z  (x, y)} dove D = {(x, y) 2 R2| x2+ y2 1} e ↵(x, y

Risoluzione

1. Il dominio E ={(x, y, z) 2 R³| x²+^y₄²  z  4} `e rappresentato dai punti compresi tra il paraboloide ellittico x²+^y₄² = z e il piano z = 4

z

y x

0 4

E

Osservato che (

x²+^y₄² = z

z = 4 ,

(x²

4 +^y₁₆² = 1 z = 4 otteniamo che il dominio pu`o essere descritto come

E ={(x, y, z) 2 R³| (x, y) 2 D, x²+^y₄²  z  4} dove D = {(x, y) 2 R²| ^x4² +^y₁₆²  1}

4 z

y x

0 4

2 E

D

e come E ={(x, y, z) 2 R³| z 2 [0, 4], (x, y) 2 D^z} dove D^z={(x, y) 2 R²| x²+^y₄²  z}

z

y x

0 4

2pz pz

E

Dz

z

2. L’insieme E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z² 4, x²+ y² 1} `e costituito interni alla sfera x²+ y²+ z²= 4 e interni al cilindro x²+ y²= 1

2 2

1 x

y z

p3

Possiamo allora descriverlo come

E ={(x, y, z) 2 R³| (x, y) 2 D, p

4 x² y² z p

4 x² y²} dove D ={(x, y) 2 R²| x²+ y² 1} e come E = {(x, y, z) 2 R³| z 2 [ 2, 2], (x, y) 2 D^z} con

Dz=

({(x, y) 2 R²| x²+ y² 1} se|z| p 3 {(x, y) 2 R²| x²+ y² 4 z²} sep

3 |z|  2

3. Il solido E = {(x, y, z) 2 R³ | x²+ y²+ ^z₄²  1, |z|  1} `e costituito dai punti interni all’ellissoide x²+ y²+^z₄² = 1 compresi tra i piani z =±1

x

2 z

1

y 1

Potremo allora descriverlo come

E ={(x, y, z) 2 R³| (x, y) 2 D, ↵(x, y)  z  (x, y)} dove D = {(x, y) 2 R²| x²+ y² 1}

e

↵(x, y) = ( 2p

1 x² y² se (x, y)2 D^e

1 se (x, y)2 Dⁱ e (x, y) = (2p

1 x² y² se (x, y)2 D^e

1 se (x, y)2 Dⁱ

essendo De={(x, y) 2 R²| ³4  x²+ y² 1} e Dⁱ={(x, y) 2 R²| ³4  x²+ y²³4}.

Altrimenti, osservandone le sezioni, abbiamo

E ={(x, y, z) 2 R³| z 2 [ 1, 1], (x, y) 2 D^z} dove D^z={(x, y) 2 R²| x²+ y² 1 ^z4²}

4. L’insieme E ={(x, y, z) 2 R³| (x 1)²+ y²+ z²  1, x²+ y²  1, z 0} `e costituito dai punti interni alla sfera di centro (1, 0, 0) e al cilindro x²+ y²= 1 che si trovano al di sopra del piano z = 0

2

1 x

y z

Abbiamo che E = {(x, y, z) 2 R³ | (x, y) 2 D, 0  z  p

1 (x 1)² y²} dove D = {(x, y) 2 R² | x²+ y² 1, (x 1)²+ y² 1} e che E = {(x, y, z) 2 R³| z 2 [0, 1], (x, y) 2 D^z} con

Dz={(x, y) 2 R²| x²+ y² 1, (x 1)²+ y² 1 z²}

5. Il dominio E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z²  5, z p

x²+ y² 1} `e costituito dai punti interni alla sfera di centro l’origine e raggiop

5 che si trovano al di sotto della falda di cono z =p

x²+ y² 1

p5 2 x

y zp

5

1 1

Si ha (

x²+ y²+ z²= 5 z =p

x²+ y² 1 ,

(x²+ y²= 4 z = 1 quindi

E ={(x, y, z) 2 R³| (x, y) 2 D, p

5 x² y² z  (x, y)}

dove D ={(x, y) 2 R²| x²+ y² 5} e

(x, y) =

(ppx²+ y² 1 se x²+ y² 4 5 x² y² se 4 x²+ y² 5 Abbiamo poi che

E ={(x, y, z) 2 R³| z 2 [ p

5, 1], (x, y)2 D^z} essendo

Dz=

({(x, y) 2 R²| x²+ y² 5 z²} se p

5 z  1 {(x, y) 2 R²| (z + 1)² x²+ y² 5 z²} se 1  z  1 6. Calcoliamo RRR

Ex² + y²dxdydz essendo E = {(x, y, z) 2 R³| x²+ y²  1, 0  z  p

4 x² y²}.

