Spazi vettoriali 17/11
Riassunto
Uno spazio vettoriale consiste in
• un campo F di numeri (in cui esistono elementi 0, 1, la somma, il prodotto, e divisione come in R ). Di solito F = R, ma Q , C, Z2= {0, 1} sono tutti campi, Z no.
• un insieme V di elementi che si comportano come vettori in Rn, nel senso che ci sono le solite due operazioni
u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V , λ ∈ F , v ∈ V =⇒ λv ∈ V ,
che soddisfano varie regole che ci permettono di gestire le parentesi e l’ordine in cui facciamo le due operazioni. In particolare, esiste sempre un vettore nullo 0 in V tale che 0v = 0, mentre 1v = v, per ogni v ∈ V .
In uno spazio vettoriale V , è possibile parlare di vettori LI e CL di vettori, e cercare delle basi, come in Rn. Vedremo che, avendo una base {v1, . . . , vn}, qualsiasi altra base avrà n elementi, e questo numero è la dimensione di V .
Rn, R1,n, Rn,1 sono essenzialmente uguali con dimensione n, e sono stati già trattati come spazi vettoriali con F = R. Altri esempi: l’insieme Rm,n delle matrici m × n ha dimensione mn e l’insieme Rk[x] dei polinomi di grado massimo k ha dimensione k + 1.
Avendo uno spazio vettoriale V , qualsiasi sottospazio U di V (cioè, un sottoinsieme chiuso relativo alla somma e il pro- dotto con F ) è automaticamente un altro spazio vettoriale, con le stesse operazioni di V . Vedremo che dim U à dim V .
Geometria 05BCG – Parte II
Algebra lineare in astratto
Spazi vettoriali in generale, concetti di LI, CL, base Applicazioni lineari f : V → W tra SV, ker f e Im f Sottospazi, le dimensioni di U ∩ W , U + W
Autovettori di matrici quadrate
L’equazione matriciale AX = λX, cioè (A − λI)X = 0 Polinomio caratteristico, le radici sono gli autovalori λ Autospazi Vλ ⊂ Rn, diagonalizzazione P−1AP = D ?
Geometria Analitica
Forme quadratiche, matrici ortogonali e rotazioni Coniche in R2, forma canonica di ellissi e iperboli Quadriche in R3, ellissoidi, iperboloidi, paraboloidi
