a z i o n e s i m u l t a n e a dell'effetto H a l l e di u n a r o t a z i o n e u n i f o r m e .
]~ note che l'effetto Hull assume in particolare un ruolo rilevante in vari casi relatiwi a plasmi di interesse astrofisico (cir. per es. [2] Cap VI); per questi ultimi
330 GIu%Io 5 [ A ~ E I : P r o p a g a z i o n e di onde magneto]luidodinamiehe, etc.
d ' n l t r o n d e n o r a la i m p o r t n n z ~ degli effe~ti che su di essi h a tmn rotazione uni- f o r m e (cfr. 1~ bibliografi~ da~a in [48]).
A p p a r e percib di interesse Io studio - - ogge~to di ques¢o n u m e r o - - dell'influenzn simult~ne~ dell'effetto H a l l e di tma rotazione u n i f o r m e suHa propagazione di onde M-FD piune in u n plusma incomprimibile.
Senz~ pregiudizio per la genera~lit~ i n t r o d u c i a m o quale ~ern~ di riferimento uni- f o r m e m e n t e rotan~e con la velocit~ di rotazione ~ del plasma unn Cerna ~(0; x, y, z) in m o d o d a a v e r e
k ~ (0, O, k ) , Bo ~ (0, Bo~, Bo~), t~ ~ ( ~ , ,.Q~,/2~).
P r o c e d e n d o come nei n. 3 e 4.1 si a r r i v a alln seguente equazione di dispersione (6.~)
Es~mini~mo d a p p r i m a le onde di prefiss~ta lunghezza. D~to che il discriminante della (6.1) risult~ sempre positivo per qualsiasi v~lore dei p a r a m e t r i , possi~mo t r a r r e la conclusione che la corrente Hull e in rotazione ~ sin che agiscnno simultanen- m e n t e si~ che agiscaao s e p a r a t a m e n t e ~ n o n i n t r o d u c o n o m a i instabilit~ per le onde di prefiss~tn lunghezza. D~ (6.1) discende poi che ~ per ogni prefiss~to vnlore renle di k ~ ei sono due modi di propuguzione (stgbili) le cui velocitg di fuse sono daCe dalla
f(22S + + ± + #B0 +
(6.2) g l , : ~-~ ±
2
che m e t r e in evidenza u n effetto dispersivo i n t r o d o t t o sin dalla corrente H a l l che dalla rotazione.
Consideriamo ora le onde di prefissatg frequenza. S c r i t t a 1~ (6.1) nell~ f o r m a
(6.3) a12*'~4--a~N ~ + as = 0 ,
dove
si deduce l'esistenza di un~ ffequenzn di risonanza il cui valore v~ 6 d a t o dalla
(6.4/ ~ = 2~? ~ o o ~ cos 0 +
e di un~ f f e q u e n z a di soglia il cui valore v s ~ dato da.lla
(6.5) ~ = - -
7g
GIULI0 ]Y[ATTEI: Propagazione di onde magnetofluidodinamiche, etc. 331
Osserviamo che:
1) in assenza di eorrente Hull e di rotazione n o n ci sono n~ ffequenze di riso- nanza, n~ frequeuze di soglia;
2) la corrente H a l l agendo i s o l a t a m e n t e i n t r o d u c e u n a f r e q u e n z a di risonanza il cui valore rR ~ d a t o dalla (4-.1.1-3);
3) la rotazione u n i f o r m e agendo i s o l a t a m e n t e i n t r o d u c e u n a f r e q u e n z s di soglia il cui v s t o r e v s ~ d a t o dalla (6.5);
4) la c o r r e n t e H a l l e la rotazione agendo s i m u l t a n e a m e n t e i n t r o d u c o n o lm~
f f e q u e n z a di risonanza il cui valore, d a t o dalla (6.4), dipende sia dalla cor- r e n t e H a l l che dsll~ r o t s z i o n e e u n a f f e q u e n z a di soglis il cui valore, d a t o dulla (6.5), n o n ~ influenzuto dalFeffetto Hull.
Dal]~ (6.3) si r i c s v a n o poi per k 2 i vMori reali
(6.6) k~ A ~ o ? ~= oJ[fiBo~(4f2~--a~ ~) -k 2/}~A~]
quindi le onde di prefisssta f r e q u e n z a sono o armoniche p u r e (k~> 0) o e v s n e - scenti (k: < 0).