Osserviamo che il dominio E risulta dominio normale rispetto al piano xy con E ={(x, y, z) | (x, y) 2 D, 0  z p

4 x² y²} dove D = {(x, y) | x²+ y² 1}.

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta ZZZ

E

x²+ y²dxdydz = ZZ

D

(

Z p4 x² y² 0

x²+ y²dz)dxdy = ZZ

D

(x²+ y²)p

4 x² y²dxdy e passando alle coordinate polari e integrando per parti otteniamo

= Z 2⇡

0

( Z 1

0

⇢³p

4 ⇢²d⇢)d✓ = 2⇡



4

3(4 ⇢²)^{32 1}₅(4 ⇢²)⁵²

1

0

= 2⇡(⁶⁴₁₅ ¹¹₅p 3)

In alternativa, osservato che l’intersezione tra il cilindro x²+ y²= 1 e la sfera x²+ y²+ z²= 4 `e data da (x²+ y²= 1

x²+ y²+ z²= 4 ,

(x²+ y²= 1

z²= 3 ,

(x²+ y²= 1 z =±p

3 potremo scrivere E = E1[ E² dove

E1={(x, y, z) | z 2 [0,p

3], (x, y)2 D} e E²={(x, y, z) | z 2 [p

3, 2], (x, y)2 D^z}

essendo D = {(x, y) | x²+ y²  1} e D^z = {(x, y) | x²+ y²  4 z²} se z 2 [p

3, 2]. Dalle formule di riduzione, integrando per strati, si ottiene allora

ZZZ

E

x²+ y²dxdydz = Z ^p3

0

( ZZ

D

x²+ y²dxdy)dz + Z 2

p3

( ZZ

Dz

x²+ y²dxdy)dz Utilizzando le coordinate polari per calcolare gli integrale doppi si ha

ZZZ

E

x²+ y²dxdydz = Z ^p3

0

( Z 2⇡

0

( Z 1

0

⇢³d⇢)d✓)dz + Z 2

p3

( Z 2⇡

0

(

Z ^p4 z² 0

⇢³d⇢)d✓)dz

= Z ^p3

0

⇡ 2dz +

Z 2 p3

⇡

2(4 z²)²dz = ^⇡₂p 3 + ^⇡₂h

16z ⁸₃z³+^z₅⁵i²

p3

= 2⇡(⁶⁴₁₅ ¹¹₅p 3) 7. Per calcolareRRR

Ex + 2y dxdydz dove E `e il tetraedro determinato dai tre piani cartesiani positivi e dal piano x + y + z = 1, possiamo integrare per fili osservando che E ={(x, y, z) 2 R³| (x, y) 2 D, 0  z  1 x y} essendo D = {(x, y) 2 R²| x 2 [0, 1], 0  y  1 x}.

Otteniamo ZZZ

E

x + 2y dxdydz = ZZ

D

(

Z 1 x y 0

x + 2y dz) dxdy = ZZ

D

(x + 2y)(1 x y) dxdy

= Z 1

0

( Z 1 x

0

x x² 3xy + 2y 2y²dy)dx

= Z 1

0

⇥(x x²)y + y^{2 3}₂xy^{2 2}₃y³⇤^{1 x}

0 dx

= Z 1

0

(x x²)(1 x) + (1 x)^{2 3}₂x(1 x)^{2 2}₃(1 x)³dx = ... = ¹₈

8. Per calcolare RRR

Exy dxdydz dove E = {(x, y, z) 2 R³| 0 p

3x y, 2z 1, x²+ y²+ (z ¹₂)²  1}

possiamo integrare per strati osservato che E = {(x, y, z) 2 R³| z 2 [¹2,³₂], (x, y) 2 C^z} essendo C^z = {(x, y) 2 R²| x²+ y² 1 (z 1)², 0p

3x y}

z

y x

0

1 2 3 2

Utilizzando le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio, posto T = {(⇢, ✓) | ✓ 2 [^⇡3,^⇡₂], 0 ⇢  q

1 (z ¹₂)²}, otteniamo allora ZZZ

E

xy dxdydz = Z ³₂

1 2

( ZZ

Cz

xy dxdy) dz = Z ³₂

1 2

( ZZ

T

⇢³cos ✓ sin ✓ d✓d⇢) dz

= ₃₂¹ Z ³₂

1 2

(1 (z ¹₂)²)²dz = ...

