2. LA VALUTAZIONE DELLA SICUREZZA

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2. LA VALUTAZIONE DELLA SICUREZZA

Nel presente capitolo si effettua la valutazione della vulnerabilità dell’edificio, questa è indispensabile per capire l’attuale grado di sicurezza del fabbricato e per giudicare l'opportunità di esecuzione di interventi di adeguamento; in quest'ultimo caso, costituisce la base per individuare il tipo e l'estensione degli interventi necessari.

2.1. Livelli di conoscenza e fattori di confidenza

Il modello per la valutazione della sicurezza deve essere definito e giustificato in ogni sua parte in relazione al comportamento strutturale attendibile della costruzione.

Il DM 14.1.2008, di concerto con la circolare n.617, stabilisce tre diversi livelli di conoscenza del fabbricato esistente, individuati in funzione delle operazioni conoscitive effettuate.

Ad ogni livello di conoscenza corrisponde un fattore di confidenza, ulteriore coefficiente parziale di sicurezza che tiene conto delle carenze nella conoscenza dei parametri del modello (DM 2008):

• LC3, si intende raggiunto quando siano stati effettuati il rilievo geometrico, verifiche in situ estese ed esaustive sui dettagli cos truttivi, indagini in situ esaustive sulle proprietà dei materiali. FC = 1;

• LC2, si intende raggiunto quando siano stati effettuati il rilievo geometrico, verifiche in situ estese ed esaustive sui dettagli costruttivi ed indagini in situ estese sulle proprietà dei materiali. FC = 1,2;

• LC1, si intende raggiunto quando siano stati effettuati il rilievo geometrico, verifiche in situ limitate sui dettagli costruttivi ed indagini in situ limitate sulle proprietà dei materiali. FC = 1,35.

16 Il primo passo per la corretta individuazione del sistema strutturale esistente è la ricostruzione del processo di realizza zione e l'individuazione delle modifiche subite nel tempo, di notevole importanza operativa per la modellazione meccanica globale dell'edificio. In secondo luogo, occorre procedere con le operazioni di rilievo architettonico e strutturale mirate a ricostruire la fisicità del manufatto ed a porne in luce i dettagli costruttivi più significativi. Nel caso in esame,il rilievo non è stato direttamente svolto, ma si è utilizzato il rilievo esistente, eseguito dai professionisti che si occupano del nuovo progetto di ampliamento.

La norma richiede di esaminare con particolare attenzione i seguenti dettagli costruttivi: • qualità del collegamento tra pareti verticali;

• qualità del collegamento tra orizzontamenti e pareti ed eventuale presenza di cordoli di piano o di altri dispositivi di collegamento;

• esistenza di architravi strutturalmente efficienti al di sopra delle aperture;

• presenza di elementi ad elevata vulnerabilità;

• presenza di elementi strutturalmente efficienti atti ad eliminare le spinte eventualmente presenti;

• tipologia di muratura e sue caratteristiche costruttive.

Le verifiche in situ sui dettagli costruttivi suggerite dalla circolare n.617 sono di tipo:

• Limitato, rilievi visivi operati rimuovendo l'intonaco e saggi nella muratura che consentano di individuare le caratteristiche dell'apparecchiatura muraria, dell'ammorsamento tra muri ortogonali e dei solai nelle pareti. I collegamenti possono essere desunti da una conoscenza approfondita delle tipologie dei solai e della muratura;

• Esteso ed esaustivo, rilievi visivi effettuati ricorrendo a saggi nella muratura che consentano di esaminare le caratteristiche sia in superficie che nello spessore murario e di ammorsamento tra muri ortogonali e dei solai nelle pareti. I collegamenti devono essere verificati in modo sistematico nell'intero edificio.

17 Le verifiche effettuate sul nostro edificio sono da considerarsi Limitate.

E' in ultimo importante caratterizzare i materiali di cui è composto l'organismo strutturale sulla base sia della documentazione storica, sia di verifiche in situ.

L'esame della qualità muraria ha come finalità principale quella di stabilire se la muratura in esame è capace di un comportamento strutturale idoneo a sostenere le azioni statiche e dinamiche prevedibili per l'edificio in oggetto, tenuto conto delle categorie di suolo. In quest'ottica sono di particolare importanza la presenza/assenza di elementi di collegamento trasversale, la forma, la tipologia dei blocchi, la tess itura, le giaciture e la qualità dei letti di malta.

Le indagini in situ che si possono svolgere si possono categorizzare come segue:

• Indagini Limitate, sono basate su esami visivi della superficie muraria, condotti dopo la rimozione di una porzione di intonaco della dimensione minima di 1m x 1m da eseguirsi preferibilmente negli angoli al fine di verificare le ammorsature tra le pareti;

• Indagini Estese, le indagini sono svolte in maniera estesa e sistematica, con saggi superficiali ed interni per ogni tipo di muratura presente. Sono opportune prove sulle murature, come quelle con il martinetto piatto e quelle di caratterizzazione de lla malta. Metodi non distruttivi possono essere impiegati solo a complemento delle prove semidistruttive;

• Indagini Esaustive, oltre alle indagini estese si effettuano le prove sperimentali distruttive, come la prova di compressione diagonale su pannelli o le prove combinate di compressione verticale e taglio;

18 Di seguito sono riepilogati gli aspetti esposti nei paragrafi precedenti sulla base dei quali è stato attribuito il livello di conoscenza raggiunto:

 la geometria strutturale è stata definita sulla base dei disegni originali e da un rilievo accurato in situ per valutare l’effettiva corrispondenza del costruito ai disegni;

 i dettagli strutturali presenti nei disegni costruttivi originali sono stati verificati tramite indagini in situ limitatamente riguardo le caratteristiche geometriche mediante rilievi a campione;

 le proprietà dei materiali sono state determinate dai progetti originari, senza effettuare prove in situ;

Sulla base di quanto esposto si ritiene di aver raggiunto un livello di conoscenza LC1 (Conoscenza Limitata) che porta all’adozione di un fattore di confidenza FC = 1,35 . La scelta di questo valore è dettata dalla completa assenza di prove sui materiali e saggi. Qualora la amministrazione decida di procedere con una valutazione più attendibile della vulnerabilità e conseguentemente al progetto dell’adeguamento, si potrà pervenire ad un livello di conoscenza più approfondito mediante l’effettuazione di prove in situ.