7. - O n d e M F D i n u n p l a s m a m o b i l e .
I n questo n u m e r o studiamo, t e n e n d o a n c o r a conto dell'effetto Hall, la propaga- zione di onde M ~ D piane nel caso in eui il plasma nello stuto i m p e r t u r b a t o non sia, come supposto finors, in quiete, m s in m o t o traslatorio rettilineo e u n i f o r m e (7).
L a
(2.9)3
~ 0ra sostituita dalla g---- go ---- eostante ~ 0 e ls (2.10)a dalla V = go -k v, m e n t r e is (2.].1) e ls (4.3) sono ors sostituite daile(7.1) (7.2)
~v 1 1
÷ g r a d (v-Vo) ÷ ( r o t v ) A g o ---- - - ~ g r a d p ÷ ~ ( r o t b ) A B o 3b ~-~ ---- r o t (VoAb) ÷ r o t (vAB0) ÷ fl r o t (BoArot b ) .
Scnz~ prcgiudizio per I~ gcneralit~ scegli~mo qa~le Cern~ Galileiana a ca/ sono riferite le equazioni (2.12), (2.14), (7.1) e (7.2) un~ t e r n a cartesiana ortogonale T
(~) In assenza di effetto Hall il problema @ s~ato affrontato in [15] Sect. 8.5, dove ne messo in risalto l'interesse. In [15] si studia la propagazione di onde piane nella direzione del cam9o magnetico nell'ipotesi che il moto del plasma avvenga parallelamente a detta direzione.
332 G ~ u L ~ o ~V[ITTEI: P r o p a g a z i o n e d i onde m a g n e t o / l u i d o d i n a m i c h e ~ eec.
di versori £, ~, ~ tale dg aversi
(7.3) Vo ~ (vow, o, Voo), Bo = (o, o, Bo).
l~el caso di propagazione nella direzione del campo mugnetico dalle (7.1) e (7.2) discendono le
(
~)
- - ~ g r a d p + ~ # e o (rotb)ABo(7.4) ~ + v o ~ v = eo
(7.5) ~ ÷ I%, ~z b = rot (vAB.) + fi rot (BoArotb).
lqotando che le (7.4) e (7.5) possono ricav~rsi dalle corrisl0ondenti del caso Vo = 0 ponendo l'operatore 3/~t + Vo~(3/~z) al posto dell'operatore 3/3t, l'equazione di dispersione discende direttamente da qnella del caso Vo----0 operando 1~ ~rasfor- m ~ z i o n e
(7.6) ~ -+ ~o -- k Vo~ .
Si h a percib
(7.7)
flBoVo, k 3 + ( V ~ , - - A ~ - - f i B o m ) k ~ - - 2 w V o ~ k + e) ~ = 0 - - flBo Vo~k a + ( V ~ , - - A g + flBoo~) k~ - - 2eo Vo, k + o~ ~ = O .
Osserviamo the le (7.7) sono equazioni di terzo grado in k, mentre le corrispon- denti del caso Vo---- 0 (cfr. (4.1-5)') erano di secondo; la ra,gione di cib sta nel fa%o che, avendo la velocit~ Vo det plasma una componente non nulla nella direzione z di propagazione delle onde, non c'~ pig simmetrig fra l'onda che si propaga nella direzione positiva dell'asse z e quella che si prop~ga nella direzione negativa.
P A R T E II - O N D E N O N L I N E A R I
8. - 0 n d e p i a n e n o n lineari i n presenza di effetto Hall.
Riferendoci ~Ile equ~zioni non line~ri, dimostriamo in questo numero che in un plasm~ incomprimibile possono eccit~rsi onde MFD pi~ne di amioiezza finite. Per le oade prop~g'~ntesi nell~ direzione del c~mpo m~gnetico in ~ssenz~ di effetto tt~tl questo risult~to ~ ben noto (cfr. per es. [14] pag. 69-70); esso ~ st~to poi esteso in [34] (n. 8) ~1 caso di presenz~ di effetto Hall. I n questo numero ne dimostria, mo 1~ v~lidit~ per il caso di propagazione in direzione generic~ in presenz~ di effet~o Hall.