9. CalcoliamoRRR

Ex²z dxdydz dove E ={(x, y, z) 2 R³| 0  z  x²+ y² 4}.

z

y x

0 4

2 2

Per calcolare l’integrale possiamo utilizzare le coordinate cilindriche ottenendo ZZZ

x²z dxdydz = ZZZ

T

⇢³cos²✓z d⇢d✓dz essendo T ={(⇢, ✓, z) | 0  z  ⇢², ✓2 [0, 2⇡], ⇢ 2 [0, 2]}.

Dato che T `e dominio normale rispetto a ⇢, ✓, posto D = [0, 2]⇥ [0, 2⇡], integrando per fili otteniamo ZZZ

x²z dxdydz = ZZZ

T

⇢³cos²✓z d⇢d✓dz = ZZ

D

( Z ⇢²

0

⇢³cos²✓z dz) d⇢d✓

= ZZ

D

⇢³cos²✓h

z² 2

i⇢²

0 d⇢d✓ = ¹₂ ZZ

D

⇢⁷cos²✓ d⇢d✓

= ¹₂ Z 2⇡

0

cos²✓ d✓

Z 2 0

⇢⁷d⇢ = ¹₄[✓ + cos ✓ sin ✓]^2⇡₀ h

⇢⁸ 8

i2 0= 16⇡

10. CalcoliamoRRR

E

p 1

x²+y² dxdydz dove E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z² 4, z 1} usando le coordinate sferiche.

z

y x

0 1 2

2

2

Otteniamo allora che ZZZ

E

p 1

x²+y²dxdydz = ZZZ

T

⇢ d'd✓d⇢

essendo T ={(', ✓, ⇢) | ' 2 [0,^⇡3], ✓2 [0, 2⇡], cos '¹  ⇢  2}. Integrando per fili, posto D = [0,^⇡3]⇥[0, 2⇡], otteniamo

ZZZ

E

p 1

x²+y²dxdydz = ZZZ

T

⇢ d⇢d✓dz = ZZ

D

( Z 2

1 cos '

⇢ d⇢)d'd✓ = ¹₂ ZZ

D

4 _cos¹2'd'd✓

= ⇡ Z ^⇡₃

0

4 _cos¹2'd' = ⇡ [4' tan ']

⇡ 3

0 = ⇡(⁴₃⇡ p 3)

11. Per calcolare il volume di E ={(x, y, z) 2 R³| 3(x²+ y²) z  1 + x²+ y²}, osserviamo che l’intersezione tra i paraboloidi z = 3(x²+ y²) e z = 1 + x²+ y²`e data da

(z = 3(x²+ y²) z = 1 + x²+ y² ,

(x²+ y²=¹₂ z = ³₂ Il dominio E risulta dunque dominio normale rispetto al piano xy con

E ={(x, y, z) | (x, y) 2 C, 3(x²+ y²) z  1 + x²+ y²} dove C = {(x, y) | x²+ y² ¹2} Dalle formule di riduzione otteniamo allora

µ(E) = ZZZ

E

dxdydz = ZZ

C

(

Z 1+x²+y² 3(x²+y²)

dz) dxdy = ZZ

C

1 + x²+ y² 3(x²+ y²) dxdy

e passando alle coordinate polari si ha

µ(E) = Z 2⇡

0

( Z p¹

2 0

(1 + ⇢² 3⇢²)⇢ d⇢) d✓ = 2⇡

Z p¹ 2 0

⇢ 2⇢³d⇢ = 2⇡h

⇢² 2

⇢⁴ 2

ip¹ 2 0 = ^⇡₄ In alternativa, osservato che E = E1[ E² dove

E1={(x, y, z) | z 2 [0, 1], (x, y) 2 D^z} con D^z={(x, y) | x²+ y² ^z3} e

E2={(x, y, z) | z 2 [1,³2], (x, y)2 C^z} con C^z={(x, y) | z 1 x²+ y² ^z3}, dalle formule di riduzione, integrando per strati, otteniamo

µ(E) = µ(E1) + µ(E2) = ZZZ

E1

dxdydz + ZZZ

E2

dxdydz

= Z 1

0

( ZZ

Dz

dxdy)dz + Z ³₂

1

( ZZ

Cz

dxdy)dz = ⇡ Z 1

0 z 3dz + ⇡

Z ³₂

1

(^z₃ z + 1) dz

= ⇡h

z² 6

i1 0+ ⇡h

z ^z₃²i³₂

1 =^⇡₄.

