1. Dire per quali α ∈ IR la serie

Istituzioni di Analisi Matematica 2015-16 A. Cesaroni, M. Mannucci e A. Sommariva

Esercizi sulle serie numeriche

1. Dire per quali α ∈ IR la serie

+∞

X

n=1

( √ 1 + α)

|1 − α|

! n

converge.

2. Si studi la convergenza della serie

+∞

X

n=1

√ n ² + 1 − n

√ n .

3. Determinare il carattere della seguente serie:

+∞

X

n=1

3 ⁿ



1 − 1 n ^3/2

 n

.

4. Dire per quali α ≥ 0 la serie

+∞

X

n=1

n2 ⁿ + 5 ⁿ α ⁿ + 3 ⁿ converge.

5. Determinare il carattere della seguente serie:

+∞

X

n=1

 cosh _n ¹

− 1 ^ sin _n

¹ − _n

¹ . 6. Si studi la convergenza delle serie

+∞

X

n=1



1 − 1 2n

 5n

,

+∞

X

n=1



1 − 1 2n

 5n

,

+∞

X

n=1



1 − 1 2n

 5n

.

1

7. Determinare il carattere della seguente serie:

+∞

X

n=1



9n ³

 1

n − sin 1 n

 n

.

8. Data la serie:

+∞

X

n=1

(−1) ⁿ 1

n ^α arctan 3

√ n , (a) dire per quali α ∈ IR converge assolutamente, (b) discutere la convergenza per α = 1/2.

9. Si consideri la successione

a _n = n! + 5 · 3 ⁿ n + n ⁿ . (a) Calcolare il limite lim _n→+∞ a _n .

(b) Studiare la convergenza della serie

+∞

X

n=1

a _n .

10. Si consideri la successione

a n =

a

n

− 6 ^{ √ 1} _n − sin ^{ √ 1} _n ^ − _n ²

e

− 1

(a) Calcolare il limite lim _n→+∞ a _n al variare del parametro a ∈ IR.

(b) Discutere la convergenza della serie ^{P +∞} _n=1 a _n per ogni a ∈ IR.

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