Risoluzione
1. Il dominio E ={(x, y, z) 2 R3| x2+y42 z 4} `e rappresentato dai punti compresi tra il paraboloide ellittico x2+y42 = z e il piano z = 4
z
y x
0 4
E
Osservato che (
x2+y42 = z
z = 4 ,
(x2
4 +y162 = 1 z = 4 otteniamo che il dominio pu`o essere descritto come
E ={(x, y, z) 2 R3| (x, y) 2 D, x2+y42 z 4} dove D = {(x, y) 2 R2| x42 +y162 1}
4 z
y x
0 4
2 E
D
e come E ={(x, y, z) 2 R3| z 2 [0, 4], (x, y) 2 Dz} dove Dz={(x, y) 2 R2| x2+y42 z}
z
y x
0 4
2pz pz
E
Dz
z
2. L’insieme E ={(x, y, z) 2 R3| x2+ y2+ z2 4, x2+ y2 1} `e costituito interni alla sfera x2+ y2+ z2= 4 e interni al cilindro x2+ y2= 1
2 2
1 x
y z
p3
Possiamo allora descriverlo come
E ={(x, y, z) 2 R3| (x, y) 2 D, p
4 x2 y2 z p
4 x2 y2} dove D ={(x, y) 2 R2| x2+ y2 1} e come E = {(x, y, z) 2 R3| z 2 [ 2, 2], (x, y) 2 Dz} con
Dz=
({(x, y) 2 R2| x2+ y2 1} se|z| p 3 {(x, y) 2 R2| x2+ y2 4 z2} sep
3 |z| 2
3. Il solido E = {(x, y, z) 2 R3 | x2+ y2+ z42 1, |z| 1} `e costituito dai punti interni all’ellissoide x2+ y2+z42 = 1 compresi tra i piani z =±1
x
2 z
1
y 1
Potremo allora descriverlo come
E ={(x, y, z) 2 R3| (x, y) 2 D, ↵(x, y) z (x, y)} dove D = {(x, y) 2 R2| x2+ y2 1}
e
↵(x, y) = ( 2p
1 x2 y2 se (x, y)2 De
1 se (x, y)2 Di e (x, y) = (2p
1 x2 y2 se (x, y)2 De
1 se (x, y)2 Di
essendo De={(x, y) 2 R2| 34 x2+ y2 1} e Di={(x, y) 2 R2| 34 x2+ y234}.
Altrimenti, osservandone le sezioni, abbiamo
E ={(x, y, z) 2 R3| z 2 [ 1, 1], (x, y) 2 Dz} dove Dz={(x, y) 2 R2| x2+ y2 1 z42}
4. L’insieme E ={(x, y, z) 2 R3| (x 1)2+ y2+ z2 1, x2+ y2 1, z 0} `e costituito dai punti interni alla sfera di centro (1, 0, 0) e al cilindro x2+ y2= 1 che si trovano al di sopra del piano z = 0
2
1 x
y z
Abbiamo che E = {(x, y, z) 2 R3 | (x, y) 2 D, 0 z p
1 (x 1)2 y2} dove D = {(x, y) 2 R2 | x2+ y2 1, (x 1)2+ y2 1} e che E = {(x, y, z) 2 R3| z 2 [0, 1], (x, y) 2 Dz} con
Dz={(x, y) 2 R2| x2+ y2 1, (x 1)2+ y2 1 z2}
5. Il dominio E ={(x, y, z) 2 R3| x2+ y2+ z2 5, z p
x2+ y2 1} `e costituito dai punti interni alla sfera di centro l’origine e raggiop
5 che si trovano al di sotto della falda di cono z =p
x2+ y2 1
p5 2 x
y zp
5
1 1
Si ha (
x2+ y2+ z2= 5 z =p
x2+ y2 1 ,
(x2+ y2= 4 z = 1 quindi
E ={(x, y, z) 2 R3| (x, y) 2 D, p
5 x2 y2 z (x, y)}
dove D ={(x, y) 2 R2| x2+ y2 5} e
(x, y) =
(ppx2+ y2 1 se x2+ y2 4 5 x2 y2 se 4 x2+ y2 5 Abbiamo poi che
E ={(x, y, z) 2 R3| z 2 [ p
5, 1], (x, y)2 Dz} essendo
Dz=
({(x, y) 2 R2| x2+ y2 5 z2} se p
5 z 1 {(x, y) 2 R2| (z + 1)2 x2+ y2 5 z2} se 1 z 1 6. Calcoliamo RRR
Ex2 + y2dxdydz essendo E = {(x, y, z) 2 R3| x2+ y2 1, 0 z p
4 x2 y2}.