G~_rLIo M A T ~ : Propagazione di onde magneto]luidodinamiche, eee. 333 A1 riguardo, ferme restando le (2.9), (2.10) e (3.1), facciamo le seguenti ipotcsi (che si rivelano compatibili con le equazioni non lineari (2.7) e (4.1) oltre che con le (2.2) e (2.4)): 1) v~ = 0, 2) t u t t e le funzioni incognite dipendono solo da z e da t.
L a (2.2) ~ allora identicamente soddisfatta, ta (2.4) fornisce la (3.9), mentre la (4.1) p r o i e t t a t a su ~ fornisce ancora la (3.8) e q ~ d i sussiste ancora la (3.11).
Per conseguenza i termini n o n lineari che compaiono nella (4.1), rot (v A b) e fl rot (b A rot b), si annnllan% mentre, per quel]i che compaiono nella (2.7), risulta v . g r a d v =- 9 e (1/4~tt)(rot b) A b = - (1/Sr~tt)(~b2/~z) ~. Per eonseguenza restano inal- t e r a t e le equazioni (3.2), (3.3)~ (4.1-1) e (4.1-2) che descrivono le onde loiane lineari e l'eqnazione di dispersione corrispondente.
Analoga eonelusione si trae anche i n presenza di viscositg e di conducibilit~
elett14ca finita, stante la linearit~ dei termini i n t r o d o t t i helle (2.7) e (4.1) qualora si tenga conto di tall effetti dissipativi. (Per quanto riguarda la viscositg il plasma hello schema )£FD del continuo - - viene eonsiderato come u n fluido stokesiano lineare).
Per la pressione P infine, proiettando la (2.7) su z si ricava la (Bo + b)~
(8.1) 19 ~ = c o s t a n t e ,
che afferma la costanza della somma della pressione fiuidodinamica P e della pres- sione magnetica B~/8~r#.
9. - Onde di A l f v 6 n n o n lineari di f o r m a arbitraria ([49]; cfr. ~ n c h e [6] n. 3.5).
F e r m e restando le (2.9) e (2.10), scri~iamo le equazioni non lineari di moto e del campo magnetico in assenza di effetto Hall rispcttivamente nella forma
(9.1)
(9.2) Se
~o -~ + ~ov-gradv = - - g r a d P 4 - + ~ b . g r a d b ÷ ~ B , . g r a d b
~b ~-~ =- B o - g r a d v d- b - g r a d v - v . g r a d b .
(9.3)
e
(9.~)
B 2
P 5 8~# -- costante
b
334 G ~ t ~ o I~/[AT~E~: Propagazione di onde magneto]tuidodinamiche, etc.
le (9.1) e (9.2) si riducono e n t r a m b e alia
~b 1 ~b
(9.5) ~ --= ~ %/47~@o B o . g r a d b = ~ Ao ~-~,
a r c a d e scelto l'asse delle z nella direzione e nel verso di Be. L a (9.5) a m m e t t e soluzioni del ~ipo
(9.6) b = b(x, y, z ~ Act)
rappresentanti onde di Alfv6n di forma generiea (propagantesi nella direzione di B0).
P e r le onde prop~gantesi nel verso di B3 vale it segno - - hells {9.6) e i l segno + nella (9.4:), per quelle propagantesi nel verso opposto si stambiano i segni (in aetordo con quanto visto nel n. 3 (4) per le onde lineari plane sinusoidali).
Si noti infine c h e l a (9.3), come gi~ la (8.1), esprime la tos~anza della pressione totale e the, in base all~ (9.4), sussiste a n t h e qui ls equipartizione di t u i al n. 3 (4).
1 0 . - Superfiei di discontinuit/t e o n d e M F D .
1 0 . 1 . - P r e m e s s e .
Siano: T(O;xl, x 2 , x 3) u n a t e r n a G~lileianu cartesiunu ortogon~le a cui sono riferite le equazioni (2.2), (2.4), (2.7) e (2.8) deseriventi il plasma; X = X(t) un~
superfitie regolare mobile nella regione occupat.a dal plusm~; n il versore normale, in u a d s t o istunte, a Z'; a 1~ velocit~ di avunzumento di Z (velotit£, riferit~ a T, con eui Z av~nz% in ogni punto, hells direzione d i n ) .