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2.2 Analisi strutturale

2.2.1 Generalità

Al fine di mettere in evidenza la vulnerabilità degli elementi strutturali sotto l’effetto dei carichi statici e sismici, le verifiche di resistenza degli elementi strutturali sono state effettuate ai soli stati limite ultimi. Per tenere conto della variabilità spaziale del moto sismico è stata messa in conto una eccentricità accidentale minima del 5% della dimensione in pianta della struttura in direzione ortogonale all’azione sismica; tale eccentricità è assunta costante per direzione ed entità su tutti gli orizzontamenti.

2.2.2 Metodi di analisi

L’analisi sismica degli edifici può essere condotta mediante analisi lineare o non lineare , statica o dinamica. Nel seguito sono descritte le basi di tali analisi, secondo quanto riportato al § 7.3 delle NTC.

Analisi lineare

L’analisi lineare può essere utilizzata per calcolare gli effetti delle azioni sismiche sia nel caso di sistemi dissipativi sia nel caso di sistemi non dissipativi.

Quando si utilizza l’analisi lineare per sistemi non dissipativi, come avviene per gli Stati Limite di esercizio, gli effetti delle azioni sismiche sono calcolati, quale che sia la modellazione per esse utilizzata, riferendosi allo spettro di progetto ottenuto assumendo un fattore di struttura q unitario (§ 3.2.3.4). La resistenza delle membrature e dei collegamenti deve essere valutata in accordo con le regole presentate nei capitoli precedenti, non essendo necessario soddisfare i requisiti di duttilità fissati nei paragrafi successivi.

Quando si utilizza l’analisi lineare per sistemi dissipativi, come avviene per gli Stati Limite Ultimi, gli effetti delle azioni sismiche sono calcolati, quale che sia la modellazione per esse utilizzata, riferendosi allo spettro di progetto ottenuto assumendo un fattore di struttura q maggiore dell’unità (§ 3.2.3.5). La resistenza delle membrature e dei collegamenti deve

20 essere valutata in accordo con le regole presentate nei capitoli precedenti, essendo necessario soddisfare i requisiti di duttilità fissati nei paragrafi successivi.

Il valore del fattore di struttura q da utilizzare per ciascuna direzione dell’azione sismica, dipende dalla tipologia strutturale, dal suo grado di iperstaticità e dai criteri di progettazione adottati e prende in conto le non linearità di materiale. Esso può essere ca lcolato tramite la seguente espressione:

𝑞 = 𝑞₀∙ 𝐾_𝑅

dove:

 qo è il valore massimo del fattore di struttura che dipende dal livello di duttilità

attesa, dalla tipologia strutturale e dal rapporto αu/α1 tra il valore dell’azione sismica

per il quale si verifica la formazione di un numero di cerniere plastiche tali da rendere la struttura labile e quello per il quale il primo elemento strutturale raggiunge la plasticizzazione a flessione;

 KR è un fattore riduttivo che dipende dalle caratteristiche di regolarit à in altezza della

costruzione, con valore pari ad 1 per costruzioni regolari in altezza e pari a 0,8 per costruzioni non regolari in altezza.

Per le costruzioni regolari in pianta, qualora non si proceda ad un’analisi non lineare finalizzata alla valutazione del rapporto αu/α1, per esso possono essere adottati i valori

indicati nei paragrafi della norma di riferimento per le diverse tipologie costruttive.

Per le costruzioni non regolari in pianta, si possono adottare valori di αu/α1 pari alla media tra

1,0 ed i valori di volta in volta forniti per le diverse tipologie costruttive.

La scelta del fattore di struttura deve essere adeguatamente giustificata. Il valore adottato deve dar luogo ad azioni di progetto agli stati limite ultimi coerenti con le azioni di progetto assunte per gli Stati Limite di Esercizio.

Per la componente verticale dell’azione sismica il valore di q utilizzato, a meno di adeguate analisi giustificative, è q = 1,5 per qualunque tipologia strutturale e di materiale, tranne che per i ponti per i quali è q = 1.

Le non linearità geometriche sono prese in conto, quando necessario, attraverso il fattore θ appresso definito. In particolare, per le costruzioni civili ed industriali esse possono essere trascurate nel caso in cui ad ogni orizzontamento risulti:

21 𝜃 =𝑃 ∙ 𝑑𝑟

𝑉 ∙ 𝑕

dove:

 P è il carico verticale totale della parte di struttura sovrastante l’orizzontamento in esame

 dr è lo spostamento orizzontale medio d’interpiano, ovvero la differenza tra lo

spostamento orizzontale dell’orizzontamento considerato e lo spostamento orizzontale dell’orizzontamento immediatamente sottostante;

 V è la forza orizzontale totale in corrispondenza dell’orizzontamento in esame;  h è la distanza tra l’orizzontamento in esame e quello immediatamente sottostante.

Quando θ è compreso tra 0,1 e 0,2 gli effetti delle non linearità geometriche possono essere presi in conto incrementando gli effetti dell’azione sismica orizzontale di un fattore pari a 1/(1−θ); θ non può comunque superare il valore 0,3.

Analisi statica o dinamica

Oltre al fatto che l’analisi sia lineare o non lineare, i metodi d’analisi sono articolati anche in relazione al fatto che l’equilibrio sia trattato staticamente o dinamicamente.

Il metodo d’analisi lineare di riferimento per determinare gli effetti dell’azione sismica, sia su sistemi dissipativi sia su sistemi non dissipativi, è l’analisi modale con spettro di risposta o “analisi lineare dinamica”. In essa l’equilibrio è trattato dinamicamente e l’azione sismica è modellata direttamente attraverso lo spettro di progetto definito al § 3.2.3.4 (struttura non dissipativa) o al § 3.2.3.5 (struttura dissipativa). In alternativa all’analisi modale si può adottare una integrazione al passo, modellando l’azione sismica attraverso accelerogrammi, ma in tal caso la struttura deve essere non dissipativa.

Per le sole costruzioni la cui risposta sismica, in ogni direzione principale, non dipenda significativamente dai modi di vibrare superiori, è possibile utilizzare, sia su sistemi dissipativi sia su sistemi non dissipativi, il metodo delle forze laterali o “analisi lineare statica”. In essa l’equilibrio è trattato staticamente, l’analisi della struttura è lineare, si

22 modella l’azione sismica direttamente attraverso lo spettro di progetto definito al § 3.2.3.4 (struttura non dissipativa) o al § 3.2.3.5 (struttura dissipativa).