Osserviamo che il dominio E risulta dominio normale rispetto al piano xy con E ={(x, y, z) | (x, y) 2 D, 0 z p
4 x2 y2} dove D = {(x, y) | x2+ y2 1}.
Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta ZZZ
E
x2+ y2dxdydz = ZZ
D
(
Z p4 x2 y2 0
x2+ y2dz)dxdy = ZZ
D
(x2+ y2)p
4 x2 y2dxdy e passando alle coordinate polari e integrando per parti otteniamo
= Z 2⇡
0
( Z 1
0
⇢3p
4 ⇢2d⇢)d✓ = 2⇡
4
3(4 ⇢2)32 15(4 ⇢2)52
1
0
= 2⇡(6415 115p 3)
In alternativa, osservato che l’intersezione tra il cilindro x2+ y2= 1 e la sfera x2+ y2+ z2= 4 `e data da (x2+ y2= 1
x2+ y2+ z2= 4 ,
(x2+ y2= 1
z2= 3 ,
(x2+ y2= 1 z =±p
3 potremo scrivere E = E1[ E2 dove
E1={(x, y, z) | z 2 [0,p
3], (x, y)2 D} e E2={(x, y, z) | z 2 [p
3, 2], (x, y)2 Dz}
essendo D = {(x, y) | x2+ y2 1} e Dz = {(x, y) | x2+ y2 4 z2} se z 2 [p
3, 2]. Dalle formule di riduzione, integrando per strati, si ottiene allora
ZZZ
E
x2+ y2dxdydz = Z p3
0
( ZZ
D
x2+ y2dxdy)dz + Z 2
p3
( ZZ
Dz
x2+ y2dxdy)dz Utilizzando le coordinate polari per calcolare gli integrale doppi si ha
ZZZ
E
x2+ y2dxdydz = Z p3
0
( Z 2⇡
0
( Z 1
0
⇢3d⇢)d✓)dz + Z 2
p3
( Z 2⇡
0
(
Z p4 z2 0
⇢3d⇢)d✓)dz
= Z p3
0
⇡ 2dz +
Z 2 p3
⇡
2(4 z2)2dz = ⇡2p 3 + ⇡2h
16z 83z3+z55i2
p3
= 2⇡(6415 115p 3) 7. Per calcolareRRR
Ex + 2y dxdydz dove E `e il tetraedro determinato dai tre piani cartesiani positivi e dal piano x + y + z = 1, possiamo integrare per fili osservando che E ={(x, y, z) 2 R3| (x, y) 2 D, 0 z 1 x y} essendo D = {(x, y) 2 R2| x 2 [0, 1], 0 y 1 x}.
Otteniamo ZZZ
E
x + 2y dxdydz = ZZ
D
(
Z 1 x y 0
x + 2y dz) dxdy = ZZ
D
(x + 2y)(1 x y) dxdy
= Z 1
0
( Z 1 x
0
x x2 3xy + 2y 2y2dy)dx
= Z 1
0
⇥(x x2)y + y2 32xy2 23y3⇤1 x
0 dx
= Z 1
0
(x x2)(1 x) + (1 x)2 32x(1 x)2 23(1 x)3dx = ... = 18
8. Per calcolare RRR
Exy dxdydz dove E = {(x, y, z) 2 R3| 0 p
3x y, 2z 1, x2+ y2+ (z 12)2 1}
possiamo integrare per strati osservato che E = {(x, y, z) 2 R3| z 2 [12,32], (x, y) 2 Cz} essendo Cz = {(x, y) 2 R2| x2+ y2 1 (z 1)2, 0p
3x y}
z
y x
0
1 2 3 2
Utilizzando le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio, posto T = {(⇢, ✓) | ✓ 2 [⇡3,⇡2], 0 ⇢ q
1 (z 12)2}, otteniamo allora ZZZ
E
xy dxdydz = Z 32
1 2
( ZZ
Cz
xy dxdy) dz = Z 32
1 2
( ZZ
T
⇢3cos ✓ sin ✓ d✓d⇢) dz
= 321 Z 32
1 2
(1 (z 12)2)2dz = ...