12. Determiniamo il volume del solido E = {(x, y, z) 2 R³| x² + y²  z  2 p

x²+ y²}, ottenuto dall’intersezione del solido avente come frontiera il paraboloide x²+ y² = z con il solido di frontiera il cono z = 2 p

x²+ y². Abbiamo che l’intersezione del paraboloide con il cono `e data da (z = x²+ y²

z = 2 p

x²+ y² ,

(x²+ y²= 1 z = 1 z

y x

0 1

1 1

E 2

Il dominio E risulta dunque dominio normale rispetto al piano (x, y) con E ={(x, y, z) | (x, y) 2 D, x²+ y² z  2 p

x²+ y²} dove D = {(x, y) | x²+ y² 1}

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora

µ(E) = ZZZ

E

dxdydz = ZZ

D

( Z 2 p

x²+y²

x²+y²

dz) dxdy = ZZ

D

2 p

x²+ y² (x²+ y²) dxdy

e passando alle coordinate polari otteniamo

µ(E) = Z 2⇡

0

( Z 1

0

(2 ⇢ ⇢²)⇢ d⇢) d✓ = ... = ⁵₆⇡ In alternativa, osservato che E = E1[ E² dove

E1={(x, y, z) | z 2 [0, 1], (x, y) 2 D^z} con D^z={(x, y) | x²+ y² z}

e

E2={(x, y, z) | z 2 [1, 2], (x, y) 2 B^z} con B^z={(x, y) | x²+ y² (2 z)²}, dalle formule di riduzione, integrando per strati, otteniamo

µ(E) = µ(E1) + µ(E2) = ZZZ

E1

dxdydz + ZZZ

E2

dxdydz

= Z 1

0

( ZZ

Dz

dxdy)dz + Z 2

1

( ZZ

Bz

dxdy)dz

= Z 1

0

µ(Dz) dz + Z 2

1

µ(Bz) dz = ⇡ Z 1

0

z dz + ⇡ Z 2

1

(2 z)²dz = ... = ⁵₆⇡.

13. Per calcolare il volume di E = {(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z²  1, x²+ y²  ³2z}, integriamo per strati osservando che l’intersezione tra la sfera x²+ y²+ z²= 1 e il paraboloide x²+ y²=³₂z `e data da

(x²+ y²+ z²= 1 x²+ y²=³₂z ,

(x²+ y²= ³₄ z = ¹₂ z

y x

0 1

1 2

1 E

Osserviamo poi che E = E1[ E² dove

E1={(x, y, z) | z 2 [0,¹2], (x, y)2 D^z} con D^z={(x, y) | x²+ y²³2z} e

E2={(x, y, z) | z 2 [¹2, 1], (x, y)2 B^z} con B^z={(x, y) | x²+ y² 1 z²},

dalle formule di riduzione, otteniamo µ(E) = µ(E1) + µ(E2) =

ZZZ

E1

dxdydz + ZZZ

E2

dxdydz

= Z ¹₂

0

( ZZ

Dz

dxdy)dz + Z 1

1 2

( ZZ

Bz

dxdy)dz

= Z ¹₂

0

µ(Dz) dz + Z 1

1 2

µ(Bz) dz = ⇡ Z ¹₂

0 3

2z dz + ⇡ Z 1

1 2

1 z²dz = ... = ¹⁹₄₈⇡.

14. Calcoliamo il volume di E ottenuto dalla rotazione di D ={(x, z) 2 R²| |z|  x, x²+ z²  x} attorno all’asse z di un angolo giro, usando il Teorema di Guldino. Abbiamo

µ(E) = µ(D)L( ^B) = µ(D)2⇡· x^B= 2⇡

ZZ

D

x dxdy

Utilizziamo le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio, posto T ={(⇢, ✓) | ✓ 2 [ ^⇡4,^⇡₄], 0 ⇢  cos ✓}, otteniamo

µ(E) = 2⇡

ZZ

T

⇢²cos ✓ d⇢d✓ = 2⇡

Z ^⇡₄

⇡ 4

( Z cos ✓

0

⇢²cos ✓ d⇢)d✓ =²₃⇡ Z ^⇡₄

⇡ 4

cos⁴✓ d✓ = ... = ^⇡₃+^⇡₈²

dove per calcolare l’ultimo integrale possiamo osservare che cos⁴✓ = cos²✓ cos²✓ sin²✓ = cos²✓

1

4sin²(2✓).