Infine, per determinare gli effetti dell’azione sismica su sistemi dissipativi, si possono effettuare analisi non lineari. In esse l’equilibrio è trattato staticamente (“analisi non lineare statica”) modellando l’azione sismica direttamente mediante forze statiche fatte crescere monotonamente o dinamicamente (“analisi non lineare dinamica”) modellando l’azione sismica indirettamente mediante accelerogrammi.

Analisi lineare dinamica o statica L’analisi dinamica lineare consiste:

 nella determinazione dei modi di vibrare della costruzione (analisi modale),

 nel calcolo degli effetti dell’azione sismica, rappresentata dallo spettro di risposta di progetto, per ciascuno dei modi di vibrare individuati,

 nella combinazione di questi effetti.

Devono essere considerati tutti i modi con massa partecipante significativa. È opportuno a tal riguardo considerare tutti i modi con massa partecipante superiore al 5% e comunque un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85%.

Per la combinazione degli effetti relativi ai singoli modi deve essere utilizzata una combinazione quadratica completa degli effetti relativi a ciascun modo, quale quella indicata nell’espressione seguente:

𝐸 = 𝜌_𝑖𝑗 ∙ 𝐸_𝑖 ∙ 𝐸_𝑗

𝑖 𝑗

1/2

 ∑∑ ρij: coefficiente di correlazione tra il modo i e il modo j, calcolato con formule di

comprovata

 ξ: smorzamento viscoso dei modi i e j;

 βij: è il rapporto tra l’inverso dei periodi di ciascuna coppia i-j di modi (βij = Tj/Ti);

 Ei, Ej: valore dell’effetto relativo al modo i e j rispettivamente.

Per gli edifici, gli effetti dell’eccentricità accidentale del centro di massa possono essere determinati mediante l’applicazione di carichi statici costituiti da momenti torcenti di valore

23 pari alla risultante orizzontale della forza agente al piano, determinata come in § 7.3.3.2, moltiplicata per l’eccentricità accidentale del baricentro delle masse rispetto alla sua posizione di calcolo, determinata come in § 7.2.6.

In alternativa, nel caso in cui la struttura sia non dissipativa, si può effettuare un’analisi con integrazione al passo, modellando l’azione sismica attraverso accelerogrammi, tenendo conto dell’eccentricità accidentale nel modo indicato al § 7.2.6.

Occorre fare le seguenti precisazioni.

Nell’analisi statica lineare con fattore q è possibile utilizzare lo spettro di progetto, definito in § 3.2.3 delle NTC, che si ottiene dallo spettro elastico riducendone le ordinate con l’uso del fattore di struttura q, il cui valore è scelto nel campo fra 1,5 e 3,0 sulla base della regolarità nonché dei tassi di lavoro dei materiali sotto le azioni statiche. Valo ri superiori a quelli indicati devono essere adeguatamente giustificati con riferimento alla duttilità disponibile a livello locale e globale. In particolare, nel caso in cui il sistema strutturale resistente all’azione orizzontale sia integralmente costituito da nuovi elementi strutturali, si possono adottare i valori dei fattori di struttura validi per le nuove costruzioni, fatta salva la verifica della compatibilità degli spostamenti delle strutture esistenti.

Nel caso di uso del fattore di struttura, tutti gli elementi strutturali duttili devono soddisfare la condizione che la sollecitazione indotta dall’azione sismica ridotta sia inferiore o uguale alla corrispondente resistenza. Tutti gli elementi strutturali "fragili" devono, invece, soddisfare la condizione che la sollecitazione indotta dall'azione sismica ridotta per q = 1,5 sia inferiore o uguale alla corrispondente resistenza.

Per il calcolo della resistenza di elementi/meccanismi duttili o fragili, si impiegano le proprietà dei materiali esistenti direttamente ottenute da prove in sito e da eventuali informazioni aggiuntive, divise per i fattori di confidenza. Per i materiali nuovi o aggiunti si impiegano le proprietà nominali.

L’analisi dinamica modale con spettro di risposta o con fattore q è applicabile secondo quanto indicato al § 7.3.3.1 delle NTC, alle medesime condizioni di cui ai punti precedenti. La prima modalità prevede che lo spettro di risposta da impiegare sia quello elastico di cui al § 3.2.3 delle NTC; la seconda che si faccia riferimento ad uno spettro di progetto, definito nel § 3.2.3 delle NTC, Per quest’ultimo valgono le precisazioni già riportate per l’analisi statica lineare con fattore q.

24 Analisi statica non lineare

L'analisi statica non lineare consiste nella valutazione del comportamento sismico della struttura (legame forza-spostamento generalizzato) da confrontarsi con lo spostamento richiesto dal terremoto, valutato in termini spettrali.

Operativamente si procede applicando alla struttura per ogni direzione dell'azione sismica, oltre ai carichi gravitazionali, un sistema di forze orizzontali (F1, F2, F3, …) distribuite ad ogni livello della costruzione, proporzionali alle forze d'inerzia ed aventi come risultante il taglio alla base Fb = Σ Fi.

Le forze sono scalate monotonamente sia in verso positivo che negativo sino al raggiungimento dello spostamento (dc) di un punto di controllo, corrispondente alla condizione di collasso globale o locale. Il risultato dell'analisi sarà una curva che pone in relazione le grandezze Fb e dc denominata curva di capacità.

Fig. 2.1 Distribuzion e dell fo rze ori zzont ali.

Questo tipo di analisi e utilizzabile qualora l'edificio in esame abbia comportamento sotto sisma governato da un modo di vibrare principale, caratterizzato da una notevole massa modale partecipante. Ciò è dovuto al fatto che si ha l'esigenza di associare al sistema strutturale reale (MDOF) un sistema equivalente SDOF.

Le strutture in muratura, avendo comportamento non lineare, risultano significativamente rappresentate da un'analisi statica non lineare; pertanto tale metodo e applicabile anche nei casi in cui la massa modale partecipante del primo modo sia inferiore al 75% della massa totale, ma comunque superiore al 60%.

25 La corrispondenza tra F* e Fb, nonche tra d* e dc e data dalle seguenti relazioni:

F* = Fb / γr d* = dc / γr

Alla curva di capacita ottenuta per il sistema SDOF va poi associata una curva bilineare equivalente, composta da un primo tratto elastico ed un secondo tratto perfettamente plastico, come si vede nella figura seguente.