9. CalcoliamoRRR
Ex2z dxdydz dove E ={(x, y, z) 2 R3| 0 z x2+ y2 4}.
z
y x
0 4
2 2
Per calcolare l’integrale possiamo utilizzare le coordinate cilindriche ottenendo ZZZ
x2z dxdydz = ZZZ
T
⇢3cos2✓z d⇢d✓dz essendo T ={(⇢, ✓, z) | 0 z ⇢2, ✓2 [0, 2⇡], ⇢ 2 [0, 2]}.
Dato che T `e dominio normale rispetto a ⇢, ✓, posto D = [0, 2]⇥ [0, 2⇡], integrando per fili otteniamo ZZZ
x2z dxdydz = ZZZ
T
⇢3cos2✓z d⇢d✓dz = ZZ
D
( Z ⇢2
0
⇢3cos2✓z dz) d⇢d✓
= ZZ
D
⇢3cos2✓h
z2 2
i⇢2
0 d⇢d✓ = 12 ZZ
D
⇢7cos2✓ d⇢d✓
= 12 Z 2⇡
0
cos2✓ d✓
Z 2 0
⇢7d⇢ = 14[✓ + cos ✓ sin ✓]2⇡0 h
⇢8 8
i2 0= 16⇡
10. CalcoliamoRRR
E
p 1
x2+y2 dxdydz dove E ={(x, y, z) 2 R3| x2+ y2+ z2 4, z 1} usando le coordinate sferiche.
z
y x
0 1 2
2
2
Otteniamo allora che ZZZ
E
p 1
x2+y2dxdydz = ZZZ
T
⇢ d'd✓d⇢
essendo T ={(', ✓, ⇢) | ' 2 [0,⇡3], ✓2 [0, 2⇡], cos '1 ⇢ 2}. Integrando per fili, posto D = [0,⇡3]⇥[0, 2⇡], otteniamo
ZZZ
E
p 1
x2+y2dxdydz = ZZZ
T
⇢ d⇢d✓dz = ZZ
D
( Z 2
1 cos '
⇢ d⇢)d'd✓ = 12 ZZ
D
4 cos12'd'd✓
= ⇡ Z ⇡3
0
4 cos12'd' = ⇡ [4' tan ']
⇡ 3
0 = ⇡(43⇡ p 3)
11. Per calcolare il volume di E ={(x, y, z) 2 R3| 3(x2+ y2) z 1 + x2+ y2}, osserviamo che l’intersezione tra i paraboloidi z = 3(x2+ y2) e z = 1 + x2+ y2`e data da
(z = 3(x2+ y2) z = 1 + x2+ y2 ,
(x2+ y2=12 z = 32 Il dominio E risulta dunque dominio normale rispetto al piano xy con
E ={(x, y, z) | (x, y) 2 C, 3(x2+ y2) z 1 + x2+ y2} dove C = {(x, y) | x2+ y2 12} Dalle formule di riduzione otteniamo allora
µ(E) = ZZZ
E
dxdydz = ZZ
C
(
Z 1+x2+y2 3(x2+y2)
dz) dxdy = ZZ
C
1 + x2+ y2 3(x2+ y2) dxdy
e passando alle coordinate polari si ha
µ(E) = Z 2⇡
0
( Z p1
2 0
(1 + ⇢2 3⇢2)⇢ d⇢) d✓ = 2⇡
Z p1 2 0
⇢ 2⇢3d⇢ = 2⇡h
⇢2 2
⇢4 2
ip1 2 0 = ⇡4 In alternativa, osservato che E = E1[ E2 dove
E1={(x, y, z) | z 2 [0, 1], (x, y) 2 Dz} con Dz={(x, y) | x2+ y2 z3} e
E2={(x, y, z) | z 2 [1,32], (x, y)2 Cz} con Cz={(x, y) | z 1 x2+ y2 z3}, dalle formule di riduzione, integrando per strati, otteniamo
µ(E) = µ(E1) + µ(E2) = ZZZ
E1
dxdydz + ZZZ
E2
dxdydz
= Z 1
0
( ZZ
Dz
dxdy)dz + Z 32
1
( ZZ
Cz
dxdy)dz = ⇡ Z 1
0 z 3dz + ⇡
Z 32
1
(z3 z + 1) dz
= ⇡h
z2 6
i1 0+ ⇡h
z z32i32
1 =⇡4.
