CAPITOLO 5

La struttura dell’atomo

CAPITOLO 5

La struttura dell’atomo

MODERN PHYSICS Third Edition By SERWAY/MOSES/MOYER Chapter 13. Nuclear Structure pag.464

13.1 up to pag. 469 13.2

13.3 13.4 13.5 13.6

Chapter 14. Nuclear Physics Application pag. 503 14.1

14.2

14.3

14.7

14.8

14.9

14.10

La struttura dell'atomo Esperimento di Rutherford

Particelle α vengono mandate contro un sottile foglio di oro

ϕ

Le particelle α che entrano in

collisione con il nucleo sono deviate

a grande angolo

La struttura dell'atomo Esperimento di Rutherford Se si assume una forza coulombiana

repulsiva fra la particella α ed il nucleo F = 9⋅10

(2e)(Ze) r

Si può ricavare il numero Δn di particelle α ad un angolo φ per unità di

tempo Δn ∝ 1

sen ⁴ ( ϕ ^{/ 2)}

I dati sperimentali sono in

accordo con le predizioni

del modello

La struttura dell'atomo Esperimento di Rutherford Prima stima della dimensione del nucleo atomico

Energia iniziale della particelle α 1

2 m _α v _α ²

Nel punto di massimo avvicinamento al nucleo, e nell’ipotesi che la particelle α perda tutta la sua energia

E _p = 9⋅10 ⁹ (2e)(Ze) d _min

Conservazione dell’energia 1

2 m _α v _α ² = 9⋅10 ⁹ (2e)(Ze) d _min

Particelle α di 8 MeV contro un foglio di alluminio

d _min = 5 10 ^-15 m

La struttura dell'atomo Esperimento di Rutherford

L’atomo è composto da un nucleo in cui sono concentrate carica positiva e massa

Gli elettroni occupano lo spazio vuoto intorno al nucleo e vi ruotano intorno come pianeti

Il numero di elettroni è tale da bilanciare la carica positiva del nucleo

Atomi diversi presentano diversa carica positiva, quindi contengono un diverso numero di protoni.

Il numero di protoni presenti nel nucleo di un atomo è detto numero atomico (Z)

Poiché l’atomo è neutro, il numero di elettroni è uguale al numero dei protoni.

La struttura dell'atomo Spettroscopia

Analisi degli spettri di emissione. La radiazione luminosa emessa da alcune sostanze viene analizzata con apparati di interferenza

La radiazione luminosa viene emessa solo per alcune lunghezze d’onda che variano da sostanza a sostanza

Inoltre le linee sembrano seguire alcune regole

Serie di Balmer 1

λ ^{= R}

1

2 ^{2 2} − 1 n ²

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ , n = 3, 4, 5...

La struttura dell'atomo Spettroscopia

Vengono individuate varie serie di linee

1

λ ^{= R}

1

n ² _f − 1 n _i ²

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

n _i = n _f +1, n _f + 2,....

R = 1.097⋅10 ^-7 m ⁻¹

La struttura dell'atomo L’atomo di Bohr

Gli elettroni si muovono su orbite circolari sotto l’influenza della forza elettrica di attrazione.

Solo alcune orbite sono possibili. In questi stati stazionari, ad energia fissata, l’elettrone non emette radiazione anche se accelerato.

Quando un elettrone passa da uno stato stazionario E _i ad un altro di energia più bassa E _f viene emessa una radiazione di frequenza

E _i − E _f = hf

La struttura dell'atomo L’atomo di Bohr

Le orbite permesse sono quelle per cui il momento angolare dell’elettrone vale

Quantizzazione del momento angolare

L !

All’elettrone è associato un momento angolare

L = mvr

L = m _e vr = n!

La struttura dell'atomo

Possiamo immaginare che le orbite consentite siano quelle per cui la lunghezza della circonferenza è uguale ad un multiplo intere della lunghezza l’onda

n λ = 2 π ^{r n h}

p = 2 π ^r

L = m _e vr = n!

Quantizzazione del momento angolare

L’atomo di Bohr

La struttura dell'atomo L’atomo di Bohr Atomo di idrogeno

r V πε

V e 27 . 2 4 ₀ =

=

r J πε eV e

U ¹⁸

0 2

e 4 . 310

4

− −

− =

=

−

=

19 J 10 1.6

eV

1 = ⋅ ⁻

eV U _e = − 27

4 2

1 2

1

4 ₀

2 2 2

0 2 2

r πε mv e

r πε

e r

m v = =

Elettronvolt : energia acquistata da una carica elementare accelerata da una differenza di potenziale di 1Volt

ne ionizzazio di

Energia eV

13.6 -

U

E = E _k + =

La struttura dell'atomo L’atomo di Bohr Atomo di idrogeno

L’energia totale e la velocità dell’elettrone sono date da

E = − 1 4 πε ₀

e ²

2r v ² = 1 4 πε ₀

e ² m _e r

Ricordando che m _e vr = n!

Otteniamo i raggi delle

possibili orbite r _n = 4 πε ₀ ^{n 2 ! 2}

m _e e ² n = 1, 2,3,4, ...

