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Calcolo delle variazioni

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Academic year: 2021

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(1)

Calcolo delle variazioni

Modellistica e Ottimizzazione di Sistemi e Processi Energetici

K.D. Bizon

(2)

Ottimizzazione in spazi funzionali:

il calcolo variazionale

• Si può generalizzare il concetto di ottimizzazione, costruendo un

cosiddetto funzionale, ossia un’espressione a valori in  , l’equivalente concettuale della funzione obiettivo, che dipende non più da un certo numero di parametri di progetto, ma da una o più funzioni incognite.

• Tali funzionali possono per esempio essere formulati come integrali che coinvolgono una funzione incognita e le sue derivate. L’interesse è per le funzioni estremali: quelle cioè che rendono massimo o minimo il valore del funzionale.

• Come per i problemi di minimizzazione in spazi a dimensione finita, anche in quest’ambito esistono condizioni necessarie per l’esistenza di estremi, che corrispondono a una condizione di stazionarietà per il funzionale.

L’analisi delle piccole variazioni attorno ad una presunta soluzione porta a una condizione necessaria del primo ordine.

(3)

I problemi classici di calcolo delle variazioni

• Tra i grandi problemi passati alla storia della matematica, vale la pena

citarne alcuni, oltreché per il loro interesse soprattutto geometrico e fisico, per il ruolo che hanno avuto nello sviluppo del calcolo delle variazioni.

• Nel problema isoperimetrico ci si chiede quale figura piana o spaziale renda massima l’area o il volume, a seconda della dimensione, a parità di perimetro o di area della superficie che lo racchiude.

• Un altro problema interessante è quello della ricerca delle geodetiche di una superficie, che sono le curve di minima lunghezza, di estremi

assegnati e giacenti su di essa. Per la sfera le soluzioni sono gli archi di cerchio massimo.

• Il celebre problema della brachistocrona venne posto nel 1696 da Jean Bernoulli. Si tratta della traiettoria prestabilita liscia lungo la quale deve scivolare un punto materiale pesante, con posizioni iniziale e finale

assegnate, affinché il tempo impiegato per la discesa sia minimo.

(4)

Rampa/galleria più veloce

(5)

Problema isoperimetrico

Massimo volume a parità di area di superficie Massima area a parità di perimetro

(6)

Geodetiche di una superficie

Geodetica è una particolare curva che descrive localmente la traiettoria più breve fra punti di un particolare spazio

(7)

Problema della brachistocrona

(8)

Calcolo delle variazioni

• Lo strumento chiave del calcolo delle variazioni classico è l’equazione di Eulero-Lagrange.

• Nella sua forma più semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel minimizzare il cosiddetto integrale d'azione:

al variare della funzione y (x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni y (x1) = y1 ed y (x2) = y2 . Si cerca dunque una funzione

y = y (x) (x1  x  x2 )

che collega i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e che minimizza l'integrale d'azione I .

2 1

x , ,

I x f x y y dx

(9)

Calcolo delle variazioni

Nella sua forma più semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel minimizzare il cosiddetto integrale d'azione:

al variare della funzione y(x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni:

y (x1) = y1 ; y(x2) = y2 .

Questo appena enunciato si chiama problema fondamentale del calcolo delle variazioni. Si cerca dunque una funzione

y = y(x) , (x1  x  x2 )

che collega i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e che minimizza l'integrale I .

2 1

x , ,

I x f x y y dx

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Supponiamo che f sia di classe C1 nelle tre variabili x, y ed y´, e

consideriamo le due funzioni y(x) ed Y(x) = y(x)  (x) , entrambe passanti per i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), dove è un parametro.

Poiché y(x1) = Y(x1) ed y(x2) = Y(x2) , allora (x1) = (x2) = 0 ; per il resto, la funzione (x) è arbitraria.

Il termine (x) rappresenta la variazione di y(x). Noi vogliamo determinare quella y(x) per la quale il funzionale I ha un estremo

relativo, e dunque quella y(x) che, comunque perturbata dalla variazione

(x), con piccolo, lascia stazionario il valore del funzionale:

  2

1

, ,

x

I I x f x y  y dx

Calcolo delle variazioni:

l’equazione di Eulero-Lagrange

(11)

Calcoliamo quindi la derivata rispetto ad del funzionale I . Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha:

Scomponiamo l’integrale in somma di integrali ed integriamo il secondo per parti:

2 1

x x

I f f

y y dx

2 2 2

1 1 1

2

2 2

1 1

1

x x x

x x x

x x x

x x

x

f f f f

dx dx dx

y y y y

f d f f

dx dx

y dx y y

  

 

Calcolo delle variazioni:

l’equazione di Eulero-Lagrange

(12)

Calcolo delle variazioni:

l’equazione di Eulero-Lagrange

Poiché (x1) = (x2) = 0, l’integrale del fattore finito si annulla e dunque, portando a fattor comune, si ha:

Dato che (x) è una funzione arbitraria, l’integrale è nullo se e solo se è identicamente nulla la quantità in parentesi. Di conseguenza, la derivata rispetto ad del funzionale I si annulla se e solo se y(x) è soluzione dell’equazione (detta di Eulero-Lagrange):

2 1

x x

I f d f

y dx y dx

(13)

Calcolo delle variazioni:

l’identità di Beltrami

Se la funzione f è esplicitamente indipendente da x, si può dimostrare che la soluzione del problema variazionale soddisfa una forma particolare

dell’equazione di Eulero-Lagrange, detta Identità di Beltrami:

dove C è una costante.

(14)

Esempio 1: percorso più corto (1)

(15)

Esempio 1: percorso più corto (2)

(16)

Esempio 1: percorso più corto (3)

(17)

Esempio 2: problema della brachistocrona (1)

(18)

Esempio 2: problema della brachistocrona (2)

(19)

Esempio 2: problema della brachistocrona (3)

(20)

Esempio 2: problema della brachistocrona (4)

(21)

Esempio 2: problema della brachistocrona (5)

(22)

Esempio 2: problema della brachistocrona (8)

(23)

Esempio 2: problema della brachistocrona (7)

(24)

Esempio 3: galleria più veloce

(25)

Problema isoperimetrico (1)

(26)

Problema isoperimetrico (2)

(27)

Esempio 5: cavo sospeso (1)

(28)

Esempio 5: cavo sospeso (2)

(29)

Esempio 5: cavo sospeso (3)

(30)

Metodi numerici

• Metodo di Eulero

• Metodo di Ritz

• Metodo di Kantorowicz (per più variabili)

(31)

Metodo di Ritz (1)

(32)

Metodo di Ritz (2)

(33)

Metodo di Ritz (3)

(34)

Metodo di Ritz: esempio (1)

(35)

Metodo di Ritz: esempio (2)

(36)

Metodo di Ritz: esempio (3)

(37)

Metodo di Eulero (1)

(38)

Metodo di Eulero (1)

(39)

Metodo di Eulero (3)

(40)

Metodo di Eulero: esempio (1)

(41)

Metodo di Eulero: esempio (2)

(42)

Metodo di Eulero: esempio (3)

(43)

Metodo di Eulero: esempio (4)

(44)

Metodo di Eulero: esempio (5)

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