Rappresentundo Z" localmente t o n u n a equazione dell~ form~
(10.1-1) q~(x~, z~, z~, t) = 0 ,
dove la funzione q~ 6 di classe C 2, sussistono le ben 1lore formule
(10.1-2) a---- [grad qit,
~¢/~x~ (i = 1, 2, 3 ) .
(10.1-3) ~ - lg r a d ~[
Indioat~ con f(x 1, x~, xs, t) ls generit~ delle flmzioni sc~lari (per es. u n a com- ponente di V) ehe eompaiono nel sistems di equ~zioni differenziali (2.2), (2A), (2.7), (2.8) e con m u n intero ~> 1, diremo che X 6 u n a super]icie di disconti~uitd di ordine m per ] se ~ttraverso X 6 discontinu~ con discontinuit~ di prima specie almeno un~
Gru-L~O ~AT~EI: Propagazione di onde magnetofluidodinam@he, ecc. 335
derivsta di ] di ordine ' m e continue la ] con t u t t e le sue derivste di ordine inferiore s m (si suppone che da e n t r a m b i i lati di X ] sis di elasse C~). Poich~ il sistema di equazioni differenziali descriventi il plasms ~ del primo ordine, s d o t t a n d o u n a denominazione ricorrente in sltri campi della Fisic~ l g a t e m a t i c s (cfr. per es. [50], [51]), le suddette superfici saranno c h i a m s t e super]ici di disco~ttinuitd debole.
Iqel seguito il sslto sttraverso X di u s a generics q u a n t i t £ sar~ indicsto col sim- bolo di dett~ q u a n t i t £ racchiuso ira psrentesi quadre.
Se X ~ per ] u n a superficie di discontinuitb debole di ordine 1, sussistono le ben n o t e eondizioni di compatibilitd geometrico-cinematiche per le discontinuitd
(lo.14) ~ = ; ~ , ~ = - a ~ , ,
dove )'s il parametro di discontinuit£ relstivo s d ] ed ~ dato dstls
(lo.1-5) b = ~ .
Dalle (10.1-4) si deduce per la discontinuit~ della derivata molecoture di ]
dove
= - - 2 f U ,
(10.1-7) /7 = a - - V. n
la velocit~ di propagazionc di X (velocit~ di avanzamento di Z relativa alle parti- celle i s t a n t s n e a m e n t e situate su 27 stessa, cir. [52] psg. 213).
Seguendo [53] (Sect. 183) definiamo ]ronti d'onda ]e superfici di diseontinuit~
di ordine generico per le quali sis U ¢ 0.
U n s superficie di discontinuit~ X par la quale sis U----0 si dir~ invece super- ]icie materiale di diseontinuitd. Tsle denominazione ~ t r s t t a dalls Meceanics dei sistemi continui, dove essa ~ giustificats dsl f a t t o che, se B U = 0, 27 B costituita sempre dslle stesse psrtieelle; infatti, avendosi, per (10.1-2), (10.]-3) e (10.1-7), dfh/dt = - - U[grad ~5[ B ors dqb/dt = 0 il the assicura (cir. [52] Sect. 8) quanto detto.
P e r lma superficie di discontinuit~ debole di ordine m l e (10.1-4) si gene- rslizzano nella
~_Tf -1 ( - a ) ~ - s ~ 7 , . , . ~ ( 0 < 8 < m )
(10.1-8) ~x~x+ ... ~x~St'~-sJ = ... n~
~(~) g dato dalla dove l'insieme di indici {i, j, ..., l} h a s elementi e -t
t~,~J "
336 GIULIO 1VfAT~EI: Propagazione di onde magnetolluidodinamiehe, ece.
Escludi~mo per il m o m e n t o le superfici mnteriali di discontinuitY, di cui ci oceu- peremo separntamente al n. 10.6. Nell'ipotesi quindi U # O consideriumo le
10.2. - Superfici di discontinuit~ debole di ordine 1.