15. Per determinare il baricentro del cono E ={(x, y, z) 2 R³| 0  z  1 p

x²+ y²} di densit`a di massa (x, y, z) = z dobbiamo innanzitutto calcolare la massa m(E) =RRR

Ez dxdydz. A tale scopo possiamo utilizzare le coordinate cilindriche. Posto T ={(⇢, ✓, z) | ✓ 2 [0, 2⇡], ⇢ 2 [0, 1], 0  z  1 ⇢} otteniamo

m(E) = ZZZ

E

z dxdydz = ZZZ

T

⇢z d⇢d✓dz = Z

[0,1]⇥[0,2⇡]

( Z 1 ⇢

0

⇢z dz) d⇢d✓

= ¹₂ Z

[0,1]⇥[0,2⇡]

⇢³ 2⇢²+ ⇢ d⇢d✓ = ⇡ Z 1

0

⇢³ 2⇢²+ ⇢ d⇢ = ⇡h

⇢⁴ 4

2⇢³ 3 +^⇢₂²i1

0= ₁₂^⇡ Per simmetria abbiamo poi che ascissa e ordinata del baricentro sono nulle, xB = yB= 0 mentre

zB= ¹²_⇡ ZZZ

E

z²dxdydz = ¹²_⇡ ZZZ

T

⇢z²d⇢d✓dz = ¹²_⇡ Z

[0,1]⇥[0,2⇡]

( Z 1 ⇢

0

⇢z²dz) d⇢d✓

= ⁴_⇡ ZZ

[0,1]⇥[0,2⇡]

⇢⁴+ 3⇢³ 3⇢²+ ⇢ d⇢d✓ = 8h

⇢⁵

5 +^3⇢₄⁴ ⇢³+^⇢₂²i1 0= ²₅ quindi il baricentro ha coordinate (0, 0,²₅).

In alternativa, potremo integrare per fili, osservato che E = {(x, y, z) 2 R³ | (x, y) 2 D, 0  z 

1 p

x²+ y²} dove D = {(x, y) 2 R³ | x²+ y²  1}. Utilizzando le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio otteniamo

m(E) = ZZZ

E

z dxdydz = ZZ

D

( Z 1 p

1 x² y²

0

z dz)dxdy = ¹₂ ZZ

D

(1 p

1 x² y²)²dxdy

=¹₂ ZZ

[0,1]⇥[0,2⇡]

(1 ⇢)²⇢ d⇢d✓ = ⇡ Z 1

0

⇢ 2⇢²+ ⇢³d⇢ = ... = ₁₂^⇡

e

zB= ¹²_⇡ ZZZ

E

z²dxdydz = ¹²_⇡ ZZ

D

( Z 1 p

1 x² y²

0

z²dz)dxdy

= ⁴_⇡ ZZ

D

(1 p

1 x² y²)³dxdy =_⇡⁴ ZZ

[0,1]⇥[0,2⇡]

(1 ⇢)³⇢ d⇢d✓

= ⁴_⇡ ZZ

[0,1]⇥[0,2⇡]

(1 3⇢ + 3⇢² ⇢³)⇢ d⇢d✓ = ... = ²₅

16. Osserviamo innanzitutto che l’intersezione tra il cono e il paraboloide `e data da (z = x²+ y² 5

z = 1 p

x²+ y² ,

(x²+ y²= z + 5 z + 5 = (1 z)² ,

(x²+ y²= 4 z = 1 Dunque E risulta dominio normale rispetto al piano xy con

E ={(x, y, z) | (x, y) 2 D, x²+ y² 5 z  1 p

x²+ y²} dove D = {(x, y) | x²+ y² 4}

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora

µ(E) = ZZZ

E

dxdydz = ZZ

D

( Z 1 p

x²+y²

x²+y² 5

dz)dxdy = ZZ

D

6 p

x²+ y² (x²+ y²)dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

µ(E) = Z 2⇡

0

( Z 2

0

(6 ⇢ ⇢²)⇢d⇢)d✓ = 2⇡h

3⇢^{2 ⇢}₃^{3 ⇢}₄⁴i2 0= ³²₃⇡ In alternativa, osservato che

E ={(x, y, z) | z 2 [ 5, 1], (x, y) 2 D^z}

dove Dz ={(x, y) | x²+ y²  5 + z} se z 2 [ 5, 1] e D^z ={(x, y) | x²+ y²  (1 z)²} se z 2 [ 1, 1], integrando per strati si ottiene