Fig. 2.2 Sistema e diagramm a bilineare eq uival ent e.

Detta Fbu la resistenza massima della struttura reale e F *

bu = Fbu / γr quella del sistema SDOF,

si può calcolare la quota 0,6 F*bu e collegare l'origine degli assi con il punto corrispondente

all'intersezione tra la curva di capacita e la retta y = 0,6 F*bu , ottenendo l'inclinazione del

tratto elastico. Inoltre, il punto di inizio del tratto plastico è collocato all'altezza di F*y , la

forza di plasticizzazione, che si ottiene imponendo l'uguaglianza tra l'area sottesa alla curva di capacità e quella sottesa al diagramma bilineare equivalente per lo spostamento massimo d*u corrispondente ad una riduzione della resistenza del 15%. Il grafico si interrompe a dm ax,

lo spostamento massimo che la struttura può sopportare.

Quest'ultimo dipende dal rapporto tra il periodo elastico del sistema bilineare ed il periodo TC dello spettro di risposta elastico.

26 Il periodo elastico del sistema bilineare si ottiene per:

𝑇 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑚 𝐾 Dove:

𝑚 è la massa modale partecipante

𝐾 è la rigidezza del tratto elastico della bilineare

Se accade che T ≥ TC la domanda in spostamento del sistema anelastico e assunta uguale a

quella di un sistema elastico di uguale periodo:

d*m ax =de m ax = SDe ( T )

Se invece T ≤ TC la domanda in spostamento del sistema anelastico e maggiore di quella di

un sistema elastico, per cui si deve ricorrere alla relazione:

d*m ax =de m ax / q * [ 1 + (q*-1) TC/T * ] q* = Se(T * ) m F_y∗

Fig.2.3 Spostamenti di ri ferim ento p er T ≥ TC (a sinistra) e T ≤ TC (a destra)

Nell'esecuzione dell'analisi statica non lineare s i devono considerare almeno due distribuzioni di forze d'inerzia, una ricadente nel gruppo 1 e l'altra nel gruppo 2.

27

Gruppo 1

• Distribuzione proporzionale alle forze statiche applicabile solo se al modo di vibrare principale corrisponde una massa modale partecipante di almeno il 75% ed a condizione di usare quale distribuzione secondaria la 2a;

• distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni proporzionale alla forma del modo di vibrare, sempre nell'ipotesi che al modo di vibrare fondamentale corrisponda una massa modale partecipante del 75%;

• distribuzione corrispondente alla distribuzione dei tagli di piano calcolati in un'analisi lineare dinamica, nell'ipotesi che T*>TC .

Gruppo 2

• Distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una distribuzione di accelerazioni lungo l'altezza della costruzione;

• Distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento di controllo al crescere della plasticizzazione nella struttura.

Nel caso delle costruzioni esistenti è possibile utilizzare l'analisi statica non lineare assegnando come distribuzioni principale e secondaria rispettivamente la prima distribuzione del gruppo 1 e la prima del gruppo 2, indipendentemente dalla massa partecipante sul primo modo.

28

2.3 Resistenza degli elementi strutturali

Di seguito sono riportate le modalità di verifica adottate per i diversi elementi strutturali in muratura, in accordo con le attuali normative.

Pressoflessione nel piano

La verifica a pressoflessione di una sezione di un elemento strutturale si effettua confrontando il momento agente di calcolo con il momento ultimo resistente calcolato assumendo la muratura non reagente a trazione ad una opportuna distribuzione non lineare delle compressioni. Nel caso di una sezione rettangolare in tale momento ultimo può essere calcolato come: 𝑀_𝑢 = (𝑙2_𝑡𝜍 0/2)(1 − 𝜍₀ 0,85𝑓_𝑑) Dove:

 Mu è il momento corrispondente al collasso per pressoflessione;

 l è la lunghezza complessiva della parete (inclusiva della zona tesa);  t è lo spessore della zona compressa della parete;

 𝜍₀ è la tensione normale media, riferita all’area totale della sezione (𝜍₀ = 𝑃/𝑙𝑡, con P forza assiale agente positiva se di compressione). Se P è di trazione, Mu=0;

 fd= fk/ γM è la resistenza a compressione di calcolo della muratura.

Taglio

La resistenza a taglio di ciascun elemento strutturale è valutata per mezzo della relazione seguente:

29 Dove:

 𝑙′ è la lunghezza della parte compressa della parete;  𝑡 è lo spessore della parete;

 𝑓_𝑣𝑑= 𝑓_𝑣𝑘 /𝛾_𝑀 è definito al § 4.5.6.1.delle NTC, calcolando la tensione normale media (indicata con _𝑛 nel paragrafo citato) sulla parte compressa della sezione (𝜍_𝑛 = 𝑃/(𝑙′𝑡 )).

Il valore di 𝑓_𝑣𝑘 non può comunque essere maggiore di 1,4 𝑓′_𝑏𝑘, dove 𝑓′_𝑏𝑘 indica la resistenza caratteristica a compressione degli elementi nella direzione di applicazione della forza, né maggiore di 1,5 MPa.

Pressoflessione fuori piano

Il valore del momento di collasso per azioni perpendicolari al piano della parete è calcolato assumendo un diagramma delle compressioni rettangolare, valore della resistenza 0,85𝑓_𝑑 e trascurando la resistenza a trazione della muratura. Tale valore può essere ricavato dalla relazione seguente: 𝑀_𝑢 = 𝑁 ⋅ 𝑒_𝑡 = 𝑁 ⋅ 𝑡 − 𝑎 2 = 𝑁 ⋅ 𝑡 2 (1 − 𝑁 0,85𝑓_𝑑𝑙𝑡)

Fig. 2.4 Sezione di un a paret e sogg etta a presso flessi one o rtogon ale al piano m edio in fas e di rottura. N

0,85fd

et a/2

t/2 t/2

30

2.4 Software per il calcolo strutturale

Per valutare il livello di sicurezza di un edificio esistente ci sono diversi software commerciali che vengono comunemente utilizzati nella pratica professionale, con i quali è possibile modellare sia la muratura che tutti i materiali da costruzione.

Nella presente tesi si è deciso di impiegarne due in modo da apprendere le peculiarità di ognuno e di fare pratica con questi nuovi strumenti di progettazione che sono in grado di effettuare le verifiche strutturali in modo automatico.

