xcos -sen x x cos - 1 ) x ( f = ∑

Analisi matematica - Corsi A , B , R Prova scritta del 15.07.2009

1. Data la funzione

logx x

x log x log 2 - x log ) x ( f

2 3

4

+

=

( a ) dire se è integrabile nell’intervallo [ 1/e , e ]

( b ) in caso affermativo, calcolare il valore dell’integrale definito su tale intervallo

( c ) trovare l’area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione e l’asse delle ascisse nell’intervallo assegnato.

2. Data la serie

∑

=₁

+

n

n n x -

nx sen 2

x

e  ,

studiarne la convergenza al variare del parametro x ≥ 0.

3. Studiare la funzione

x cos - sen x

x cos - 1 ) x (

f =

e tracciarne il grafico.

Lo studio della derivata seconda è facoltativo.

4. Data l’equazione differenziale y' = x y y + 1

con la condizione iniziale y ( 0 ) = 3 , trovarne la soluzione in forma esplicita, precisandone l’intervallo di esistenza.

Tutte le risposte devono essere adeguatamente motivate.

Analisi matematica - Corsi A , B , R Prova scritta del 15.07.2009 [ 2 ]

1. Data la funzione

logx x

x log 4 x log 4 - x log ) x ( f

2 3

4

+

=

( a ) dire se è integrabile nell’intervallo [ 1/e

, e

]

( b ) in caso affermativo, calcolare il valore dell’integrale definito su tale intervallo

( c ) trovare l’area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione e l’asse delle ascisse nell’intervallo assegnato.

2. Data la serie

∑

=

+

1 n

n 2 n x

2

e x ) x n ( cos

2  ,

studiarne la convergenza al variare del parametro x ≥ 0.

3. Studiare la funzione

x cos sen x

sen x 1 ) x (

f +

= +

e tracciarne il grafico.

Lo studio della derivata seconda è facoltativo.

4. Data l’equazione differenziale y' = x ( y - 1 ) y

con la condizione iniziale y ( 0 ) = 4 , trovarne la soluzione in forma esplicita, precisandone l’intervallo di esistenza.

Tutte le risposte devono essere adeguatamente motivate.