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Analisi Matematica 1, Scritto l-C. Durata della prova: 2 ore 15.5.09

Cognome: N ome: .

Matricola: Corso di Laurea: rr=-o:-r-r~-'"

DI

Domanda 1

EI

D2

(i) Dare la definizione di funzione integrabile secondo Riemann E2

ii) Enunciare il Teorema fondamentale del calcolo integrale

E3

E4

(i)

-p~ C: [~,hJ ~ {IL ~~\'kb.~~"\

P

E6

~"'f' f.s ^{t l', l'}

t

~ ~~ lf

J ~ ^l{--

(ii) ---.C~---

r:

Domanda 2

(i) Enunciare il Teorema di Fermat per una funzione

f :

(ii) Mostrare con un esempio che ilteorema precedente è solo una condizione necessaria

Risposta

(i)

S& ~~, ~Q) G fl e ~ pb. J"

-o

(ii)

'H~ ^ç.(

^{t~) - '1 \.}

l

:J -) ^~(

⁹

~

f\o,L:

[}( ~ ~--'---'-~{~:lf--~ ~--->.(

. ~h'VJ -

Esercizio 1

Ie;:;;):;';' "'\

Sia E~ {~~ ~O,1,2,3,4, ... }.Alba

~ supE

=

[3 punti]

lliJ

[ill

Risoluzione

.:::.-

Esercizio 2

L'integrale improprio fo^{1 .Jl~x2} dx •

J

~ diverge

~ è uguale a 7r/4

M

[ill

Risoluzione

r ~

s-: ( )

-~~-;:-_/t.

•.•...

~(!.) -~,;oj

Esercizio 3

Sia f: lR-7lR di classe C² tale che 1(-1) =f(O) =f(l), allora possiamo dedurne che

~ j'(x)

t-

lliJ

=

~ f

~ l'equazione j"(x) =Oha almeno una soluzione

-( )

<::, ,.

-1. - '-t:1

ç(c.,- ~o

Risoluzione

(o - ^j

^{pt 11-=-0}

-t -

( (::0

~P-~'~

Esercizio 4

&:-.Lt

Calcolare, se esiste, illimite

x-tllim

+

(x - 1)2

Risoluzione

~

-

-- ^-1.. _o

- ---

Esercizio 5

Trovare i punti critici di di f(x,y)

=

+

Risoluzione

p

h.' ~~ ~,

+

)

c ^{t,~) - -n ~ ~-+ t}

^o

=D ~-+ 1.) --- o ^-=Q

'i- --

,,

(

)

t f ~

(

t~~

---

~-

=:- - \-t

<.0

)

~o ~

r~, d;

> ^{- -}

Esercizio 6

Calcolare

re

II

Risoluzione

d.

~~--~--~~ ~--~

r

=-~ ^{~L r ~C{..) c.-Cl--__}

_ ~crtk ~ ^{~~X -:::-- ~} -= "--Ì--_L( 1-b

~_\ ~.(o) (

~

-a

- ^{- -}