A.A. 2015/2016 Corso di Elementi di Calcolo delle Variazioni

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A.A. 2015/2016

Corso di Elementi di Calcolo delle Variazioni

Stampato integrale delle lezioni

Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 01. Illustrazione mediante esempi banali del programma del corso. Funzionali integrali. Funzionali di cui non si parler`a nel corso. . . 7 Lezione 02. Metodo indiretto nel calcolo delle variazioni: derivate di funzionali lun-

go curve. Primo esempio di applicazione del metodo indiretto. Esempio di non esistenza del minimo. . . 11 Lezione 03. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni: dimostrazione e discus-

sione di possibili varianti. Caso delle funzioni test a media nulla (Lemma di Du Bois Reymond). Esempio di problema di minimo con vincolo integrale. . . 15 Lezione 04. Nascita delle condizioni al bordo per le equazioni di Eulero: condizioni di

Dirichlet, di Neumann e periodiche. . . 20 Lezione 05. Minimizzazione di un funzionale con integranda dipendente dalla sola

derivata: esistenza/unicit`a nei casi convesso e strettamente convesso. . . 25 Lezione 06. Minimizzazione di un funzionale con integranda dipendente dalla sola

derivata: caso del doppio pozzo. Lemma trivial (condizione sufficiente per la minimalit`a mediante funzionale ausiliario). Derivazione dell’equazione di Eulero con integranda generale. . . 29 Lezione 07. Equazione di Eulero in forma classica, in forma DBR (integrata), in forma

Erdmann (per il caso autonomo). Generalizzazione a funzionali dipendenti da pi`u funzioni o da derivate successive. Condizione sufficiente per essere un minimo via convessit`a. . . 33 Lezione 08. Esempi di studio di funzionali mediante metodo indiretto. . . 38 Lezione 09. Introduzione al metodo diretto: teorema di Weierstrass e generalizzazione

in uno spazio con una nozione di convergenza. Road map del metodo diretto:

formulazione debole, semicontinuità, compattezza, regolarità. Continuità forte della norma in uno spazio di Hilbert. . . 42 Lezione 10. Basi Hilbertiane e relative componenti. Non compattezza forte delle palle

negli spazi di Hilbert di dimensione infinita. Definizione di convergenza debole e prime propriet`a. Accenno alla limitatezza delle successioni debolmente convergenti. 47 Lezione 11. Convergenza debole vs convergenza delle componenti rispetto ad una

base Hilbertiana. Compattezza debole delle palle negli spazi di Hilbert separabili.

Semicontinuit`a debole della norma. . . 52 Lezione 12. Ripasso di fatti noti sulla misura di Lebesgue e gli spazi di Lebesgue.

Derivata debole (definizione W). Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni in versione Lebesgue e unicit`a della derivata debole. . . 57

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Lezione 13. Derivate deboli e spazi di Sobolev in dimensione uno (definizione W vs definizione H). Dimostrazione che H `e contenuto in W. Le funzioni negli spazi di Sobolev sono l’integrale della propria derivata. . . 62 Lezione 14. Holderianit`a delle funzioni negli spazi di Sobolev. Definizione H e conver-

genza uniforme. Idea della dimostrazione che W `e contenuto in H. Derivate deboli e rapporti incrementali. . . 67 Lezione 15. Esempio classico di applicazione del metodo diretto nel calcolo delle varia-

zioni: formulazione debole, compattezza, semicontinuit`a, regolarit`a (passo iniziale e bootstrap). . . 71 Lezione 16. Casi semplici di teoremi di compattezza in spazi di funzioni (con limitazione

integrale sulla derivata e puntuale sulla funzione). Teoremi di semicontinuità per funzionali integrali (rispetto alla convergenza uniforme in ipotesi di (semi)continuità o alla convergenza debole in ipotesi di convessità). . . 76 Lezione 17. Esempio di studio di un’equazione differenziale del secondo ordine con

condizioni di Dirichlet passando per il problema variazionale associato: esistenza, unicità, regolarità. . . 81 Lezione 18. Esempio di non unicità per il problema di Dirichlet per un’equazione del

secondo ordine. Ruolo delle ipotesi di crescita nel dedurre limitazioni sulla derivata da limitazioni su un funzionale. . . 86 Lezione 19. Definizione di funzionale rilassato e prime propriet`a: l’inf nella definizione

`

e un minimo, il rilassato `e semicontinuo e coincide con l’inviluppo semicontinuo.

Definizione di recovery sequence. . . 90 Lezione 20. Inf/min di un funzionale (e relative successioni minimizzanti) vs inf/min

del rilassato. Stabilit`a del rilassato per perturbazioni continue. Lemma del sottoin- sieme denso in energia e suo ruolo nel calcolo di un rilassato. . . 96 Lezione 21. Lemma del denso in energia e disuguaglianze tra funzionali. Dimostrazione

alternativa della semicontinuit`a del rilassato. Estensione per rilassamento di un funzionale ad un ambiente pi`u generale: definizione ed esempi classici. . . 101 Lezione 22. Definizione di Gamma-convergenza in spazi metrici. Semplici esempi sulla

retta reale. Collegamenti con la convergenza puntuale ed il rilassamento. Gamma- liminf e Gamma-limsup. Primo enunciato di convergenza di minimi. . . 107 Lezione 23. Gli inf nella definizione di Gamma-liminf e Gamma-limsup sono min (enun-

ciato). Gamma-liminf e Gamma-limsup sono semicontinui inferiormente (enuncia- to). Convergenza di minimi e punti di minimo per successioni equicoercive. Lemma delle successioni a due indici. . . 112 Lezione 24. Dimostrazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange mediante pe-

nalizzazione del vincolo e sua interpretazione in termini di Gamma-convergenza.

