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Academic year: 2021

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ANALISI MATEMATICA II - A.A. 2017-18 Sesto appello del 12/9/2018

1. Dire per quali x converge e calcolare la somma della serie

X

n=1

(n + 1)!

(n − 1)! x

n

.

2. Dire per quali α > 0 il dominio di convergenza di

X

n=3

1

n

α

| log n|

2−α

x

2n

` e un intervallo aperto.

3. Dire per quali α ∈ R la successione di funzioni f

n

(x) = n

α

log x + log n

nx + 1 converge uniformemente a 0 su (0, 1) .

4. Dire se esistono e trovare i punti di massimo e minimo assoluto di f (x, y) = x

2

+ (y + 1)

2

su {(x, y) : x = |y|} usando i moltiplicatori di Lagrange ove possibile.

5. Sia γ una parametrizzazione della curva ottenuta intersecando la sfera di centro 0 e raggio 2 in R

3

e il piano z = 1. Calcolare l’integrale di prima specie

Z

γ

x

2

ds.

6. Sia γ : [−1, 1] → R

2

definita da γ(t) = (t

2

, −t

2

).

(a) determinarne i punti singolari; (b) disegnarne il sostegno; (c) calcolarne la lunghezza

7. Calcolare Z

γ

(x + y + z)dz, dove γ ` e una parametrizzazione della curva ottenuta inter- secando l’ellissoide x

2

+ 3y

2

+ z

2

= 1 con il piano z = y.

8. Disegnare e parametrizzare la curva il cui sostegno ` e la parte dell’ellisse x

2

+ 4y

2

= 1 contenuta nell’insieme A = {(x, y) : 2y ≥ |x|}

9. Sia C = {(x, y) : x

2

+ 4y

2

≤ 1, 2y ≥ |x|}. Disegnare C e calcolarne l’area.

10. Calcolare il volume del’insieme D = {(x, y, z) : x

2

+ y

2

≤ |z|, (z + 1)

2

< 3}.

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