µ(E) = ZZZ

E

dxdydz = Z 1

5

( ZZ

Dz

dxdy)dz = Z 1

5

m(Dz) dz

= Z 1

5

⇡(5 + z)dz + Z 1

1

⇡(1 z)²dz = ⇡h

z z²+^z₃³i1 1+ ⇡h

5z +^z₂²i 1 5

= ³²₃⇡

Dette (xB, yB, zB) le coordinate del baricentro, osserviamo che essendo il dominio simmetrico rispetto all’asse z e la densit`a di massa costante, risulta xB = yB= 0. Per determinare zB calcoliamo innanzitutto l’integrale I =RRR

Ezdxdydz. A tale scopo, procedendo come sopra, otteniamo I =

ZZ

D

( Z 1 p

x²+y²

x²+y² 5

z dz)dxdy =¹₂ ZZ

D

(1 p

x²+ y²)² (x²+ y² 5)²dxdy

= Z 2⇡

0

( Z 2

0

((1 ⇢)² (⇢² 5)²)⇢ d⇢)d✓ = Z 2⇡

0

( Z 2

0

⇢⁵+ 11⇢³ 2⇢² 24⇢ d⇢)d✓

= 2⇡h

⇢⁶

6 +^11⇢₄^{4 2⇢}₃³ 12⇢²i2

0= 20⇡

o in alternativa I =

Z 1 5

( ZZ

Dz

zdxdy)dz = Z 1

5

⇡z(5 + z)dz + Z 1

1

⇡z(1 z)²dz = ... = 20⇡

Quindi

z0=_µ(E)¹ ZZZ

E

zdxdydz = ₃₂^20⇡

3 ⇡

= ¹⁵₈

17. Per determinare le coordinate del baricentro di E, delimitato dai paraboloidi z = x²+y²e z = 4 x² y², di densit`a di massa costante, osserviamo innanzitutto che l’intersezione tra i due paraboloidi `e data da

(z = x²+ y²

z = 4 x² y² ,

(z = 2 x²+ y²= 2 Dunque abbiamo E = E1[ E² essendo

E1={(x, y, z) | z 2 [0, 2], (x, y) 2 C^z,} dove C^z={(x, y) | x²+ y² z}

e

E2={(x, y, z) | z 2 [2, 4], (x, y) 2 D^z,} dove D^z={(x, y) | x²+ y² 4 z} Dalle formule di riduzione, integrando per strati, risulta allora

µ(E1) = ZZZ

E1

dxdydz = Z 2

0

( ZZ

Cz

dxdy)dz = ⇡ Z 2

0

zdz = ⇡h

z² 2

i²

0= 2⇡

e

µ(E2) = ZZZ

E2

dxdydz = Z 4

2

( ZZ

Dz

dxdy)dz = ⇡ Z 4

2

4 zdz = ⇡h

4z ^z₂²i⁴

2= 2⇡

Quindi µ(E) = µ(E1) + µ(E2) = 4⇡. In alternativa, osservato che

E ={(x, y, z) | (x, y) 2 C, x²+ y² z  4 x² y²} dove C = {(x, y) | x²+ y² 2}

integrando per fili si ottiene

µ(E) = ZZZ

E

dxdydz = ZZ

C

(

Z 4 x² y² x²+y²

dz)dxdy = 2 ZZ

C

2 x² y²dxdy

da cui, passando alle coordinate polari,

µ(E) = 2 Z 2⇡

0

Z ^p2 0

(2 ⇢²)⇢ d⇢d✓ = 4⇡h

⇢^{2 ⇢}₄⁴i^p2

0 = 4⇡

Osservato che il solido `e simmetrico rispetto all’asse z e la densit`a di massa costante, dette (xB, yB, zB) le coordinate del baricentro, risulta xB = yB= 0. Mentre

zB= _4⇡¹ ZZZ

E

z dxdydz

Procedendo come sopra, integrando per strati, si ottiene ZZZ

E

z dxdydz = ZZZ

E1

z dxdydz + ZZZ

E2

z dxdydz

= Z 2

0

( ZZ

Cz

z dxdy)dz + Z 4

2

( ZZ

Dz

z dxdy)dz

= ⇡ Z 2

0

z²dz + ⇡ Z 4

2

4z z²dz = ^8⇡₃ +^16⇡₃ = 8⇡

da cui zB = 2.