Proprio per questo motivo, per non commettere errori, diventa ancora più importante controllare bene i dati di input e apprendere il “modus operandi” del programma e la facilità di gestione dell’output.

I due software in questione sono:

- SismiCad v11.10

- Aedes (PCM-PCE v.2010)

La scelta è caduta su questi due perché sono tra i più utilizzati negli studi di progettazione. Con essi si è condotta un’analisi modale e confrontato i risultati limitandosi alla struttura esistente mentre la verifica della struttura post intervento d’adeguamento è stata fatta solo con Sismicad.

La principale differenza riscontrata tra i due software è l’interfaccia grafica, nel primo è decisamente intuitiva poiché similare a quella del famoso software grafico Autocad , cosa che allo stesso tempo aumenta il rischio di errore poiché la gran facilità di disegno induce a fidarsi troppo degli automatismi del programma, la seconda è macchinosa perché fa comunicare due programmi separati (PCM e PCE) e presenta parecchi limiti nella modellazione di strutture miste.

Dal punto di vista della gestione dell’output entrambi si sono rivelati estremamente pratici e chiari, sia per analisi dinamica lineare che statica non lineare.

Si sono utilizzate le stesse caratteristiche dei materiali e li stessi criteri di modellazione , ovvero:

31  La copertura a capriate lignee non possiede buona rigidezza e viene quindi

considerata solo come carico o come copertura a membrana.

 Si considerano anche i sottofinestra e le fasce di piano poiché di dimensione non trascurabile.

 Si modella la muratura a telaio equivalente.

Fig.2.5 Modello tridimen sional e el abo rato con SismiCad

32

2.5 Caratteristiche dei materiali

L’analisi è stata condotta partendo dalle caratteristiche rilevabili dai progetti originari e dalla normativa.

Le caratteristiche meccaniche della muratura sono state ricavate dalla tabella C8A.2.1 della circolare del 2 febbraio 2009 n°617, si possono riassumere nella maniera seguente:

- fm= 15 daN/cm 2 - τ0 = 0,60 daN/cm 2 - E= 15000 daN/cm2 - G= 5000 daN/cm2 - w= 21 KN/m3 Fig.2.7 Muratura dove:

- fmè la resistenza media a compressione della muratura;

- τ0 è la resistenza media a taglio della muratura;

- E è il valore medio del modulo di elasticità normale; - G è il valore medio del modulo di elasticità tangenziale; - w è il peso specifico della muratura.

I valori di resistenza andranno successivamente ridotti tramite il coefficiente di sicurezza della muratura γm=2 e il fattore di confidenza FC=1,35.

33

2.6

Azioni di calcolo

Di seguito sono riportate le analisi dei carichi e delle azioni agenti sulla struttura, i pesi propri G1 degli elementi strutturali risultano computati dal software in funzione delle

caratteristiche dei materiali attribuite ai vari elementi. Il peso proprio del tetto è stato ricavato dal progetto originale

Tali carichi saranno di tipo naturale e ambientale (sisma, neve), di carattere antropico (accidentali)

e in ultimo tutti i carichi derivanti dai pesi propri delle strutture portanti e portate.

2.6.1. Carichi permanenti

Carichi copertura

CARICO PERMANENTE STRUTTURALE COPERTURA

- arcarecci 0.15x0.15 31 daN/m2

- listelli spessore 3 cm 21 daN/m2

Totale carichi peso proprio 52 daN/m2

CARICHI PERMANENTI NON STRUTTURALI COPERTURA

- copertura Coverclima 10 daN/m2

Tot. carichi permanenti non strutturali 10 daN/m2

Carichi variabili Q

La destinazione d’uso della struttura ricade nella classe III (Ambienti suscettibili di affollamento) i relativi carichi e coefficienti di combinazione sono:

qk= 3,00 KN/m 2

carico verticale uniformemente distribuito; Qk= 2,00 KN carico verticale concentrato;

34 Hk= 1,00 KN carico orizzontale lineare;

Ѱ0j= 0,7

Ѱ1j= 0,7

Ѱ2j= 0,6

2.6.2 Azione della neve

Il carico neve sulla copertura risulta dato da:

𝑞_𝑠 = 𝜇_𝑖∙ 𝑞_𝑠𝑘 ∙ 𝐶_𝐸∙ 𝐶_𝑡  qs : carico neve sulla copertura;

 μi : coefficiente di forma della copertura

 qsk : valore caratteristico di riferimento del carico neve al suolo (kN/m 2

) per un periodo di ritorno di 50 anni

 CE : coefficiente di esposizione

 Ct : coefficiente termico

Il carico neve al suolo dipende dalle condizioni locali di clima e di esposizione, considerata la variabilità delle precipitazioni nevose da zona a zona. Inoltre devono essere considerate le due seguenti principali distribuzioni di carico:

 Carico da neve depositata in assenza di vento  Carico da neve depositata in presenza di vento

L’edificio oggetto di studio è situato ad Lucca a circa 20 m sul livello del mare. Essendo la regione Toscana compresa nella Zona II, il carico neve al suolo è dato da

qsk = 1,00 kN / m 2

(as ≤ 200 m)

Coefficiente di esposizione

Il valore di tale coefficiente può essere utilizzato per modificare il valore del carico neve in copertura in funzione delle caratteristiche specifiche dell’area su cui sorge l’opera. Dalla

35 tabella riportata dalla Normativa è possibile classificare la zona in questione di tipo “normale”, cui corrisponde un coefficiente di esposizione pari a 1. Quindi:

CE = 1

Coefficiente termico

Il coefficiente termico può essere utilizzato per tener conto della riduzione di carico neve a causa dello scioglimento della stessa, causata dalla perdita di calore della costruzione. Cautelativamente si assume unitario questo coefficiente:

Ct = 1

Coefficiente di forma per le coperture

Le pendenze delle varie coperture della struttura rientrano nell’intervallo 0° < α < 30° previsto dalla Normativa; quindi μ1 = 0,8.

Quindi questa distribuzione uniforme.

𝑞_𝑘 = 0.8 𝑘𝑁/𝑚2

Per il caso di neve depositata in presenza di vento si devono considerare gli effetti dei possibili accumuli causati da:

 scivolamento della neve dalla copertura posta a quota superiore;  deposito della neve nella zona di “ombra aereodinamica”.