Essendo U ~-0 queste superfici sono fronti d'ondn del primo ordine. Lo studio di essi nel enso del plusmn ineomprimibile non dissipativo descritto dnlle equa- zioni MFD ~ st~to ¢ntto dn vari Autori: cfr. per es. [54] § 6, [55], [56] n. 4.3, 4.4, 4.5 (in particolare png. 175-176), [1] Cap. I V (in pnrticolnre png. 152-153) e In bibliografia ivi indicata.
Applienndo le (10.1-4) si rica.vnno le seguenti condizioni di compntibilit~ dina- mica relative nell'ordine alle equazioni (2.7), (2.2), (2.8), (2.4) (un generico vettore d viene espresso, qunndo cib sin utile, come somma della sun parte norm~le d~ e della sun parte t~ngenziale d~ a 22)
(10.2-1) ~Ukv ÷ ~ 1 ( n A X ~ ) A B - - i p n = 0
(10.2-2) kr" n = 0
(10.2-3) Uk~ + B~kv = 0
(10.2-4) k . . n = 0 .
(Si noti ehe in (10.2-4), nelripotesi U ¢ O~ ~ conseguenzn della (10.2-3)). :Nelle (10.2-1)- (10.2-4) kr, ks, ~p sono i pnrametri carntterizzanti le discontinuit~ delle derivate prime nelrordine di V, B, P ; per (10.1-5) sussiste In
(10.2-5) k r = [ ~
e nnatoghe.
0sservinmo nnzitutto che non esistono fronti d'ondn con B~ = 0: i n f a t t i le (10.2-1)-(10.2-4) con U # 0 e B,~ = 0 implicano k B = 0, k V = 0 e )~p = 0. Mettendoci quindi nel cuso B~ # 0, scrivinm% con r u s o della (10.2-2) e (10.2-3), In (10.2-1) netla f o r m a
4Jr# U] Xvt -- k~" B~ n
dnlla qu~le si ricav~ per la velocit~ di propng~zione U S = A~
(10.2-6) dove
(lo.2-7) 1/IB:
Y 4 ~ # eindica t~ velocit~ di Alfv6n relativn nHn dixezione individunta dn n.
G I ~ I o )fAT~EI: Propagazione di onde magneto]luidodinamiehe, etc. 337
L a (10.2-6) caratterizza q u i n d i il f r o n t e d ' o n d a di Alfv6n. D a (10.2-1)' discende la
~ . B
(~o.2-s) ~ = - - - ,
4 ~
e per conseguenza, t e n e n d o presente the, in ogni caso, sussiste, come si pub facil- m e n t e verificare, la
XB'B [grad P~] = - - n (10.2-9)
si r i c a v a
(P~ pressione m a g n c t i c a ) ,
(10.240)
[grad ( P + P~)] = 0 .I n definitiva: in u n plasma incomprimibile non dissipativo descritto dalle eqna- zioni M-FD hello schema del continuo se b B~----0 n o n esistono f r o n t i d ' o n d a ; se B ~ 0 esiste u n solo f r o n t e d ' o n d a - - quello di Alfv6n - - a t t r a v e r s o il quale sono discontinue - - con discontinuit~ e n t r a r a b e a c a r a t t e r e trasversale - - le derivate dell'induzione m a g n e t i c a e della velocitY. A t t r a v e r s o tale f r o n t e d ' o n d a poi il gra- diente della pressione fluidodinamica e quello della pressione m a g n e t i c a sono in gene- rale discontimli (nel caso B t = 0 - - v e t t o r e induzione m a g n e t i c a n o r m a l e al f r o n t e d ' o n d a - - sono continui); in ogni caso ~ c o n t i n u o il gradiente della pressione totale.
Si pub poi osservare che il p r o c e d i m e n t o b a s a t o sutla t e o r i a delle superfici di discon- tinuit~ h a permesso fra l'altro di estendere a f r o n t i d ' o n d a di tipo generale nel- r a m b i t o delle equazioni n o n lineari e senza alcuna particolare ipotesi sulle condi- zioni c a r a t t e r i z z a n t i il p l a s m a hello s t a t o i m p e r t u r b a t o , risultati validi per le onde p l a n e lineari propagantesi in u n plasma che si t r o v a in uno stato i m p e r t u r b a t o
~,costante~) (cio5 c a r a t t e r i z z a t o dalle (2.9)).
