Media e varianza di combinazioni lineari di v.c.

Media e varianza di combinazioni lineari di v.c.

W = aX + bY + c, a, b, c ∈ R EW = a EX + b EY + c

Se X e Y sono indipendenti, allora

V.c. continue

Esistono prove che generano una infinit`a continua di eventi a cui dovr`a essere associata una v.c che assumer`a tutti i valori di un intervallo (che potr`a coincidere eventualmente con l’intera retta reale)

In tal modo si otterr`a una v.c. X continua Se X continua P(X = x0) = 0 ∀x0

Non ha senso definire la distribuzione di probabilit`a Per tali v.c. definiamo la funzione densit`a di probabilit`a f (x ) t.c.

f (x ) ≥ 0 Z ∞

−∞

Funzione densit`

a di probabilit`

a

f (x ) non `e una probabilit`a, ma `e legata ad essa dalla seguente relazione: P(x0 < X < x1) = Z x1 x0 f (x ) dx Graficamente

Commento

Una v.c. continua `e nota quando `e noto

1 l’intervallo in cui essa assume valori [a, b]

Valore atteso e varianza di una v.a. continua

Data una v.c. continua X EX =R_abx f (x ) dx var X =Rb

a(x − EX )

Funzione di ripartizione

Data una v.c. continua X possiamo definire la funzione di ripartizione

F : x 7−→ F (x ) = P(X ≤ x )

F (x ) =Rx

−∞f (z) dz

V.c. uniforme continua

X assume valori uguali per intervalli di uguale ampiezza f (x ) =

 1

b−a se a < x < b

0 altrimenti

EX =R_ab_b−ax dx = a+b₂

Esercizio 6.7 pag 214

X = reddito `e una v.c. continua reddito mediano=$6000

il 40% di tutte le famiglie ha un reddito che supera $72000 P(6000 < X < 7200) =?

V.c. normale o di Gauss

Empiricamente si trova che riesce a modellare molti fenomeni La distribuzione delle medie campionarie `e

approssimativamente normale (Teorema del Limite Centrale)

Il calcolo delle probabilit`a ad esso associato `e immediato e schematico

V.c. normale o di Gauss (2)

X `e definita per x ∈ R

Funzione densit`a di probabilit`a f (x ) = √ 1 2πσ2exp n(x − µ)2 2σ2 o , −∞ < µ < ∞, σ > 0

Propriet`

a della v.c. normale

EX = µ var X = σ2 f (·) `e campanulare Perfettamente simmetrica Centrata in µ Legge del 3 − σ. Se X ∼ N(µ, σ2), allora P(µ − σ < X < µ + σ) = 0.6827 P(µ − 2σ < X < µ + 2σ) = 0.9545 P(µ − 3σ < X < µ + 3σ) = 0.9973

Funzione di ripartizione della v.c. normale

Non esiste in forma chiusa

Ci si riconduce alle tavole della normale standard, ovvero se x ∼ N(µ, σ2) costruisco la v.c.

Z = X − µ σ Z ∼ N(0, 1)

La funzione di ripartizione di Z , F (cdot), `e tabulata

Le tavole si trovano nelle ultime pagine di un qualsiasi libro di statistica!

Teorema del Limite Centrale

Enunciato

Sia X1, X2, · · · una successione di v.c. indipendenti

Sia µ1, µ2, · · · la successione delle medie, µi ∈ R

Sia σ₁2, σ₂2, · · · la successione delle varianze 0 < σ_i2 < ∞ Sia Sn= X1+ X2+ · · · + Xn

S1, S2, . . . , Sn, . . . `e una nuova successione di v.c.

ESn= µ1+ µ2+ · · · + µn var Sn= σ12+ · · · + σn2 Per n → ∞ S_√n− ESn var Sn ∼ N(0, 1)

Approssimazione della v.c. binomiale alla v.c. normale

X1, X2, · · · una successione di v.c. indipendenti bernoulliane

con un unico parametro p

Xi ∼ Ber (p)

Sn= X1+ X2+ · · · + Xn`e una v.c. binomiale

Sn∼ Bin(n, p)

ESn= np, var Sn= np(1 − p)

Dal TLC abbiamo che per n → ∞ Sn− np

pnp(1 − p) ∼ N(0, 1)

Dunque, per n sufficientemente grande posso approssimare Sn∼ N(np, np(1 − p))

Variabile casuale χ

2

Siano Z1, Z2, . . . , Zn v.c. indipendenti normali standard

Zi ∼ N(0, 1)

Consideriamo la v.c.

χ = Z₁2+ Z₂2+ · · · + Z_n2 χ ∼ χ2(n)

Si dice che χ ha una distribuzione chi quadrato con n gradi di libert`a

Variabile casuale χ

2

(2)

Funzione densit`a di probabilit`a

E χ = n var χ = 2n

La funzione di ripartizione `e tabulata In virt`u del TLC per n → ∞ χ ∼ N(n, 2n)

Variabile casuale T di Student

Siano Z ∼ N(0, 1) e χ ∼ χ(n) (n > 2) v.c. indipendenti Consideriamo la nuova v.c. T = qZ χ n T ∼ T (n)

Variabile casuale T di Student (2)

Funzione densit`a di probabilit`a

ET = 0 var T = _n−2n

La funzione di ripartizione `e tabulata In virt`u del TLC per n → ∞ T ∼ N(0,_n−2n )