12. Determiniamo il volume del solido E = {(x, y, z) 2 R3| x2 + y2 z 2 p
x2+ y2}, ottenuto dall’intersezione del solido avente come frontiera il paraboloide x2+ y2 = z con il solido di frontiera il cono z = 2 p
x2+ y2. Abbiamo che l’intersezione del paraboloide con il cono `e data da (z = x2+ y2
z = 2 p
x2+ y2 ,
(x2+ y2= 1 z = 1 z
y x
0 1
1 1
E 2
Il dominio E risulta dunque dominio normale rispetto al piano (x, y) con E ={(x, y, z) | (x, y) 2 D, x2+ y2 z 2 p
x2+ y2} dove D = {(x, y) | x2+ y2 1}
Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora
µ(E) = ZZZ
E
dxdydz = ZZ
D
( Z 2 p
x2+y2
x2+y2
dz) dxdy = ZZ
D
2 p
x2+ y2 (x2+ y2) dxdy
e passando alle coordinate polari otteniamo
µ(E) = Z 2⇡
0
( Z 1
0
(2 ⇢ ⇢2)⇢ d⇢) d✓ = ... = 56⇡ In alternativa, osservato che E = E1[ E2 dove
E1={(x, y, z) | z 2 [0, 1], (x, y) 2 Dz} con Dz={(x, y) | x2+ y2 z}
e
E2={(x, y, z) | z 2 [1, 2], (x, y) 2 Bz} con Bz={(x, y) | x2+ y2 (2 z)2}, dalle formule di riduzione, integrando per strati, otteniamo
µ(E) = µ(E1) + µ(E2) = ZZZ
E1
dxdydz + ZZZ
E2
dxdydz
= Z 1
0
( ZZ
Dz
dxdy)dz + Z 2
1
( ZZ
Bz
dxdy)dz
= Z 1
0
µ(Dz) dz + Z 2
1
µ(Bz) dz = ⇡ Z 1
0
z dz + ⇡ Z 2
1
(2 z)2dz = ... = 56⇡.
13. Per calcolare il volume di E = {(x, y, z) 2 R3| x2+ y2+ z2 1, x2+ y2 32z}, integriamo per strati osservando che l’intersezione tra la sfera x2+ y2+ z2= 1 e il paraboloide x2+ y2=32z `e data da
(x2+ y2+ z2= 1 x2+ y2=32z ,
(x2+ y2= 34 z = 12 z
y x
0 1
1 2
1 E
Osserviamo poi che E = E1[ E2 dove
E1={(x, y, z) | z 2 [0,12], (x, y)2 Dz} con Dz={(x, y) | x2+ y232z} e
E2={(x, y, z) | z 2 [12, 1], (x, y)2 Bz} con Bz={(x, y) | x2+ y2 1 z2},
dalle formule di riduzione, otteniamo µ(E) = µ(E1) + µ(E2) =
ZZZ
E1
dxdydz + ZZZ
E2
dxdydz
= Z 12
0
( ZZ
Dz
dxdy)dz + Z 1
1 2
( ZZ
Bz
dxdy)dz
= Z 12
0
µ(Dz) dz + Z 1
1 2
µ(Bz) dz = ⇡ Z 12
0 3
2z dz + ⇡ Z 1
1 2
1 z2dz = ... = 1948⇡.
