1 Combinazioni lineari.

(1)

LeLing5: Spazi Vettoriali.

A ¯ rgomenti svolti:

• Combinazioni lineari.

• Sistemi lineari e combinazioni lineari.

• Definizione di spazio vettoriale.

E ¯ sercizi consigliati: Geoling 6, Geoling 7.

1 Combinazioni lineari.

Data una colonna





 a

₁

a

₂

a

₃

.. . a

m−1

a

_m







e un numero c possiamo moltiplicarli, cioe’

c.





 a

₁

a

₂

a

3

.. . a

_m−1

a

_m







=





 c a

₁

c a

₂

c a

3

.. . c a

_m−1

c a

_m







Date due colonne A, B e due numeri c

₁

, c

₂

possiamo combinarli linearmente, cioe’

c

₁

A + c

₂

B = c

₁

.





 a

₁

a

2

a

₃

.. . a

_m−1

a

_m





 + c

₂

.





 b

₁

b

2

b

₃

.. . b

_m−1

b

_m







=







c

₁

a

₁

+ c

₂

b

₁

c

1

a

2

+ c

2

b

2

c

₁

a

₃

+ c

₂

b

₃

.. .

c

₁

a

_m−1

+ c

₂

b

_m−1

c

₁

a

_m

+ c

₂

b

_m







Piu’ in generale dati dei numeri (chiamati coefficienti) c

₁

, c

₂

, · · · , c

_n

e le colonne

A

₁

, A

₂

, · · · , A

_n

possiamo scrivere la loro combinazione lineare:

(2)

C = c

1

A

1

+ c

2

A

2

+ · · · + c

n

A

n

. Ovviamente C e’ una colonna.

Esempio 1.1. La colonna D =



 3 5 7



 e’ combinazione lineare delle colonne A =



 1 0 0



, B =



 0 1 0



 e C =



 0 0 1



. Infatti, D = 3A + 5B + 7C , dunque 3, 5 e 7 sono i coefficienti della combinazione lineare.

Possiamo allora chiederci quando una data colonna B e’ combinazione lineare delle colonne A

₁

, A

₂

, · · · , A

_n

. Possiamo dunque pensare i coefficienti c

₁

, c

₂

, . . . , c

_n

come incognite x

₁

, x

₂

, · · · , x

_n

e la domanda e’ se esistono soluzioni del seguente problema:

x

₁

A

₁

+ x

₂

A

₂

+ · · · + x

_n

A

_n

= B. (1) Ecco un esempio.

Esempio 1.2. Vediamo il caso n = 1, cioe’ con una sola colonna A

₁

. Dunque il problema e’ se esiste x tale che xA

₁

= B . Allora se A

₁

= 1

0 e B = 0 1

tale x non esiste poiche’ xA

₁

= x

0 6= 0 1

per qualsiasi x.

Ecco altro esempio:

Esempio 1.3. Vediamo il caso n = 2 e B = 0, la colonna zero 0. Dunque il problema e’

se esistono x

₁

, x

₂

tali che x

₁

A

₁

+ x

₂

A

₂

= 0. Certamente x

₁

= x

₂

= 0 e’ una soluzione.

Ecco un esempio piu’ concreto:

Esempio 1.4. Sia A

₁

=



 1 0 3



, A

₂

=



 5

−1 7



, A

₃

=



 12

−2 20



 e sia B =



 11 13

−7



 l’equazione (1) e’ x

₁

A

₁

+ x

₂

A

₂

+ x

₃

A

₃

= B , cioe’

x

₁



 1 0 3



 + x

₂



 5

−1 7



 + x

₃



 12

−2 20



 =



 11 13

−7



 ;

(3)

sommando si trova





x

1

1 + x

2

5 + x

3

12 x

₁

0 + x

₂

(−1) + x

₃

(−2)

x

₁

3 + x

₂

7 + x

₃

20 

 =



 11 13

−7





e infine si arriva a un sistema non-omogeneo







x

₁

1 + x

₂

5 + x

₃

12 = 11 x

1

0 + x

2

(−1) + x

3

(−2) = 13 x

₁

3 + x

₂

7 + x

₃

20 = −7

. Dunque x

₁

, x

₂

, x

₃

esistono se e solo se questo sistema e’ compatibile.

