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Francesca Mazzia
Dipartimento Interuniversitario di Matematica Universit`a di Bari
MATLAB: Esercizi
1) Data la seguente funzione:
f (x) := exp(x) cos(5x) per x∈ [0, 10]
costruire il polinomio interpolante di grado 2,3,4,5 utilizzando 3, 4.5.6 nodi equidistanti. Determinare i coefficienti del polinomio utilizzando la base delle potenze.
Verificare numericamente se il metodo converge alla funzione data al- l’aumentare del numero di nodi (costruire il polinomio interpolante uti- lizzando n=10,20,40,80 nodi equidistanti e calcolare il massimo errore assoluto valutando la differenza fra f (x) e p(x) in 500 punti equidistan- ti). Confrontare i risultati con la spline cubica interpolante gli stessi nodi.
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2) Determinare al variare di n = 10, 20, 40, 80 nodi equidistanti e di Cheby- chev il polinomio interpolante e la spline cubica interpolante le seguenti funzioni:
1) f i1(x) := sin x− x cos x per x∈ [−3π, 3π]
2) f i2(x) := (x2 − 6x + 5)2 per x∈ [−5, 10]
3) f i3(x) := cos(πx) per x∈ [0, 1]
4) f i4(x) :=√
1− x2 per x∈ [0, 1]
5) f i5(x) := x(2π− x) per x∈ [0, 2π]
fare il grafico della funzione, del polinomio e della spline cubica. Per quali funzioni, all’aumentore dei nodi, il polinomio interpolante si av- vicina sempre di pi`u alla funzione? Perch`e?
Calcolare l’errore valutando il la funzione, il polinomio e la spline cubica in 500 punti equidistanti.
3) Supponiamo di aver effettuato le seguenti misurazioni in x0 = 1 y0 = 1.1 in x1 = 1 y1 = 1.05 in x2 = 1 y2 = 1.12 in x3 = 1 y3 = 1.07 in x4 = 1 y4 = 2 in x5 = 2 y5 = 2.1 in x6 = 3 y6 = 3.05 in x7 = 4 y7 = 3.7 in x8 = 5 y8 = 4.0 in x9 = 5 y9 = 4.8 in x10= 5 y10 = 5.2
determinare con il metodo dei minimi quadrati i coefficienti della retta di approssimazione y = ax + b.
Considerare le coppie (yi, xi) e calcolare con il metodo dei minimi quadrati coefficienti della retta di approssimazione x = cy + d.
Fare il grafico delle due rette nel piano (x, y) ( la seconda retta diventa y = x/c− d/c).
3 Si definisce coefficiente di correlazione r = √
ax, se r ≈ 1 la retta
`
e una buona approssimazione, se r >> 1 la retta non `e una buona approssimazione. Determinare il coefficiente di correlazione e verificare se la retta `e una buona approssimazione dei dati.