14. Calcoliamo il volume di E ottenuto dalla rotazione di D ={(x, z) 2 R2| |z| x, x2+ z2 x} attorno all’asse z di un angolo giro, usando il Teorema di Guldino. Abbiamo
µ(E) = µ(D)L( B) = µ(D)2⇡· xB= 2⇡
ZZ
D
x dxdy
Utilizziamo le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio, posto T ={(⇢, ✓) | ✓ 2 [ ⇡4,⇡4], 0 ⇢ cos ✓}, otteniamo
µ(E) = 2⇡
ZZ
T
⇢2cos ✓ d⇢d✓ = 2⇡
Z ⇡4
⇡ 4
( Z cos ✓
0
⇢2cos ✓ d⇢)d✓ =23⇡ Z ⇡4
⇡ 4
cos4✓ d✓ = ... = ⇡3+⇡82
dove per calcolare l’ultimo integrale possiamo osservare che cos4✓ = cos2✓ cos2✓ sin2✓ = cos2✓
1
4sin2(2✓).
15. Per determinare il baricentro del cono E ={(x, y, z) 2 R3| 0 z 1 p
x2+ y2} di densit`a di massa (x, y, z) = z dobbiamo innanzitutto calcolare la massa m(E) =RRR
Ez dxdydz. A tale scopo possiamo utilizzare le coordinate cilindriche. Posto T ={(⇢, ✓, z) | ✓ 2 [0, 2⇡], ⇢ 2 [0, 1], 0 z 1 ⇢} otteniamo
m(E) = ZZZ
E
z dxdydz = ZZZ
T
⇢z d⇢d✓dz = Z
[0,1]⇥[0,2⇡]
( Z 1 ⇢
0
⇢z dz) d⇢d✓
= 12 Z
[0,1]⇥[0,2⇡]
⇢3 2⇢2+ ⇢ d⇢d✓ = ⇡ Z 1
0
⇢3 2⇢2+ ⇢ d⇢ = ⇡h
⇢4 4
2⇢3 3 +⇢22i1
0= 12⇡ Per simmetria abbiamo poi che ascissa e ordinata del baricentro sono nulle, xB = yB= 0 mentre
zB= 12⇡ ZZZ
E
z2dxdydz = 12⇡ ZZZ
T
⇢z2d⇢d✓dz = 12⇡ Z
[0,1]⇥[0,2⇡]
( Z 1 ⇢
0
⇢z2dz) d⇢d✓
= 4⇡ ZZ
[0,1]⇥[0,2⇡]
⇢4+ 3⇢3 3⇢2+ ⇢ d⇢d✓ = 8h
⇢5
5 +3⇢44 ⇢3+⇢22i1 0= 25 quindi il baricentro ha coordinate (0, 0,25).
In alternativa, potremo integrare per fili, osservato che E = {(x, y, z) 2 R3 | (x, y) 2 D, 0 z
1 p
x2+ y2} dove D = {(x, y) 2 R3 | x2+ y2 1}. Utilizzando le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio otteniamo
m(E) = ZZZ
E
z dxdydz = ZZ
D
( Z 1 p
1 x2 y2
0
z dz)dxdy = 12 ZZ
D
(1 p
1 x2 y2)2dxdy
=12 ZZ
[0,1]⇥[0,2⇡]
(1 ⇢)2⇢ d⇢d✓ = ⇡ Z 1
0
⇢ 2⇢2+ ⇢3d⇢ = ... = 12⇡
e
zB= 12⇡ ZZZ
E
z2dxdydz = 12⇡ ZZ
D
( Z 1 p
1 x2 y2
0
z2dz)dxdy
= 4⇡ ZZ
D
(1 p
1 x2 y2)3dxdy =⇡4 ZZ
[0,1]⇥[0,2⇡]
(1 ⇢)3⇢ d⇢d✓
= 4⇡ ZZ
[0,1]⇥[0,2⇡]
(1 3⇢ + 3⇢2 ⇢3)⇢ d⇢d✓ = ... = 25
16. Osserviamo innanzitutto che l’intersezione tra il cono e il paraboloide `e data da (z = x2+ y2 5
z = 1 p
x2+ y2 ,
(x2+ y2= z + 5 z + 5 = (1 z)2 ,
(x2+ y2= 4 z = 1 Dunque E risulta dominio normale rispetto al piano xy con
E ={(x, y, z) | (x, y) 2 D, x2+ y2 5 z 1 p
x2+ y2} dove D = {(x, y) | x2+ y2 4}
Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora
µ(E) = ZZZ
E
dxdydz = ZZ
D
( Z 1 p
x2+y2
x2+y2 5
dz)dxdy = ZZ
D
6 p
x2+ y2 (x2+ y2)dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo
µ(E) = Z 2⇡
0
( Z 2
0
(6 ⇢ ⇢2)⇢d⇢)d✓ = 2⇡h