10.3. - Superfici di discontinuit~ debole di ordine generico.
Applicando al sistema di equazioni differenziali scalari descriventi il plasma l ' o p e r a t o r e
~x~ ... ~x~ (m > 1 ) ,
dove l'insieme di indici {a ... c} h a m - - 1 elementi, e facendo successivamente uso della (10.1-8), si t r o v a ehe le condizioni di compatibilitb~ dinamica (e per conseguenza i possibili valori di U) relative alle superfici di discontinui¢$ debole di ordine 1 coin- cidono c o a quelle r e l a t i v e alle superfici di discontinuit~ debole di ordine m generico,
2 2 - A n n a l t di Matematica
338 G~uL~o MAmTI~I: Propagazione di onde magneto]luidodinamiche, etc.
dove i p a r a m e t r i di discontinuit~ ~,(v ~), ~k(~ ~), ..~(~) sono d a t i dalle (cfr. (10.1-9))
10.4. - P r o b l e m a di Cauchy e c o n s t a t a z i o n e ehe le superfici di discontinuit~ debole M F D s o n o caratteristiche.
Studiando con procedimenti noti il problems di Cauchy ncll'ambi¢o delle solu- zioni analitiche rel~tivo al sis~em& di equazioni differenziali descriventi il plasma, si constata ehe le superfici di discontinuitg debole, non materiali, di ordine generico m >~ 1 sono earatteristiche.
Per u n a discussione sul leg&me fra superfici di discontinuit~ e caratte1%tiche i n d i p e n d e n t e m e n t e dal particolare sistema fisico studiato cfr. [53] Sect. 19¢A.
10.5. - L e g a m e c o n le onde lineari piane.
L e (3.21) e (10.2-6) indicano u n a palese corrispondenza, vMevole per qualsiasi direzione di propagazione, fra la velocit~ di fase u della onde lineari piane e la velo- cit~ di propagazione U dei fronti d ' o n d a non lineari.
Per aria discussione sulla n a t u r a della corrispondenza fra u e U indipendente- m e n t e dal pa.rticolare sistema fisico studiato si rima.nda ~ [53] Sect. 194A, dove si mostr& t h e essa g da attendersi a priori per i sistemi quasi lineari che siano total- m e n t e iperbolici (come appunto g il caso del sistema di eqttazioni diffcrenziMi descri- v e n t i il plasma in questione) (s).
10.6. - Sul)erfiei materiali di diseontinult~.
Nell'ipotesi U = 0 (superfici materiMi di discontinuitY), la (10.2-3) diventa
(10.6-1) B ~ X v = 0 .
Si presentano percib due casi:
1 ° eetso: B~ ~ 0
(s) Per importanti osservazioni sull'argomento con specifico riferimen~o a un m~tcriMe elastico cfr. [57], n. 4, 5.
GIuLm ~IiTTE~: Propagazione di onde magnetofluidodinamiehe, etc. 339
I n tM caso da (10.6-1) discende X 7 = 0 e la (10.2-1) d i v e n t a
la quale implic~, per (10.24), R~ = 0 e 2~ ~--0. Qnindi se 6 B~ve 0 n o n csistono superfici materiali di discontimdt~ (e percib l'unica superficie di discontinuit?~ debole nel caso B ~ ¢ 0 6 il f r o n t e d~onda di Alfven).
2° caso: Bn ~--~0
L a (10.6-1) resta soddisfutta e la (10.2-1) coincide con lu (10.2-8) dMlu quMe discende la (10.2-10).
Si conclude percib che per il plasma in esume possono esistere superfici materiali di discontinuit~ debole solo se t a n g e n t i M v e t t o r e induzione magnetica. Su di esse le eventuMi discontinuit~ helle d e r i v a t e della velocit~ hanno car~ttere trusversMe e le eventuMi discontinuit~ nelle d e r i v a t e dell~ pressione e delI~ induzione m~gne- tica devono soddisfare la condizione (10.2-8) che assicur~ lu continuit~ del gradiente della pressione totMe. Possono poi verificursi ]e circostanze p~rticolari: (] ) ),p ---- 0~
X ~ = 0 con Rvt~: 0 arbitrario, cio6 superfici a t t r a v e r s o cui sono continue le derivate della pressione e della induzione magnetica, ma discontinue quelle della velocit£;
(2) ~ ¢ 0 , Rz~e0, Rv----0, cio6 superfici a t t r a v e r s o cui sono c o n t i n u e le d e r i v a t e della velocitY, m~ discontinue le derivate della pressione c della induzione mugnetica~
]egate fra loro dM]a (10.2-8).