L’ultimo esempio illustra il fatto che l’equazione (1) nasconde un sistema lineare, ossia e’ un modo piu’ semplice di scrivere un sistema lineare di m equazioni e n incognite.

Ecco piu’ esplicitamente: scriviamo le colonne A

i

=





 a

_1i

a

_2i

a

_3i

.. . a

m−1 i

a

_{m i}







e B =





 b

₁

b

₂

b

₃

.. . b

m−1

b

_m





 .

Dunque l’equazione (1) si scrive come:

n

X

i=1

x

_i





 a

_1i

a

_2i

a

3i

.. . a

_{m−1 i}

a

_{m i}







=





 b

₁

b

₂

b

3

.. . b

_m−1

b

_m





 .

Cos`ı si arriva al seguente sistema lineare:

S =



 



 



a

_{1 1}

x

₁

+ a

_{1 2}

x

₂

+ · · · + a

_{1 n}

x

_n

= b

₁

a

_{2 1}

x

₁

+ a

_{2 2}

x

₂

+ · · · + a

_{2 n}

x

_n

= b

₂

a

_{3 1}

x

₁

+ a

_{3 2}

x

₂

+ · · · + a

_{3 n}

x

_n

= b

₃

. . . . a

_{m 1}

x

₁

+ a

_{m 2}

x

₂

+ · · · + a

_{m n}

x

_n

= b

_m

Proposizione 1.5. L’equazione x

₁

A

₁

+ x

₂

A

₂

+ · · · + x

_n

A

_n

= B ha soluzione se e solo

se il sistema lineare S e’ compatibile.

(4)

2 Spazi Vettoriali

Dall’inizio del corso si e’ vista l’importanza dell’operazione + “somma” (tra righe, colonne, equazioni, etc.,) e la moltiplicazione per un numero c (di solito chiamato coefficiente). Usando somme e coefficienti si arriva al concetto di combinazione lineare:

c

₁

A

₁

+ c

₂

A

₂

+ · · · + c

_n

A

_n

. La struttura matematica che permette di sommare e moltiplicare per numeri si chiama spazio vettoriale e si la denota con la lettera V. Detto in parole semplice uno spazio vettoriale e’ un insieme V dove e’ possibile sommare due elementi e moltiplicare un elemento per un numero c, tale che una combinazione lineare c

₁

A

₁

+ c

₂

A

₂

+ · · · + c

_n

A

_n

tra numeri c

_i

e elementi A

_i

di V sia ancora un elemento di V.

Ecco qualche esempio conosciuto.

Esempio 2.1. L’insieme R

ⁿ

= {(x

₁

, x

₂

, · · · , x

_n

) : x

_i

∈ R} e’ uno spazio vettoriale.

Cioe’, se A

1

, A

2

, · · · , A

n

∈ R

ⁿ

e c

1

, c

2

, · · · , c

n

∈ R allora la combinazione lineare c

¹

A

1

+ c

₂

A

₂

+ · · · + c

_n

A

_n

appartiene a R

ⁿ

.

Esempio 2.2. L’insieme C

n

= {





 a

₁

a

₂

a

3

.. . a

_n







: a

i

∈ R} delle colonne con n elementi e’

uno spazio vetoriale. Cioe’, se A

₁

, A

₂

, · · · , A

_n

∈ C

_n

e c

₁

, c

₂

, · · · , c

_n

∈ R allora la combinazione lineare c

₁

A

₁

+ c

₂

A

₂

+ · · · + c

_n

A

_n

appartiene a C

_n

.

Esempio 2.3. L’insime R

_n

= {(a

₁

a

₂

· · · a

_n

) : a

_i

∈ R} delle righe con n elementi e’ uno spazio vetoriale. Cioe’, se A

₁

, A

₂

, · · · , A

_n

∈ R

_n

e c

₁

, c

₂

, · · · , c

_n

∈ R allora la combinazione lineare c

₁

A

₁

+ c

₂

A

₂

+ · · · + c

_n

A

_n

appartiene a R

_n

.