Non si considera questa evenienza.

2.6.3 Azione del vento

Pressione del vento

La pressione del vento, si valuta con la seguente espressione: 𝑝 = 𝑞_𝑏 ∙ 𝑐_𝑒 ∙ 𝑐_𝑝 ∙ 𝑐_𝑑  qb : pressione cinetica di riferimento

36  ce : coefficiente di esposizione

 cp : coefficiente di forma

 cd :coefficiente dinamico

Pressione cinetica di riferimento

La pressione cinetica di riferimento, in N/m2, è data da:

q_b =1 2ρvb

2

 vb : velocità di riferimento del vento (m/s)

 ρ : densità dell’aria assunta convenzionalmente costante e pari a 1,25 kg/,3

.

Per la Zona III (Toscana) si ha:

vb,0 = 27 m/s

a0 = 500 m

Ka = 0.020 1/s

Da progetto:

as = 20 m s.l.m. (altezza del sito dove sorge la costruzione)

Per as < a0 → vb = vb,0 = 27 m/s

In definitiva:

𝑞_𝑏 = 455,63 𝑁 𝑚2

Coefficiente di esposizione

Il coefficiente di esposizione dipende dall'altezza della costruzione z sul suolo, dalla topografia del terreno, dalla categoria di esposizione del sito ove sorge la costruzione.

Nel nostro caso, la classe di rugosità del terreno è di tipo A, la categoria di esposizione del sito di tipo IV; si hanno perciò i seguenti valori:

37 Assumendo z = 11,50 m (altezza massima della costruzione sul suolo), ed considerando il coefficiente di topografia ct uguale a 1, come suggerisce la Normativa sia per le zone

pianeggianti che per quelle ondulate, collinose e montane, si ottiene:

𝑐𝑒 (𝑧) = 𝑐𝑒 (𝑧𝑚𝑖𝑛) = 𝐾𝑟2 𝑐𝑡 𝑙𝑛 𝑧 𝑧0 7 + 𝑐𝑡 𝑙𝑛 𝑧 𝑧0 = 1,85 Coefficiente di forma

Il coefficiente di forma è in funzione della geometria della costruzione e del suo orientamento rispetto alla direzione del vento.

Le falde hanno una inclinazione  di circa 18 gradi quindi:

Fig.2.8

Il coefficiente di forma cp vale:

 elementi sottovento: -0.4;

 elementi sottovento con inclinazione di 18°: -0.4;  elementi sopravento con inclinazione di 18°: 0.46;  elementi sopravento con inclinazione di 90°: 0.8. Essendo la costruzione stagna, si assume il coefficiente cpi = 0

Coefficiente dinamico

Il coefficiente dinamico cd può essere cautelativamente essere assunto pari a 1.

38 Coefficiente di attrito

Per superficie liscia (acciaio, cemento, e faccia vista), si ha

𝑐 𝑓 = 0,01

Azione del vento

Infine, l'azione tangente per unità di superficie parallela alla direzione del vento è:

 elementi sopravento con inclinazione di 18°:

𝑝 = 455.63 ∙ 1.85 ∙ 0.46 ∙ 1 = 387 𝑁/𝑚2  elementi sopravento con inclinazione di 90°:

𝑝 = 455.63 ∙ 1.85 ∙ 0.8 ∙ 1 = 673 𝑁/𝑚2  elementi sottovento:

𝑝 = 455.63 ∙ 1.85 ∙ −0.4 ∙ 1 = −336 𝑁/𝑚2

2.6.4 Azione sismica E

Le NTC 2008 adottano un approccio prestazionale agli stati limite per la progettazione delle strutture nuove e per la verifica di quelle esistenti. L’azione sismica sulle costruzioni è valutata a partire da una “pericolosità sismica di base”, che costituisce l’elemento di conoscenza primario per la determinazione delle azioni sismiche e nell’allegato A delle NTC essa è indica con un livello di dettaglio accurato, sia in termini geografici che in termini di periodi di ritorno.

Le azioni sismiche su ciascuna costruzione vengono valutate in funzione di un periodo di riferimento VR che si ricava, per ciascun tipo di costruzione, moltiplicandone la vita

nominale VN per un coefficiente d’uso CU funzione della classe d’uso. Per costruzioni il cui

uso preveda affollamenti significativi (classe d’uso III) il coefficiente d’uso CU assume

valore 1,5. La vita nominale VN è intesa come il numero di anni nel quale la struttura, purchè

soggetta alla manutenzione ordinaria, deve poter essere usata per lo scopo al quale è destinata. La vita nominale dei diversi tipi di opere è quella riportata in tab. 2.4.I delle NTC e deve essere precisata nei documenti di progetto. Per strutture ordinarie è possibile assumere:

39 Di conseguenza:

𝑉_𝑅 = 𝑉_𝑁∙ 𝐶_𝑈= 50 ∙ 1.5 = 75 𝑎𝑛𝑛𝑖

Noto il periodo di riferimento, le azioni sismiche di progetto, in base alle quali valutare il rispetto dei diversi stati limite considerati, si definiscono, come detto, a partire dalla “pericolosità sismica di base” del sito di costruzione definita in termini di ordinate dello spettro di risposta elastico in accelerazione Se(T), con riferimento a prefissate probabilità di

eccedenza PVR, nel periodo di riferimento VR.

Nei confronti delle azioni sismiche, gli stati limite, sia di esercizio che ultimi, sono individuati riferendosi alle prestazioni della costruzione nel suo complesso, includendo gli elementi strutturali, quelli non strutturali e gli impianti. Le NTC prevedono quattro stati limite: due di esercizio, Stato Limite di Operatività (SLO) e Stato Limite di Danno (SLD); e due ultimi: Stato Limite di salvaguardia della Vita (SLV) e Stato Limite di prevenzione del Collasso (SLC).

Per classe d’uso III, il rispetto dei vari stati limite si considera conseguito:

 Nei confronti degli stati limite di esercizio, qualora siano rispettate le verifiche relative allo SLD e SLO;

 Nei confronti di tutti gli stati limite ultimi, qualora siano soddisfatte le verifiche relative al solo SLV.

Le NTC consentono di valutare la sicurezza e la progettazion e degli interventi sulle costruzioni esistenti con solo riferimento ai soli SLU, quindi in questo lavoro verranno esaminati solo questi ultimi.