10.7. - L e g a m e fra la discontinuitlt del vortice e la discontinuith del vettore densith di eorrente elettrica attraverso il fronte d'onda di Alfv6n.
T e n e n d o conto che
[rot V] = nA Xr, dMla (10.2-1) si ricav~ la
(10.7-1)
[rot B ] = 4 ~ [3] = nA R~
e U[rot V] = - - B__~. [j ]
che colleg~ 1~ discontinuitY, del vortice ~ qnell~ del v e t t o r e densit~ di corrente elettrica.
L~ (10.7-1) - - valida anche nel c~so comprimibile in q u a n t o conseguenz~ della (10.2-1) - - b s t a t a messa in luce in [55] dove se ne sottolinea l'importanza.
340 GIuLIO MAT:eEl: Propagazione di onde magneto]luidodinamiche, ecc.
l l . - Qualche ulteriore indieazione bibliografica su argomenti specifici.
1. onde M F D lineari con c a m p o m~gnetieo n o n u n i f o r m e hello stato imper- t u r b a t o : eft. [14] n. 3.4 e [58];
2. riflessione e riffazione delle onde di Alfv6n; propaguzione in un mezzo str~- tifiea~to: air. [14] n. 3.5;
3. onde sempliei M F D : [56] Cap. V (in partieolure n. 5.1), [1] Cap. V.
APPENDICE I
Una osservazione eonnessa con l'effetto Doppler in magnetofluidodinamlca.
Con r i l e r i m e n t o a q u a n t o s4sto nel n. 7 facciamo qui a n a osservazione connessa con l'effetto Doppler in MFD.
lag trasformazione ( 7 . 6 ) - t e n u t o conto deli'invarianza di k (cfr. (A.4)) equivale alla t r a s f o r m a z i o n e
(A.1) u -> u'~
dove u = o~/k ~ la velocit£ di iase (( assoluta ~ (eio~ riieritu atla t e r n a T precisata a l n . 7) e
(A.2) u ' = u - V0~
6 la velocit~ di fase ~( relativ~ ~) (cio6 riferita a a n a t e r n a Galileiana T ' rispetto alla quale il plasma netlo s t a t o i m p e r t u r b a t o ~ i n quiete).
Quindi possiamo affermare che per la propagazione di onde M F D plane in u n plasma che hello s t a t o i m p e r t u r b a t o n o n 6 in quiete bensi in m o t o traslatorio ret- tilineo m~iforme, t u t t o si riduce a sostituire u con u'.
o p p o r t u n o a questo p u n t o sottolineare che q u a n t o sopra ~ s t a t o d e d o t t o (ed e e r t a m e n t e du a t t e n d e r s i ~ priori) t r a s c u r a n d o lu eorrente di spostamento, l~on trascuxando infa~ti tale eolTente la s u d d e t t a affermazione n o n ~ pifl v e r a : al riguardo, se ci si riferisce, per semplieith, al easo di assenza di effetto Hall (fl = 0), m a n o n si trascwra la corrente di spostamento, l'equ~zione di dispersione a eui si perviene (cir. [15] E q . (8.5.5))
\ c /
1~ (A.3) m e t t e e h i u r a m e n t e in evidenz~ che, proprio per il t e r m i n e i n t r o d o t t o dulla corrente di s p o s t a m e n t o (--A~co~/c~), n o n ~ pifl v e r a l'~ffermazione in questione.
G I u L I o MATTEI: Propagazione di onde magneto/luidodinamiche, eve. 341
8e si t i e n e conto del r a t i o che in assenza di corrente di s p o s t a m e n t o le equa- zioni MYFD sono i n v a r i a n t i p e r u n a t r a s f o r m ~ z i o n e di GALILEO (cfr. [9] 10ag. 312, [14] pug. 16) - - m e n t r e in p r e s e n z a di d e t t a corrente cib n o n g pifl vero, s t a n t e Pin- v a r i a n z a p e r t r a s f o r m a z i o n i di L o r e n t z delle equazioni di Maxwell - - q u a n t o sopra a p p a r e f i s i c a m e n t e ehiaro e n a t u r a l e .