2.1 Definizione astratta di spazio vettoriale

Dall’inizio del corso la parola ”numero” ha voluto significare numero reale. Ma conos- ciamo, o abbiamo sentito parlare, di altri numeri, cioe’ complessi, razionali, etc. Oggi il computer usa numeri binari, cioe’ 1 + 1 = 0. Dunque esistono molti classi di numeri e allora ci puo’ capitare di trovare combinazioni lineari c

₁

A

₁

+ c

₂

A

₂

+ · · · + c

_n

A

_n

dove i coefficienti non sono piu’ numeri reali. Un esempio di questo e’ il gioco All Lights

¹

. Dunque, nella definizione generale di spazio vettoriale si deve precisare l’insieme K dei numeri

²

in anticipo, ossia dove prendiamo i coefficienti c

₁

, c

₂

, · · · . Ecco la definizione.

1

http://javaboutique.internet.com/AllLights/

2

Un insieme di numeri K si chiama campo numerico

(5)

Definizione 2.4. Un insieme V, un campo numerico K, una somma + tra elementi di V , cioe’ se A, B ∈ V allora A + B ∈ V , una moltiplicazione . tra i numeri di K e gli elementi di V, cioe’ se c ∈ K e A ∈ V allora c.A ∈ V e’ uno spazio vettoriale

³

se i seguenti otto assiomi sono soddisfatti:

S1. Per ogni scelta di A, B, C ∈ V si ha: (A + B) + C = A + (B + C).

S2. Per ogni scelta di A, B ∈ V si ha: A + B = B + A.

S3. Esiste un elemento O ∈ V tale che: A + O = A per ogni A ∈ V.

⁴

S4. Per ogni A ∈ V esiste B tale che A + B = 0.

P1. Per ogni A ∈ V si ha 1.A = A, dove 1 ∈ K.

P2. Per ogni A ∈ V si ha (a.b).A = a.(b.A) per ogni scelta di a, b ∈ K.

D1. Per ogni A ∈ V si ha (a + b).A = a.A + b.A per ogni scelta di a, b ∈ K.

D2. Per ogni a ∈ K si ha a.(A + B) = a.A + a.B per ogni scelta di A, B ∈ V.

E’ importante sapere che lo scopo degli otto assiomi e’ quello di permetterci di “la- vorare” facilmente con le combinazione lineari. Ecco qualche esempio.

Esempio 2.5. L’assioma S1. ci permette di non usare le parentesi, altrimenti non sarebbe chiaro se le seguenti combinazioni lineari sono uguali o pure no:

(c

₁

A

₁

+ c

₂

A

₂

) + c

₃

A

₃

= c

^? ₁

A

₁

+ (c

₂

A

₂

+ c

₃

A

₃

);

cioe’ serve un assioma per chiarire questo dubbio. L’assioma S2. serve per assicurare che l’ordine della somma di una combinazione lineare non e’ importante, cioe’ da’ lo stesso risultato

c

₁

A

₁

+ c

₂

A

₂

+ c

₃

A

₃

= c

₃

A

₃

+ c

₁

A

₁

+ c

₂

A

₂

.

L’assioma S3. ci permette di mettere zero al posto di tutti i coefficienti e trovare quello che ci aspettiamo, cioe’ la combinazione banale o nulla come un elemento di V. L’assioma S4. ci permete di passare combinazioni lineari dal lato destro al sinistro (o vicerversa) di una equazione tra combinazioni lineari.

3

Di solito si dice che V e’ uno K-spazio vettoriale.

4

Attenzione: L’elemento O ∈ V si chiama diversamente a seconda la natura dello spazio vettoriale,

ad esempio, elemento neutro, vettore nullo, vettore zero, funzione nulla, vettore banale, colonna banale,

riga banale,etc.

(6)

Insomma, ogni assioma coglie una proprieta’ (molto semplice) delle combinazioni lineari tra numeri (coefficienti) e vettori

⁵

.