Le probabilità di superamento del periodo di riferimento PVR cui riferirsi per individuare

l’azione sismica agente in ciascuno degli stati limite considerati (Tabella 3.2.I – NTC), sono:

𝑆𝐿𝐷 → 𝑃_𝑉𝑅 = 63% 𝑆𝐿𝑉 → 𝑃_𝑉𝑅 = 10%

40 Noto PVR , il periodo di ritorno dell’azione sismica TR, espresso in anni è pari a (Allegato A

– NTC): 𝑆𝐿𝐷 → 𝑇_𝑅= − 𝑉𝑅 ln⁡(1 − 𝑃_𝑉𝑅)== − 75 ln⁡(1 − 0,63)= 75 𝑎𝑛𝑛𝑖 𝑆𝐿𝑉 → 𝑇_𝑅= − 𝑉𝑅 ln⁡(1 − 𝑃_𝑉𝑅)== − 75 ln⁡(1 − 0,10)= 712 𝑎𝑛𝑛𝑖

Noto il periodo di ritorno dell’azione sismica, è necessario sapere le caratteristiche geologiche del terreno. Il suolo è stato considerato di tipo “C”, (Depositi di terreni a grana grossa mediamente addensati o terreni a grana fina molto consistenti ) con condizioni topografiche T1 (superficie pianeggiante, pendii e rilievi isolati con inclinazione media i≤15°). Le forme spettrali sono definite a partire dai valori dei seguenti parametri su un sito di riferimento rigido orizzontale:

 ag: accelerazione orizzontale massima al sito;

 Fo: valore massimo del fattore di amplificazione dello spettro in accelerazione

orizzontale;  T*

c: perido di inizio del tratto a velocità costante dello spettro in accelerazione

orizzontale.

Tali parametri si individuano nell’allegato B del NTC in funzione dei punti del reticolo di riferimento in cui è stata suddivisa l’Italia e del periodo di ritorno dell’azione sismica TR.

I punti del reticolo sono in totale 10751 definiti in termine di latitudine e longitudine. Supposto che l’edificio da progettare sorga a Lucca e che precisamente le coordinate geografiche del sito siano:

Latitudine : 43,84300 N Longitudine: 10,50500 E

Altitudine s.l.m.: 20,0 m

dalla tabella 1 dell’Allegato B alle NTC si ricavano, per interpolazione dei quattro punti di riferimento che circondano il punto in esame, i seguenti valori.

41 SL Tr (anni) ag (g) Fo T * c (sec) SLD 75 0,0605 2,578 0,261 SLV 712 0,1467 2,376 0,294

Spettro di risposta elastico in accelerazione orizzontale

Lo spettro di risposta elastico in accelerazione orizzontale Se(T) risulta individuato dalle

seguenti relazioni: 0 ≤ 𝑇 < 𝑇𝐵 𝑆𝐸 𝑇 = 𝑎𝑔∙ 𝑆 ∙ 𝜂 ∙ 𝐹𝑜∙ 𝑇 𝑇_𝐵+ 1 𝜂 ∙ 𝐹_𝑜 1 − 𝑇 𝑇_𝐵 𝑇_𝐵≤ 𝑇 < 𝑇_𝐶 𝑆_𝐸 𝑇 = 𝑎_𝑔∙ 𝑆 ∙ 𝜂 ∙ 𝐹_𝑜 𝑇_𝐶≤ 𝑇 < 𝑇_𝐷 𝑆_𝐸 𝑇 = 𝑎_𝑔∙ 𝑆 ∙ 𝜂 ∙ 𝐹_𝑜∙ 𝑇𝐶 𝑇 𝑇𝐷≤ 𝑇 𝑆𝐸 𝑇 = 𝑎𝑔∙ 𝑆 ∙ 𝜂 ∙ 𝐹𝑜∙ 𝑇_𝐶∙ 𝑇_𝐷 𝑇2 Dove:

 S è il coefficiente che tiene conto della categoria di sottosuolo e delle condizioni tipografiche mediante la relazione S=SS∙ST, essendo SS il coefficiente di

amplificazione stratigrafica (tabella 3.2.V – NTC) e ST il coefficiente di

amplificazione topografica (tabella 3.2.VI – NTC) pari a 1.0 per categoria topografica T1;

42  TC è il periodo corrispondente alla fine del tratto ad accelerazione costante dello

spettro, dato da TC=CC∙T *

C, in cui T *

C è in funzione della categoria di sottosuolo

(tabella 3.2.V – NTC);

 TB è il periodo corrispondente all’inizio del tratto dello spettro ad accelerazione

costante, pari a TB=TC/3;

 TD è il periodo corrispondente all’inizio del tratto a spostamento costante dello

spettro, espresso in secondi mediante la relazione TD=4.0∙(ag/g)+1.6

 η è il fattore che altera lo spettro elastico per coefficienti di smorzamento viscosi convenzionali ξ diversi dal 5% mediante la relazione 𝜂 = 10/(5 + 𝜉) ≥ 0,55 ;  ξ (espresso in percentuale) è valutato sulla base di materiali, tipologia strutturale e

terreno di fondazione;

43 Fig.2.10 Spettro di risposta elastico SLD

Spettro di risposta elastico in accelerazione verticale

Lo spettro di risposta elastico in accelerazione verticale SvE (T ) risulta individuato dalle

seguenti disuguaglianze: 0 ≤ 𝑇 < 𝑇_𝐵 𝑆_𝑣𝐸 𝑇 = 𝑎_𝑔∙ 𝑆 ∙ 𝜂 ∙ 𝐹_𝑣∙ 𝑇 𝑇_𝐵+ 1 𝜂 ∙ 𝐹_𝑣 1 − 𝑇 𝑇_𝐵 𝑇𝐵≤ 𝑇 < 𝑇𝐶 𝑆𝑣𝐸 𝑇 = 𝑎𝑔∙ 𝑆 ∙ 𝜂 ∙ 𝐹𝑣 𝑇_𝐶≤ 𝑇 < 𝑇_𝐷 𝑆_𝑣𝐸 𝑇 = 𝑎_𝑔∙ 𝑆 ∙ 𝜂 ∙ 𝐹_𝑣∙ 𝑇𝐶 𝑇 𝑇_𝐷 ≤ 𝑇 𝑆_𝑣𝐸 𝑇 = 𝑎_𝑔∙ 𝑆 ∙ 𝜂 ∙ 𝐹_𝑣∙ 𝑇𝐶∙ 𝑇𝐷 𝑇2

44 nelle quali T e SvE sono, rispettivamente, periodo di vibrazione ed accelerazione spettrale

verticale e Fv è il fattore che quantifica l’amplificazione spettrale massima in termini di

accelerazione orizzontale massima del terreno ag su sito di riferimento rigido orizzontale.