NOTA: la risoluzione dell’esercizio poteva semplificarsi osservando che il dominio risulta simmetrico rispetto al piano z = 2 e dunque osservando che per simmetria si ha µ(E1) = µ(E2) e zB= 2.

18. Il solido E ={(x, y, z) 2 R³| x²+y² z  6 p

x²+ y²} di densit`a di massa costante, risulta simmetrico rispetto all’asse z. Poich´e la densit`a di massa `e costante si ha che, dette (xB, yB, zB) le coordinate del baricentro, risulta xB= yB = 0 mentre

zB= _µ(E)¹ ZZZ

E

z dxdydz dove µ(E) = ZZZ

E

dxdydz

Per calcolare tali integrali, osserviamo innanzitutto che l’intersezione del cono z = 6 p

x²+ y² con il paraboloide z = x²+ y² `e data da

(z = 6 p x²+ y² z = x²+ y² ,

(x²+ y²= 4 z = 4 Dunque E risulta dominio normale rispetto al piano xy con

E ={(x, y, z) | (x, y) 2 D, x²+ y² z  6 p

x²+ y²} dove D = {(x, y) | x²+ y² 4}

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora

µ(E) = ZZZ

E

dxdydz = ZZ

D

( Z 6 p

x²+y²

x²+y²

dz)dxdy = ZZ

D

6 p

x²+ y² x² y²dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

µ(E) = Z 2⇡

0

( Z 2

0

(6 ⇢ ⇢²)⇢d⇢)d✓ = 2⇡h

3⇢^{2 ⇢}₃^{3 ⇢}₄⁴i2 0= ³²₃⇡ Quindi

zB= _32⇡³ ZZZ

E

z dxdydz = _32⇡³ ZZ

D

( Z 6 p

x²+y²

x²+y²

z dz)dxdy

= _64⇡³ ZZ

D

(6 p

x²+ y²)² (x²+ y²)²dxdy

= _64⇡³ Z 2⇡

0

( Z 2

0

((6 ⇢)² ⇢⁴)⇢d⇢)d✓ = ₃₂³ h

18⇢² 4⇢³+^⇢₄^{4 ⇢}₆⁶i2 0= ²⁵₈ In alternativa, osservato che

E ={(x, y, z) | z 2 [0, 6], (x, y) 2 D^z}

dove Dz ={(x, y) | x²+ y² z} se z 2 [0, 4] e D^z={(x, y) |p

x²+ y² 6 z} se z 2 [4, 6], integrando per strati si ottiene

µ(E) = ZZZ

E

dxdydz = Z 6

0

( ZZ

Dz

dxdy)dz = Z 6

0

µ(Dz) dz

= Z 4

0

⇡zdz + Z 6

4

⇡(6 z)²dz = 8⇡ + ⇡h

36z 6z²+^z₃³i6 4=³²₃⇡ e quindi

zB =_32⇡³ ZZZ

E

z dxdydz = _32⇡³ Z 6

0

( ZZ

Dz

z dxdy)dz = _32⇡³ Z 6

0

zm(Dz) dz

=_32⇡³ Z 4

0

⇡z²dz + _32⇡³ Z 6

4

⇡z(6 z)²dz = 2 +₃₂³ h

18z² 4z³+^z₄⁴i6 4= ²⁵₈

19. Determiniamo le coordinate del baricentro di E = {(x, y, z) 2 R³| 1  x²+ y²  z  2} di densit`a di massa (x, y, z) = z. Osservato che il solido `e simmetrico rispetto all’asse z e che la densit`a di massa dipende solo dalla variabile z, dette (xB, yB, zB) le coordinate del baricentro, risulta xB = yB = 0.