3⇢2 ⇢33 ⇢44i2 0= 323⇡ In alternativa, osservato che
E ={(x, y, z) | z 2 [ 5, 1], (x, y) 2 Dz}
dove Dz ={(x, y) | x2+ y2 5 + z} se z 2 [ 5, 1] e Dz ={(x, y) | x2+ y2 (1 z)2} se z 2 [ 1, 1], integrando per strati si ottiene
µ(E) = ZZZ
E
dxdydz = Z 1
5
( ZZ
Dz
dxdy)dz = Z 1
5
m(Dz) dz
= Z 1
5
⇡(5 + z)dz + Z 1
1
⇡(1 z)2dz = ⇡h
z z2+z33i1 1+ ⇡h
5z +z22i 1 5
= 323⇡
Dette (xB, yB, zB) le coordinate del baricentro, osserviamo che essendo il dominio simmetrico rispetto all’asse z e la densit`a di massa costante, risulta xB = yB= 0. Per determinare zB calcoliamo innanzitutto l’integrale I =RRR
Ezdxdydz. A tale scopo, procedendo come sopra, otteniamo I =
ZZ
D
( Z 1 p
x2+y2
x2+y2 5
z dz)dxdy =12 ZZ
D
(1 p
x2+ y2)2 (x2+ y2 5)2dxdy
= Z 2⇡
0
( Z 2
0
((1 ⇢)2 (⇢2 5)2)⇢ d⇢)d✓ = Z 2⇡
0
( Z 2
0
⇢5+ 11⇢3 2⇢2 24⇢ d⇢)d✓
= 2⇡h
⇢6
6 +11⇢44 2⇢33 12⇢2i2
0= 20⇡
o in alternativa I =
Z 1 5
( ZZ
Dz
zdxdy)dz = Z 1
5
⇡z(5 + z)dz + Z 1
1
⇡z(1 z)2dz = ... = 20⇡
Quindi
z0=µ(E)1 ZZZ
E
zdxdydz = 3220⇡
3 ⇡
= 158
17. Per determinare le coordinate del baricentro di E, delimitato dai paraboloidi z = x2+y2e z = 4 x2 y2, di densit`a di massa costante, osserviamo innanzitutto che l’intersezione tra i due paraboloidi `e data da
(z = x2+ y2
z = 4 x2 y2 ,
(z = 2 x2+ y2= 2 Dunque abbiamo E = E1[ E2 essendo
E1={(x, y, z) | z 2 [0, 2], (x, y) 2 Cz,} dove Cz={(x, y) | x2+ y2 z}
e
E2={(x, y, z) | z 2 [2, 4], (x, y) 2 Dz,} dove Dz={(x, y) | x2+ y2 4 z} Dalle formule di riduzione, integrando per strati, risulta allora
µ(E1) = ZZZ
E1
dxdydz = Z 2
0
( ZZ
Cz
dxdy)dz = ⇡ Z 2
0
zdz = ⇡h
z2 2
i2
0= 2⇡
e
µ(E2) = ZZZ
E2
dxdydz = Z 4
2
( ZZ
Dz
dxdy)dz = ⇡ Z 4
2
4 zdz = ⇡h
4z z22i4
2= 2⇡
Quindi µ(E) = µ(E1) + µ(E2) = 4⇡. In alternativa, osservato che
E ={(x, y, z) | (x, y) 2 C, x2+ y2 z 4 x2 y2} dove C = {(x, y) | x2+ y2 2}
integrando per fili si ottiene
µ(E) = ZZZ
E
dxdydz = ZZ
C
(
Z 4 x2 y2 x2+y2
dz)dxdy = 2 ZZ
C
2 x2 y2dxdy
da cui, passando alle coordinate polari,
µ(E) = 2 Z 2⇡
0
Z p2 0
(2 ⇢2)⇢ d⇢d✓ = 4⇡h
⇢2 ⇢44ip2
0 = 4⇡
Osservato che il solido `e simmetrico rispetto all’asse z e la densit`a di massa costante, dette (xB, yB, zB) le coordinate del baricentro, risulta xB = yB= 0. Mentre
zB= 4⇡1 ZZZ
E
z dxdydz
Procedendo come sopra, integrando per strati, si ottiene ZZZ
E
z dxdydz = ZZZ
E1
z dxdydz + ZZZ
E2
z dxdydz
= Z 2
0
( ZZ
Cz
z dxdy)dz + Z 4
2
( ZZ
Dz
z dxdy)dz
= ⇡ Z 2
0
z2dz + ⇡ Z 4
2
4z z2dz = 8⇡3 +16⇡3 = 8⇡
da cui zB = 2.