Spettro di risposta elastico in spostamento orizzontale

Lo spettro di risposta elastico in spostamento orizzontale SDe (T ) si ricava dalla

corrispondente risposta in accelerazione attraverso la relazione seguente:

𝑆_𝐷𝑒(𝑇) = 𝑆_𝑒(𝑇) ⋅ 𝑇 2𝜋

2

nel caso T ecceda i seguenti valori di TE le relazioni diventano:

𝑇_𝐸< 𝑇 ≤ 𝑇_𝐹 𝑆_𝐷𝑒 𝑇 = 0,025 ∙ 𝑎_𝑔∙ 𝑆 ∙ 𝑇_𝐶∙ 𝑇_𝐷∙ 𝐹_𝑜∙ 𝜂 + (1 − 𝐹_𝑜∙ 𝜂) ∙ 𝑇 − 𝑇𝐸 𝑇_𝐹− 𝑇_𝑒 𝑇 > 𝑇_𝐹 𝑆_𝐷𝑒 𝑇 = 𝑑_𝑔

con: 𝑑_𝑔 = 0,025 ∙ 𝑎_𝑔∙ 𝑆 ∙ 𝑇_𝐶∙ 𝑇_𝐷.

Spettro di progetto per gli stati limite ultimi

Per le verifiche agli stati limite ultimi è possibile mettere in conto le capacità dissipative della struttura mediante una riduzione delle forze elastiche. Questa riduzione si ottiene sostituendo nelle precedenti disuguaglianze η con 1/ q con q fattore di struttura, dipendente dalla tipologia strutturale, sulla base delle regolarità e dei tassi di lavoro sotto le azioni statiche.

45 Per le strutture in muratura è stato scelto un fattore di struttura q=2,25 come suggerito al paragrafo C8.7.1.2. della circolare.

0 ≤ 𝑇 < 𝑇_𝐵 𝑆_𝐸 𝑇 = 𝑎_𝑔∙ 𝑆 ∙1 𝑞∙ 𝐹𝑜∙ 𝑇 𝑇_𝐵+ 1 𝜂 ∙ 𝐹_𝑜 1 − 𝑇 𝑇_𝐵 𝑇_𝐵≤ 𝑇 < 𝑇_𝐶 𝑆_𝐸 𝑇 = 𝑎_𝑔∙ 𝑆 ∙1 𝑞∙ 𝐹𝑜 𝑇𝐶≤ 𝑇 < 𝑇𝐷 𝑆𝐸 𝑇 = 𝑎𝑔∙ 𝑆 ∙ 1 𝑞∙ 𝐹𝑜∙ 𝑇_𝐶 𝑇 𝑇𝐷≤ 𝑇 𝑆𝐸 𝑇 = 𝑎𝑔∙ 𝑆 ∙ 1 𝑞∙ 𝐹𝑜∙ 𝑇_𝐶∙ 𝑇_𝐷 𝑇2

Per la determinazione dello spettro di progetto in accelerazione per lo SLV (PVR = 10%) si hanno i seguenti parametri:

ag =0,1467g TB = 0,154 s TC = 0,461 s TD = 2,118 s S =1,491 F0 = 2,376

In base alle considerazioni precedenti sono stati individuati i seguenti punti dello spettro di risposta orizzontale e verticale per lo SLV ed i relativi spettri.

46 Punti dello spettro Orizzontale

T [s] Se [g] 0.000 0.219 0,154 0.521 0.461 0.521 0.543 0.442 0.626 0.384 0.708 0.339 0.790 0.304 0.872 0.275 0.955 0.252 1.037 0.232 1.119 0.215 1.201 0.200 1.284 0.187 1.366 0.176 1.448 0.166 1.530 0.157 1.613 0.149 1.695 0.142 1.777 0.135 1.859 0.129 1.942 0.124 2.024 0.119 2.106 0.114 2.188 0.110 2.275 0.102 2.361 0.094 2.447 0.088 2.533 0.082 2.620 0.077 2.706 0.072 2.792 0.067 2.878 0.063 2.965 0.060 3.051 0.056 3.137 0.053 3.224 0.051 3.310 0.048 3.396 0.046 3.482 0.043 3.569 0.041 3.655 0.039 3.741 0.038 3.827 0.036 3.914 0.034 4.000 0.033

Punti dello spettro Verticale

T [s] Se [g] 0.000 0.076 0.050 0.121 0.150 0.121 0.235 0.077 0.320 0.057 0.405 0.045 0.490 0.037 0.575 0.031 0.660 0.027 0.745 0.024 0.830 0.022 0.915 0.020 1.000 0.018 1.094 0.015 1.188 0.013 1.281 0.011 1.375 0.010 1.469 0.008 1.563 0.007 1.656 0.007 1.750 0.006 1.844 0.005 1.938 0.005 2.031 0.004 2.125 0.004 2.219 0.004 2.313 0.003 2.406 0.003 2.500 0.003 2.594 0.003 2.688 0.003 2.781 0.002 2.875 0.002 2.969 0.002 3.063 0.002 3.156 0.002 3.250 0.002 3.344 0.002 3.438 0.002 3.531 0.001 3.625 0.001 3.719 0.001 3.813 0.001 3.906 0.001 4.000 0.001

47 Fig.2.11 Spettro di risposta elasti co (compo nenti oriz. E vert.) per lo SLV

Combinazioni di calcolo

Di seguito si riportano le combinazioni adottate per le verifiche nei confronti degli stati limite SLU e SLV:

𝛾_𝐺𝑗∙ 𝐺_𝑘,𝑗 + 𝛾_𝐺2∙ 𝐺₂∙ 𝛾_𝑃∙ 𝑃 + 𝛾_𝑄1 ∙ 𝑄_𝑘1+ 𝛾_{𝑄 ,𝑖}∙ 𝛹_{0 ,𝑖}∙ 𝑄_𝑘,𝑖

Combinazione fondamentale

𝐸 + 𝐺₁+ 𝐺₂+ Ψ_2𝑖𝑄_𝑘𝑗