Ynfatti, i m p o n e n d o l ' i n v a r i a n z a della fuse d e l l ' o n d a p i a n a m o n o c r o m a t i c a (s), a b b i a m o
cot - - kZ ~ (9' t ' - - 1¢' Z'~
d o v e le g r a n d e z z e con l ' a p i c e sono riferite alla t e r n a T ' , d a c u i , t e n e n d o conto del f a t t o che z' e t' sono legati a z e t dalla t r a s f o r m a z i o n e Ga.lileiana
z' -= z - - Volt t ' = t , discendono le
(AA) / ~ ' = k (come n a t u r a l e )
(A.5) co' = c o - - kFo~ (cir. (7.6)).
]~ quasi superfluo o s s e r w r e che 1~ (A.5) g la b e n n o r a espressione m a t e m a t i c a dell'e]/etto Doppler n o n relativistico.
I1 c o n t e n u t o di q u e s t a A p p e n d i c e e la t r a s f o r m a z i o n e (7.6) sono validi - - c o m e facile convincersi - - sia in p r e s e n z a che in assenza di corrente Hall, e sia p e r il pla, s m a viscoso e dots, to di conducibilit~ e]ettrica finita che p e r quelto n o n viscoso e p e r f e t t o condu%ore dell'elettricit~.
APP~,NDIO~ I I
Una osservazione sulla equipartizione fra la densit~t di energia c'metiea e la densit~t di energia magnetica dell'onda di Alfv~n.
b e n n o t a (cir. [6] n. 3.4.3) la descrizione delle onde di Alfv6n - - in u n p l a s m a omogeneo i n c o m p r i m i b i l e n o n d i s s i p a t i v o deseritto dalle equazioni 1WFD nello s c h e m a del c o n t i n u o - - b a s a t a su u n a analogia i r a linee di forza m a g n e t i c h e e eorde v i b r a n t i elastiche. I n t a l e analogia - - m e s s a in luce d a Alfv6n nel 1942 - - le linee di forza m a g n e t i c h e , essendo m o b i H col fluido, v e n g o n o p e n s a t e come corde m a t e r i a l i con m a s s a p e r unit~ di lunghezza eguale atla densit~ ~o del fiuido; t e n u t o conto che la tensione m a g n e t i c a lungo di esse vale ~ - B~/4W~t , d e t t a analogia indica che le (9) Tale invarianza sussiste peraltro, come ~ ben noto, anche in relativit£ ristretta (cfr.
[59] Cap. i n. 3, C~lo. I I n. 23).
342 C~IULIO ~ A T T E I : Propagazione di onde magneto]luidodinamiche, ece.
onde M F D di Alfven possono interpretarsi come oscilluzioni trasversuli delle linee di forz~ mugnetiche con velocit£ di fuse V'~/~o = Bo/v/~tt~o = Ao, in pieno accordo con (3.12).
Vogli~mo qui osserv~re che, se si tiene conto del f~tto che in un~ corda ela- stic~ vibr~nte per u n ' o n d u tr~sversule con funzione d ' o n d u del tipo T - - - - T ( z ~ ut) (o, equivulentemente, del tipo q~ = q)(z + ut)) c'~ equip~rtizione fr~ energia cinetic~
ed energia potenzi~le (cfr. [60] n. 14), 1~ suddett~ analogia fu prevedere per le onde di Alfven l~ equip~rtizione fr~ lu densit~ d'energiu cinetic~ e 1~ densit~ d'energi~
m~gnetic~ dell'ond~. Cib ~ in effetti in uccordo con 1~ (3.24), ricav~ta nl n. 3 per te onde sinusoid~li, m~ dimostr~bile f~cilmente (~0) unche p e r le onde con funzione d ' o n d u del tipo T = T ( z - - u t ) (o, equivulentemente, del tipo ~ = qS(z~-ut)).
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(~0) Cfr. per es. [14], pp. 68-69 ed anche il n. 9 del presente lavoro.