Esempio di studio asintotico di una famiglia parametrica di problemi di minimo. . 117 Lezione 25. Definizioni di punto di minimo: locale direzionale (DML), locale debole

(WLM), locale forte (SLM), globale (GM). Esempio di WLM che non `e SLM.

Eccesso di Weiertrass e condizione necessaria di Weiertrass per un SLM. . . 121

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Lezione 26. Calcolo della variazione seconda di un funzionale integrale. Condizioni necessarie affinch´e un funzionale quadratico sia semidefinito positivo: Legendre e Jacobi. Punti coniugati. . . 126 Lezione 27. Condizioni sufficienti affinch´e un funzionale quadratico sia semidefinito

positivo: condizioni di Legendre e Jacobi rinforzate. . . 130 Lezione 28. Le condizioni sufficienti implicano la stretta positivit`a di un funzionale

quadratico. Funzionali integrali generali: condizioni necessarie per essere (DLM) e sufficienti per essere (WLM). . . 135 Lezione 29. Minimalit`a via calibrazioni (verification functions): esempi motivazionali

e teorema generale. Calibrazione mediante la value function. . . 141 Lezione 30. Interpretazione in termini di calibrazione della minimalit`a via convessit`a

e del caso dei funzionali quadratici. Enunciato della condizione di Weierstrass rinforzata. Campi di estremali e dimostrazione alla Hilbert (via calibrazione) della formula di Weierstrass. . . 146 Lezione 31. La formula di Weierstrass implica la minimalit`a se vale la condizione di

Weierstrass rinforzata. Dimostrazione alla Weierstrass della formula di Weierstrass. 150 Lezione 32. Idea della dimostrazione dell’imbedding theorem (esistenza di un campo di

estremali). Gli estremali sono minimi su intervalli sufficientemente piccoli (se l’integranda `e convessa nella derivata). Riassunto delle condizioni necessarie/sufficienti. 154 Lezione 33. Moltiplicatori di Lagrange nel calcolo delle variazioni: dimostrazione via

teorema del Dini in dimensione due. Esempi semplici di applicazione. . . 159 Lezione 34. Calcolo delle variazioni in pi`u variabili: integrale di Dirichlet e Laplacia-

no, equazione di Eulero in forma di divergenza, derivata normale e condizioni di Neumann, esempi di equazioni ellittiche semilineari viste come equazioni di Eulero. 164 Lezione 35. Esempio motivazionale di studio di un funzionale con crescita non quadra-

tica nella derivata. Convergenza debole in spazi Lp. . . 168 Lezione 36. Esempi di teoremi di semicontinuit`a e compattezza sotto ipotesi di crescita

e/o convessit`a rispetto alla derivata. . . 173 Lezione 37. Estensione per rilassamento di funzionali convessi ad ambienti meno rego-

lari. Lemma di densit`a in energia delle funzioni affini a tratti. Patologie generate dal rilassamento di funzionali senza ipotesi di crescita superlineare. . . 178 Lezione 38. Convessificata di una funzione reale e suo ruolo nel calcolo del rilassato di

un funzionale dipendente dalla sola derivata in ipotesi di crescita superlineare. . . 182 Lezione 39. Esempi classici: geodetiche nel piano, sul cilindro e sulla sfera, con relative

calibrazioni. Accenno al fatto che le curve che minimizzano l’integrale di Dirichlet sono geodetiche. . . 186 Lezione 40. Esempi classici: problemi con ostacolo sulla funzione o sulla derivata.

Condizioni al bordo per problemi point-to-curve (transversality). Continuit`a della derivata nei punti di contatto con l’ostacolo (sotto ipotesi di convessit`a). . . 191 Lezione 41. Esempi di Gamma-convergenza: problemi con parametri piccoli che indu-

cono effetti di linearizzazione. . . 196

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Lezione 42. Esempi di Gamma-convergenza: passaggio dal discreto al continuo (dal rapporto incrementale alla derivata). . . 201 Lezione 43. Problema classico: la brachistocrona (modello, equazione di Eulero, cicloi-

di, esistenza/unicit`a della cicloide che parte da un punto dato e passa per un altro punto assegnato). . . 206 Lezione 44. Continuazione sulla brachistocrona (minimalit`a via campi di estremali e

via convessit`a). Minimalit`a per problemi vincolati. Problema classico: grafico di lunghezza minima che sottende un’area assegnata. . . 211 Lezione 45. Problema classico: superficie di rotazione di area minima (equazione di

Eulero, discussione di esistenza/unicit`a delle soluzioni, studio pi`u fine in un caso speciale simmetrico, accenno a cosa accade quando mancano le soluzioni classiche). 216 Lezione 46. Problema classico: heavy chain (formulazione parametrica e non parame-

trica, equazione di Eulero, soluzione dell’equazione in un caso speciale simmetrico, esistenza per il problema parametrico via rilassamento e saturazione del vincolo, approssimazione per Gamma-convergenza). . . 221 Lezione 47. Esempi di Gamma-convergenza: problemi di omogenizzazione, sia sulla

funzione (via convergenza uniforme), sia sulla derivata (via problema di cella). . . 225 Lezione 48. Esempi di Gamma-convergenza: funzionale di Modica-Mortola in di-

mensione uno: studio asintotico del valore del minimo e del profilo ottimale di transizione. . . 230

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