Compito scritto di Analisi Matematica 2

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Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Compito scritto di Analisi Matematica 2

Pisa, 11 Gennaio 2000

1. Consideriamo il problema di Cauchy

u^′ = arctan(tu − 1), u(0) = α.

(a) Stabilire se per ogni α ≥ 0 la soluzione `e globale.

(b) Stabilire se esiste α ≥ 0 per cui la soluzione tende a +∞ per t → +∞.

(c) Stabilire se esiste α ≥ 0 per cui la soluzione tende a −∞ per t → +∞.

(d) Discutere l’esistenza e l’unicit`a di valori α ≥ 0 per cui la soluzione tende a 0 per t → +∞.

2. Sia

Eλ =(x, y, z) ∈ R³ : x²+ z² ≤ 2, x + y + z = λ . (a) Dimostrare che l’insieme Eλ `e limitato per ogni λ ∈ R.

(b) Nel caso particolare λ = 2, trovare il massimo ed il minimo della funzione “distanza dall’origine” su Eλ, ed i punti di Eλ che realizzano il massimo/minimo.

(c) Determinare, in funzione di λ ∈ R, il minimo della funzione “distanza dall’origine” su Eλ.

3. Sia A = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ y ≤ 4x − x²}.

(a) Calcolare

Z

A

|x − y| dx dy.

(b) Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare A intorno all’asse y.

(c) Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare A intorno all’asse x.

Corso di Analisi Matematica 2 – Compito scritto d’esame 2000 01

(2)

Compito scritto di Analisi Matematica 2

Pisa, 1^◦ Febbraio 2000

u^′ = log u²− t² , u(0) = α.

(a) Nel caso particolare α = 1/2, studiate l’esistenza globale della soluzione per t ≥ 0 e t ≤ 0.

(b) Mostrare che esiste α > 1 per cui la soluzione non `e globale per t ≥ 0, ma `e globale per t ≤ 0.

(c) Stabilire se esiste α > 1 per cui la soluzione `e globale.

2. Sia f (x, y, z) = x²+ y²− z², e siano

S = (x, y, z) ∈ R³ : x²+ y²+ z² = 1 , Aλ = (x, y, z) ∈ S : x ≥ 0, x + y²≤ λ² .

(a) Calcolare il massimo ed il minimo di f su S e trovare i punti di massimo/minimo.

(b) Determinare per quali valori del parametro λ ∈ R il minimo di f su A^λ vale

−1.

(c) Determinare il massimo di f su Aλ nel caso particolare λ = 1/2.

3. Consideriamo l’insieme Ω = {(x, y) ∈ R² : x²+ 4y² ≤ 16}, ed i campi E = x, y~ ² , F = x + e~ ^ysin y⁸, arctan y²+ sin(xy⁴) . (a) Calcolare

Z

Ω

|x| dx dy.

(b) Calcolare il lavoro compiuto dal campo ~E lungo una curva che percorra ∂Ω in senso antiorario.

(c) Calcolare il flusso del campo ~F uscente da ∂Ω.

(3)

Compito scritto di Analisi Matematica 2

Pisa, 15 Febbraio 2000

u^′ = u arctan (e^u− t) , u(0) = α.

(a) Nel caso particolare α = −2000, dimostrare che la soluzione `e globale e calcolarne i limiti per t → −∞ e t → +∞.

(b) Dimostrare che esiste α > 0 per cui la soluzione non `e monotona.

(c) Stabilire se esiste α > 0 per cui la soluzione `e globale e monotona.

2. Siano

f (x, y) = |xy²|

x²+ y²+ 1, D =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 3 .

(a) Calcolare estremo inferiore ed estremo superiore di f in D, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo e massimo. Calcolare anche gli eventuali punti di minimo/massimo.

(b) Stessa domanda al variare di (x, y) ∈ R². 3. Consideriamo il solido

Sr=(x, y, z) ∈ R³ : x²+ y²+ z² ≤ 4, z ≥ 0, x²+ y² ≥ r² , che assumiamo di densit`a costante.

(a) Calcolare il volume di S1.

(b) Calcolare l’area della superficie ∂S1.

(c) Trovare per quali valori del parametro r ∈ R il baricentro di Sr si trova nel punto (0, 0, 1/4).

(4)

Compito scritto di Analisi Matematica 2

Pisa, 30 Maggio 2000

u^′ = (t − 1)u + u⁴, u(0) = α.

(a) Nel caso particolare α = 2000, stabilire se la soluzione `e globale per t ≥ 0.

(b) Stessa domanda nel caso α = −2000.

(c) Stabilire per quali valori α ∈ R la soluzione `e limitata per t ≥ 0.

2. Siano

f (x, y) = (x²+ y²+ 1)e^−x²^−y², D =(x, y) ∈ R² : x²+ 2y² ≤ 1 . (a) Calcolare estremo inferiore ed estremo superiore di f in D, precisando se si

tratta, rispettivamente, di minimo e massimo. Calcolare anche gli eventuali punti di minimo/massimo.

(b) Stessa domanda al variare di (x, y) ∈ R². 3. Consideriamo l’insieme

A =(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x²+ y² ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x . (a) Calcolare le coordinate del baricentro di A.

(b) Calcolare il volume del solido S ottenuto ruotando A nello spazio attorno all’asse y.

(c) Calcolare l’area della superficie di S.