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SCUOLA GALILEIANA DI STUDI SUPERIORI - CLASSE DI SCIENZE NATURALI

ESAME DI AMMISSIONE. PROVA DI MATEMATICA - 21 SETTEMBRE 2O1O

Il/La candidato/a deve svolgere, a sua scelta, non più di quattro dei sette esercizi che seguono.

Tutti gli esercizi hanno lo stesso valore in termini di valutazione. Il/La candidato/a deve indicare, apponendo una croce nelle apposite caselle, quali tra gli esercizi vuole vengano considerati per la correzione. Esercizi che non siano chiaramente indicati in questa forma non verranno presi in considerazione. Vengono valutate anche soluzioni parziali di esercizi.

AVVERTENZA: Questo foglio deve essere consegnato assieme all'elaborato.

Esercizio l. Sia X un insieme di cardinalità n € N. Quante sono le coppie (Y, Z), Llove Y e Z sorc sottoinsìenri di X, tali c:he Y a Z : 0 (insieme vuoto)/

Esercizio 2. Siano a, nt. e n numeri naturali strettamcntc nraggiori di l.

i) Si dirrrostri clrc sc p: a'" - 1 è un rlunero primo, allora a:2 c rn è primo.

i i ) S i d i m o s t r i c h e s e q : a " + 1 è u n n t t m c r o p r i r r t o , : r l l o r : r a è p a r i e n : 2 ' c o n r n a t u r a l . , .

E s e r c i z i o 3 . S i : r rr € N , z ) 1 c s i a n o 0 < : r ' 1 < . . . ( n , , ( 1 . S i d i m o s t r i c h e e s i s t e u n r € [0, 1] tah che la rnedia aritnurtica dcllc distanze rli .r' rla .r'1., L' : 1.... . ir, è ]. Irr altrc parole

' \ _

l r ' : r l ' - i .

n f " ' ' 2

Quanti r con la proprietà surìdetta esistono'/

Esercizio 4. Sia /: A , B un'applicazione tra .lue insiemi.

i ) Si dinostri chc l applicazionc / è iniettiva se e solo se, per ogni coppia di sottoinsieini X cY di A tali c h e X o Y : 0 , s i h a / ( X ) n / ( Y ) - 0 .

Si dirlostri che l'applicazione / ò irriettiva sc c solo sc pcr ogni coppia di sottoinsiemi X e Y di ,4 si

h a /( x \ Y ) : / ( x ) \ / ( Y ) .

i i I

2

Esercizio 5. La sorgente di un fascio di hrce l:r.scr è fissata ad un supporto circolare C di raggio 1, c(ìntrato ncll'origine del piano. Il fàscio di luce ha origine dal punto di coordinate (r,y) : (t,0) ed ì: cLirr:tto tangcnzialrnente a C, puntando nella direzione del semipiano {y > 0}. I supporto C può ruotarc iìttorrìo all'origine. Si calcoli di che angoìo deve ruotarc il supporto C perchè il fascio di lucc colpisca urr punto di coordinate (z,g), con z > 1 e y > 0.

Esercizio 6. Un tetraedro si trova appoggiato su un piano con una certa laccia, gli vicrrt-'d:rto un colpo e comincia a rotolarc. II rotolamento avviene per fàcce successivc, tutte equiprobabili.

i) Si calcoli la probabilità q", che il tetraedro torni a poggiare sulla laccia iniziale csattamente dopo n rotolamenti (e urn prima).

ii) Si cal<:oli la probabilità p,, che dopo rl rotolamenti il tetraedro torni a poggiare sulla laccia inizialc. E possibile che tale probabilità sia nulla'/

iii) Si calcoli il numero medio di rotolanìenti nccessari affincliè il tetràedro torni a poggiare sulla tàccia iniziale (suggerìmento: può esserc utile sapere che ![, nr"-Ì :

6]y ner lrl < t...).

Esercizio 7.

i) Si dirnostri che per ogni rrurnero nnturale à ) 1 si ha

1 . r t + 2 . 2 ! + 3 . 3 ! + . . . + à À ! : ( à + 1 ) ! - 1 .

ii) Si dimostri che ogni numero naturale n può essere scritto nella fbrma n : c r . 1 ! I q . 2 l i c a . 3 ! * . . l c n . h l , d.ove h, c1, c2, ca,.. ., c/r Sono numeri natur:ìli e cr < i per ogni I : 1, 2, . . ., h.

iii) Si dimostri Ie scrittura in ii) è essenzialrnente unica nel scnso segr.lente: se

n : c r . l l l _ c 2 . 2 1 + .j 3 . 3 ! + . . . l c n . h \ : ù . 7 1 _ l d , z . 2 t * r ] : t . 3 ! + . . . 1 , d t . ! l l .

d o v c l ù , c 1 , c 2 , c a , . . . , c 6 , 1 , r f i , t 1 2 , d À , . . . , d l s o n o n u r n e r i n a t u r a l i , c i < i p e r o g n i i: 1 , 2 . . . . . h , Q { j p c r o g n i j: 7 , 2 , . . . , t e h ( l , a l l o r a c i : ú l r p e r o g n i i - 7 , 2 . . . . , h e d ' - g p e r o g n l J -

h + 7 . h + 2 , . . . , t .