Calcolo delle variazioni
Modellistica e Ottimizzazione di Sistemi e Processi Energetici
K.D. Bizon
Ottimizzazione in spazi funzionali:
il calcolo variazionale
• Si può generalizzare il concetto di ottimizzazione, costruendo un
cosiddetto funzionale, ossia un’espressione a valori in , l’equivalente concettuale della funzione obiettivo, che dipende non più da un certo numero di parametri di progetto, ma da una o più funzioni incognite.
• Tali funzionali possono per esempio essere formulati come integrali che coinvolgono una funzione incognita e le sue derivate. L’interesse è per le funzioni estremali: quelle cioè che rendono massimo o minimo il valore del funzionale.
• Come per i problemi di minimizzazione in spazi a dimensione finita, anche in quest’ambito esistono condizioni necessarie per l’esistenza di estremi, che corrispondono a una condizione di stazionarietà per il funzionale.
L’analisi delle piccole variazioni attorno ad una presunta soluzione porta a una condizione necessaria del primo ordine.
I problemi classici di calcolo delle variazioni
• Tra i grandi problemi passati alla storia della matematica, vale la pena
citarne alcuni, oltreché per il loro interesse soprattutto geometrico e fisico, per il ruolo che hanno avuto nello sviluppo del calcolo delle variazioni.
• Nel problema isoperimetrico ci si chiede quale figura piana o spaziale renda massima l’area o il volume, a seconda della dimensione, a parità di perimetro o di area della superficie che lo racchiude.
• Un altro problema interessante è quello della ricerca delle geodetiche di una superficie, che sono le curve di minima lunghezza, di estremi
assegnati e giacenti su di essa. Per la sfera le soluzioni sono gli archi di cerchio massimo.
• Il celebre problema della brachistocrona venne posto nel 1696 da Jean Bernoulli. Si tratta della traiettoria prestabilita liscia lungo la quale deve scivolare un punto materiale pesante, con posizioni iniziale e finale
assegnate, affinché il tempo impiegato per la discesa sia minimo.
Rampa/galleria più veloce
Problema isoperimetrico
Massimo volume a parità di area di superficie Massima area a parità di perimetro
Geodetiche di una superficie
Geodetica è una particolare curva che descrive localmente la traiettoria più breve fra punti di un particolare spazio
Problema della brachistocrona
Calcolo delle variazioni
• Lo strumento chiave del calcolo delle variazioni classico è l’equazione di Eulero-Lagrange.
• Nella sua forma più semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel minimizzare il cosiddetto integrale d'azione:
al variare della funzione y (x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni y (x1) = y1 ed y (x2) = y2 . Si cerca dunque una funzione
y = y (x) (x1 x x2 )
che collega i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e che minimizza l'integrale d'azione I .
2 1
x , ,
I x f x y y dx
Calcolo delle variazioni
Nella sua forma più semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel minimizzare il cosiddetto integrale d'azione:
al variare della funzione y(x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni:
y (x1) = y1 ; y(x2) = y2 .
Questo appena enunciato si chiama problema fondamentale del calcolo delle variazioni. Si cerca dunque una funzione
y = y(x) , (x1 x x2 )
che collega i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e che minimizza l'integrale I .
2 1
x , ,
I x f x y y dx
Supponiamo che f sia di classe C1 nelle tre variabili x, y ed y´, e
consideriamo le due funzioni y(x) ed Y(x) = y(x) (x) , entrambe passanti per i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), dove è un parametro.
Poiché y(x1) = Y(x1) ed y(x2) = Y(x2) , allora (x1) = (x2) = 0 ; per il resto, la funzione (x) è arbitraria.
Il termine (x) rappresenta la variazione di y(x). Noi vogliamo determinare quella y(x) per la quale il funzionale I ha un estremo
relativo, e dunque quella y(x) che, comunque perturbata dalla variazione
(x), con piccolo, lascia stazionario il valore del funzionale:
2
1
, ,
x
I I x f x y y dx
Calcolo delle variazioni:
l’equazione di Eulero-Lagrange
Calcoliamo quindi la derivata rispetto ad del funzionale I . Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha:
Scomponiamo l’integrale in somma di integrali ed integriamo il secondo per parti:
2 1
x x
I f f
y y dx
2 2 2
1 1 1
2
2 2
1 1
1
x x x
x x x
x x x
x x
x
f f f f
dx dx dx
y y y y
f d f f
dx dx
y dx y y
Calcolo delle variazioni:
l’equazione di Eulero-Lagrange
Calcolo delle variazioni:
l’equazione di Eulero-Lagrange
Poiché (x1) = (x2) = 0, l’integrale del fattore finito si annulla e dunque, portando a fattor comune, si ha:
Dato che (x) è una funzione arbitraria, l’integrale è nullo se e solo se è identicamente nulla la quantità in parentesi. Di conseguenza, la derivata rispetto ad del funzionale I si annulla se e solo se y(x) è soluzione dell’equazione (detta di Eulero-Lagrange):
2 1
x x
I f d f
y dx y dx
Calcolo delle variazioni:
l’identità di Beltrami
Se la funzione f è esplicitamente indipendente da x, si può dimostrare che la soluzione del problema variazionale soddisfa una forma particolare
dell’equazione di Eulero-Lagrange, detta Identità di Beltrami:
dove C è una costante.
Esempio 1: percorso più corto (1)
Esempio 1: percorso più corto (2)
Esempio 1: percorso più corto (3)
Esempio 2: problema della brachistocrona (1)
Esempio 2: problema della brachistocrona (2)
Esempio 2: problema della brachistocrona (3)
Esempio 2: problema della brachistocrona (4)
Esempio 2: problema della brachistocrona (5)
Esempio 2: problema della brachistocrona (8)
Esempio 2: problema della brachistocrona (7)
Esempio 3: galleria più veloce
Problema isoperimetrico (1)
Problema isoperimetrico (2)
Esempio 5: cavo sospeso (1)
Esempio 5: cavo sospeso (2)
Esempio 5: cavo sospeso (3)
Metodi numerici
• Metodo di Eulero
• Metodo di Ritz
• Metodo di Kantorowicz (per più variabili)