3 Altri esempi di spazi vettoriali

Abbiamo visto che le colonne e le righe (di n elementi) sono uno spazio vettoriale. Ecco due generalizzazioni:

R

∞

:= {(a

1

a

2

· · · ) : a

i

∈ R}, cioe’ l’insieme delle righe con infiniti elementi.

Scrivendo a = (a

_i

) ∈ R

∞

per denotare una riga con infiniti elementi, la somma si definisce come (componente a componente) a + b := (a

_i

+ b

_i

) e il prodotto con un numero r ∈ R r.a := (ra

ⁱ

).

Analogamente C

∞

:= {





 a

₁

a

₂

a

3

.. .







}, cioe’ l’insieme delle colonne con infiniti elementi.

Scrivendo a = (a

ⁱ

) ∈ C

_∞

per denotare una colonna con infiniti elementi la somma si definisce come (componente a componente) a + b := (a

ⁱ

+ b

ⁱ

) e il prodotto con un numero r ∈ R r.a := (ra

ⁱ

).

3.1 Matrici e tensori: gli indici servono per sommare componente a componente

Guardando il caso delle colonne e le righe ci si rende conto che la cosa importante e’ l’

“indice”, cioe’ per sommare e moltiplicare abbiamo sommato gli elementi con lo stesso sottoindice. Dunque approfittando di questa osservazione si vede che l’insieme M

^n,m

delle matrici con n righe e m-colonne e’ uno spazio vettoriale. Ecco come si definisce la somma e il prodotto: si usa l’osservazione precedente, cioe’ se a, b ∈ M

^n,m

sono due matrici la loro somma si definisce come a + b := (a

_{i j}

+ b

_{i j}

), dove a = (a

_{i j}

) e b = (b

_{i j}

).

Se r e’ un numero allora r.a := (r.a

_{i j}

).

I tensori si definiscono in modo analogo, cioe’ generalizzando l’idea e usando 3,4,5,etc indici. Ad esempio prendiamo lo spazio vettoriale dei tensori con tre indice (t

_ijk

). La somma si definisce come s + t := (s

_{i j k}

+ t

_{i j k}

) e se r e’ un numero allora r.t := (rt

_ijk

)

5

Un vettore e’ (per definizione) un elemento di V, cioe’ se A ∈ V allora A e’ un vettore.

(7)

3.2 Bits, bytes e computers, cioe’ spazi vettoriali su Z 2

La definizione di spazio vettoriale permette di usare numeri diversi dei numeri reali. Il computer usa i numeri binari, cioe’ Z

2

= {0, 1}, dove 1 + 1 = 0, etc. Gli elementi di Z

²

= {0, 1} si chiamano bits. Possiamo allora definire colonne, righe, matrici, tensori, etc, con numeri in Z

2

. Ad esempio, lo spazio R

₈

= {(a

₁

a

₂

a

₃

a

₄

a

₅

a

₆

a

₇

a

₈

) : a

_i

∈ Z

2

} e’

forse lo spazio vettoriale piu’ importante della informatica. E’ cosi’ importante che i suoi vettori hanno un nome particolare: si chiamano bytes. Il famoso codice ASCII usa R

8

per rappresentare l’alfabeto e i simboli piu’ usati del linguagio. Ad esempio, la lettera

“a” e’ il vettore (meglio dire “byte”) (0 1 1 0 0 0 0 1), la virgola “,” e’ (0 0 1 0 1 1 0 0),

etc. Se uno interpreta i bytes come le cifre dei numeri scritti in base 2 allora e’ facile

vedere che la lettera ”a” corrisponde al numero 97 e la virgola “,” corresponde al numero

44. Allora e’ naturale aspettarsi che la lettera “b” corresponda al numero 98. Infatti

e’ cosi’, poiche’ la lettera “b” e’ rappresentata del byte (0 1 1 0 0 0 1 0). Notare che

98 = 0.2

⁷

+ 1.2

⁶

+ 1.2

⁵

+ 0.2

⁴

+ 0.2

³

+ 0.2

²

+ 1.2

¹

+ 0.2

⁰

.