NOTA: la risoluzione dell’esercizio poteva semplificarsi osservando che il dominio risulta simmetrico rispetto al piano z = 2 e dunque osservando che per simmetria si ha µ(E1) = µ(E2) e zB= 2.
18. Il solido E ={(x, y, z) 2 R3| x2+y2 z 6 p
x2+ y2} di densit`a di massa costante, risulta simmetrico rispetto all’asse z. Poich´e la densit`a di massa `e costante si ha che, dette (xB, yB, zB) le coordinate del baricentro, risulta xB= yB = 0 mentre
zB= µ(E)1 ZZZ
E
z dxdydz dove µ(E) = ZZZ
E
dxdydz
Per calcolare tali integrali, osserviamo innanzitutto che l’intersezione del cono z = 6 p
x2+ y2 con il paraboloide z = x2+ y2 `e data da
(z = 6 p x2+ y2 z = x2+ y2 ,
(x2+ y2= 4 z = 4 Dunque E risulta dominio normale rispetto al piano xy con
E ={(x, y, z) | (x, y) 2 D, x2+ y2 z 6 p
x2+ y2} dove D = {(x, y) | x2+ y2 4}
Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora
µ(E) = ZZZ
E
dxdydz = ZZ
D
( Z 6 p
x2+y2
x2+y2
dz)dxdy = ZZ
D
6 p
x2+ y2 x2 y2dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo
µ(E) = Z 2⇡
0
( Z 2
0
(6 ⇢ ⇢2)⇢d⇢)d✓ = 2⇡h
3⇢2 ⇢33 ⇢44i2 0= 323⇡ Quindi
zB= 32⇡3 ZZZ
E
z dxdydz = 32⇡3 ZZ
D
( Z 6 p
x2+y2
x2+y2
z dz)dxdy
= 64⇡3 ZZ
D
(6 p
x2+ y2)2 (x2+ y2)2dxdy
= 64⇡3 Z 2⇡
0
( Z 2
0
((6 ⇢)2 ⇢4)⇢d⇢)d✓ = 323 h
18⇢2 4⇢3+⇢44 ⇢66i2 0= 258 In alternativa, osservato che
E ={(x, y, z) | z 2 [0, 6], (x, y) 2 Dz}
dove Dz ={(x, y) | x2+ y2 z} se z 2 [0, 4] e Dz={(x, y) |p
x2+ y2 6 z} se z 2 [4, 6], integrando per strati si ottiene
µ(E) = ZZZ
E
dxdydz = Z 6
0
( ZZ
Dz
dxdy)dz = Z 6
0
µ(Dz) dz
= Z 4
0
⇡zdz + Z 6
4
⇡(6 z)2dz = 8⇡ + ⇡h
36z 6z2+z33i6 4=323⇡ e quindi
zB =32⇡3 ZZZ
E
z dxdydz = 32⇡3 Z 6
0
( ZZ
Dz
z dxdy)dz = 32⇡3 Z 6
0
zm(Dz) dz
=32⇡3 Z 4
0
⇡z2dz + 32⇡3 Z 6
4
⇡z(6 z)2dz = 2 +323 h
18z2 4z3+z44i6 4= 258
19. Determiniamo le coordinate del baricentro di E = {(x, y, z) 2 R3| 1 x2+ y2 z 2} di densit`a di massa (x, y, z) = z. Osservato che il solido `e simmetrico rispetto all’asse z e che la densit`a di massa dipende solo dalla variabile z, dette (xB, yB, zB) le coordinate del baricentro, risulta xB = yB = 0.