Mentre

zB =_m(E)¹ ZZZ

D

z²dxdydz dove m(E) = ZZZ

E

z dxdydz

Per calcolare tali integrali osserviamo innanzitutto che l’intersezione del cilindro x² + y² = 1 con il paraboloide z = x²+ y² `e data da (

x²+ y²= 1 z = 1

Dunque E risulta dominio normale rispetto al piano xy con

E ={(x, y, z) | (x, y) 2 C, x²+ y² z  2} dove C = {(x, y) | 1  x²+ y² 2}

Dalle formule di riduzione risulta allora m(E) =

ZZZ

E

z dxdydz = ZZ

C

( Z 2

x²+y²

z dz)dxdy = ¹₂ ZZ

C

4 (x²+ y²)²dxdy

e passando alle coordinate polari otteniamo

m(E) = ¹₂ Z 2⇡

0

( Z ^p2

1

(4 ⇢⁴)⇢d⇢)d✓ = ⇡h

2⇢^{2 ⇢}₆⁶i^p2 1 =⁵₆⇡ Quindi

zB= _5⇡⁶ ZZZ

E

z²dxdydz = _5⇡⁶ ZZ

C

( Z 2

x²+y²

z²dz)dxdy = _5⇡² ZZ

C

8 (x²+ y²)³dxdy

= _5⇡² Z 2⇡

0

( Z ^p2

1

(8 ⇢⁶)⇢ d⇢)d✓ = ⁴₅h

4⇢^{2 ⇢}₈⁸i^p2 1 =¹⁷₁₀ In alternativa, osservato che

E ={(x, y, z) | z 2 [1, 2], (x, y) 2 C^z} dove C^z={(x, y) | 1  x²+ y² z}

si ottiene

m(E) = ZZZ

E

z dxdydz = Z 2

1

( ZZ

Cz

dxdy)zdz = Z 2

1

zm(Cz) dz

= Z 2

1

⇡z(z 1)dz = ⇡h

z³ 3

z² 2

i2 1= ⁵₆⇡ e quindi

zB= _5⇡⁶ ZZZ

E

z²dxdydz = _5⇡⁶ Z 2

1

( ZZ

Cz

dxdy)z²dz = Z 2

1

z²m(Cz) dz

= _5⇡⁶ Z 2

1

⇡z²(z 1)dz = ⁶₅h

z⁴ 4

z³ 3

i2 1= ¹⁷₁₀ 20. Calcoliamo il baricentro di E = {(x, y, z) 2 R³| 1  p

x²+ y²  4 z, z 0} di densit`a di massa (x, y, z) = z. Il dominio E risulta dominio normale rispetto al piano xy con

E ={(x, y, z) | (x, y) 2 C, 0  z  4 p

x²+ y²} dove C = {(x, y) | 1 p

x²+ y² 4}

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, avremo

m(E) = ZZZ

E

z dxdydz = ZZ

C

( Z 4 p

x²+y²

0

z dz) dxdy = ZZ

C 1 2(4 p

x²+ y²)²dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

m(E) = ¹₂ Z 2⇡

0

( Z 4

1

⇢(4 ⇢)²d⇢) d✓ = ⇡ cos ✓d Z 4

1

⇢(⇢² 8⇢ + 16) d⇢

= ⇡h

8⇢^{2 8}₃⇢³+^⇢₄⁴i4 1= ⁶³₄⇡

In alternativa, osservato che l’intersezione tra il cilindro x²+ y²= 1 ed il conop

x²+ y²= 4 z `e data

da (

x²+ y²= 1

px²+ y²= 4 z ,

(x²+ y²= 1 z = 3 potremo scrivere

E ={(x, y, z) | z 2 [0, 3], (x, y) 2 C^z} dove C^z={(x, y) | 1 p

x²+ y² 4 z} Dalle formule di riduzione, integrando per strati, si ottiene allora

m(E) = ZZZ

E

z dxdydz = Z 3

0

( ZZ

Cz

z dxdy)dz = ⇡ Z 3

0

z((4 z)² 1) dz

= ⇡ Z 3

0

z(15 8z + z²) dz = ⇡h

15

2z² 8^z₃³ +^z₄⁴i3 0= ⁶³₄⇡

Per quanto riguarda le coordinate (xB, yB, zB) del baricentro, osserviamo che per simmetria del dominio e della densit`a di massa risulta xB= yB= 0 mentre

zB =_m(E)¹ ZZZ

E

z²dxdydz = _63⇡⁴ ZZZ

E

z²dxdydz e procedendo come sopra si ottiene zB =⁴⁸₃₅.