Mentre
zB =m(E)1 ZZZ
D
z2dxdydz dove m(E) = ZZZ
E
z dxdydz
Per calcolare tali integrali osserviamo innanzitutto che l’intersezione del cilindro x2 + y2 = 1 con il paraboloide z = x2+ y2 `e data da (
x2+ y2= 1 z = 1
Dunque E risulta dominio normale rispetto al piano xy con
E ={(x, y, z) | (x, y) 2 C, x2+ y2 z 2} dove C = {(x, y) | 1 x2+ y2 2}
Dalle formule di riduzione risulta allora m(E) =
ZZZ
E
z dxdydz = ZZ
C
( Z 2
x2+y2
z dz)dxdy = 12 ZZ
C
4 (x2+ y2)2dxdy
e passando alle coordinate polari otteniamo
m(E) = 12 Z 2⇡
0
( Z p2
1
(4 ⇢4)⇢d⇢)d✓ = ⇡h
2⇢2 ⇢66ip2 1 =56⇡ Quindi
zB= 5⇡6 ZZZ
E
z2dxdydz = 5⇡6 ZZ
C
( Z 2
x2+y2
z2dz)dxdy = 5⇡2 ZZ
C
8 (x2+ y2)3dxdy
= 5⇡2 Z 2⇡
0
( Z p2
1
(8 ⇢6)⇢ d⇢)d✓ = 45h
4⇢2 ⇢88ip2 1 =1710 In alternativa, osservato che
E ={(x, y, z) | z 2 [1, 2], (x, y) 2 Cz} dove Cz={(x, y) | 1 x2+ y2 z}
si ottiene
m(E) = ZZZ
E
z dxdydz = Z 2
1
( ZZ
Cz
dxdy)zdz = Z 2
1
zm(Cz) dz
= Z 2
1
⇡z(z 1)dz = ⇡h
z3 3
z2 2
i2 1= 56⇡ e quindi
zB= 5⇡6 ZZZ
E
z2dxdydz = 5⇡6 Z 2
1
( ZZ
Cz
dxdy)z2dz = Z 2
1
z2m(Cz) dz
= 5⇡6 Z 2
1
⇡z2(z 1)dz = 65h
z4 4
z3 3
i2 1= 1710 20. Calcoliamo il baricentro di E = {(x, y, z) 2 R3| 1 p
x2+ y2 4 z, z 0} di densit`a di massa (x, y, z) = z. Il dominio E risulta dominio normale rispetto al piano xy con
E ={(x, y, z) | (x, y) 2 C, 0 z 4 p
x2+ y2} dove C = {(x, y) | 1 p
x2+ y2 4}
Dalle formule di riduzione, integrando per fili, avremo
m(E) = ZZZ
E
z dxdydz = ZZ
C
( Z 4 p
x2+y2
0
z dz) dxdy = ZZ
C 1 2(4 p
x2+ y2)2dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo
m(E) = 12 Z 2⇡
0
( Z 4
1
⇢(4 ⇢)2d⇢) d✓ = ⇡ cos ✓d Z 4
1
⇢(⇢2 8⇢ + 16) d⇢
= ⇡h
8⇢2 83⇢3+⇢44i4 1= 634⇡
In alternativa, osservato che l’intersezione tra il cilindro x2+ y2= 1 ed il conop
x2+ y2= 4 z `e data
da (
x2+ y2= 1
px2+ y2= 4 z ,
(x2+ y2= 1 z = 3 potremo scrivere
E ={(x, y, z) | z 2 [0, 3], (x, y) 2 Cz} dove Cz={(x, y) | 1 p
x2+ y2 4 z} Dalle formule di riduzione, integrando per strati, si ottiene allora
m(E) = ZZZ
E
z dxdydz = Z 3
0
( ZZ
Cz
z dxdy)dz = ⇡ Z 3
0
z((4 z)2 1) dz
= ⇡ Z 3
0
z(15 8z + z2) dz = ⇡h
15
2z2 8z33 +z44i3 0= 634⇡
Per quanto riguarda le coordinate (xB, yB, zB) del baricentro, osserviamo che per simmetria del dominio e della densit`a di massa risulta xB= yB= 0 mentre
zB =m(E)1 ZZZ
E
z2dxdydz = 63⇡4 ZZZ
E
z2dxdydz e procedendo come sopra si ottiene zB =4835.