La prima orbita, chiamata

raggio di Bohr, si ha per r ₁ = a ₀ = 4 πε ₀ ^{! 2}

m _e e ² = 0.053 nm

Possiamo anche scrivere r = n ² a

La struttura dell'atomo L’atomo di Bohr

Zero energy

n=1 n=2 n=3 n=4

E

= − 13.6

1

eV E

= − 13.6

2

eV E

= − 13.6

3

eV

n=1 n=2 n=3 n=4

E

= − 13.6

1

eV E

= − 13.6

2

eV E

= − 13.6

3

eV

Photon absorbed hf=E ₂ -E ₁ Photon

emitted

hf=E ₂ -E ₁

La struttura dell'atomo L’atomo di Bohr

E = − 1 4 πε ₀

e ²

2r ^{r n = n}

2 a ₀

E = − 1 4 πε ₀

e ² 2a ₀

1 n ²

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ E = − 13.6 eV n ²

Possiamo adesso calcolare la frequenza della radiazione emessa quando l’elettrone passa da un orbita esterna ad una più interna

Si ottengono i livelli energetici Da

f = E _i − E _f h

1 λ ⁼

1 c

E _i − E _f h

1 λ ⁼

1 4 πε ₀

e ² 2a ₀ hc

1

n ² _f − 1 n _i ²

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

La struttura dell'atomo L’atomo di Bohr

R (costante di Rydberg)

Serie di Balmer

n = 3, λ = 656.3 nm

Hydrogen

n = 4, λ = 486.1 nm

n=3 n=4

1

λ _m ^{= R H}

1

2 ² − 1 n ²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

La struttura dell'atomo L’atomo di Bohr

..

4 , 3 , 2

1 ) 1

( 1 1

2

2

− =

= n

R

n λ

Serie di Lyman

..

6 , 5 , 4

1 ) 3

( 1 1

2

2

− =

= n

R

n λ

Serie di Paschen

..

7 , 6 , 5

1 ) 4

( 1 1

2

2

− =

= n

R

n λ

Serie di Brackett In generale

1

λ ^{= R H}

1

n ² − 1 n ²

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

La struttura dell'atomo L’atomo di Bohr L’esperimento di Franck-Hertz

Nel 1914 Frank ed Hertz effettuano un esperimento che prova chiaramente l’esistenza di livelli energetici. Elettroni vengono fatti urtare con atomi di mercurio

Dopo l’urto gli elettroni raggiungono il collettore solo se hanno sufficiente energia per superare la differenza di potenziale

La struttura del segnale indica che,

ad una certa energia gli elettroni

sono assorbiti

La struttura dell'atomo Il modello quantistico

E = − 1 4 πε ₀

e ² 2a ₀

1 n ²

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ n numero quantico principale indica il livello energetico Quantizzazione dell’energia

Quantizzazione del momento angolare n =1 stato K n =2 stato L n =3 stato M

K L M

Per una data energia, il vettore momento angolare può assumere

valori differenti orientazioni differenti

La struttura dell'atomo

Quantizzazione del momento angolare

Ad integrazione dell’ipotesi di Bohr sulla quantizzazione del momento angolare si trova che L può assumere solo i valori

L ! = l(l −1) ", l = 0,1,2,...,n −1

per n = 1 l = 0 un valore di L possibile

per n = 2 l = 0, l= 1 due valori di L possibili

per n = 3 l = 0, l= 1, l = 2 tre valori di L possibili

per n = 4 l = 0, l= 1, l = 2, l = 3 quattro valori di L possibili

Notazione spettroscopica

Il modello quantistico

L !

La struttura dell'atomo

Quantizzazione del momento angolare

Si introduce il numero quantico, m relativo all’orientazione spaziale dell’orbita

Ma poiché L è un vettore, può avere diverse orientazioni nello spazio. Tuttavia anche il numero di orientazione che il vettore può avere (e quindi la sua componete L _z lungo l’asse di rotazione) risulta quantizzata

−l ≤ m ≤ + l

Ad esempio nel caso l=2 ci sono cinque valori di L _z possibili

= !m, m = −2, −1,0, +1, +2

Il modello quantistico

L !

La struttura dell'atomo

Orbite possibile

−l ≤ m ≤ + l

Il modello quantistico

per n=1 l = 0 m = 0 una orbita

totale una orbita

per n = 2 l = 0 m = 0 una orbita l = 1 m = -1, 0, +1 tre orbite totale quattro orbite

per n = 3 l = 0 m = 0 una orbita l = 1 m = -1, 0, +1 tre orbite

l = 2 m = -2, -1, 0, +1 , +2 cinque orbite

totale nove orbite

l = 0,1, 2,..., n −1

n

Per ogni l, sono possibili (2l+1) orbite

La struttura dell'atomo

Quantizzazione dello spin dell’elettrone

Il modello quantistico

L !

Si introduce il numero quantico m _s relativo allo stato di spin. Sono possibili solo due diversi stati di spin

Inoltre l’elettrone porta un m o m e n t o a n g o l a r e aggiuntivo dovuto alla rotazione intorno al suo asse

m _s = + 1

2 , m _s = − 1 2

Due elettroni nello stesso orbitale non possono avere gli stessi numeri quantici.

Quindi, su ogni orbita, cioè per ogni stato definito dai numeri quantici n, l, m) ci possono essere al massimo due elettroni

Principio di esclusione di Pauli

La struttura dell'atomo Il modello quantistico E

1 s 2 s 4 s

3 s

4 d

3 d

4 f

2 p 3 p 4 p

Per ogni stato di momento angolare possono quindi esserci un numero massimo di elettroni

2(2l +1)

l = 0 l = 1 l = 2 l = 3

n = 1 n = 2

n = 3

n = 4

La struttura dell'atomo

Configurazione elettronica di alcuni atomi

Il modello quantistico

La struttura dell'atomo

Le transizioni possibili devono rispettare le regole

Δl = ±1, Δm _s = 0, ±1

Transizioni possibili per l’atomo di idrogeno

Il modello quantistico

La struttura dell'atomo Raggi X

Un elettrone che si avvicina ad un nucleo, risente della forza coulombiana e viene deviato. Questo produce emissione di energia sotto forma di fotone. La potenza irradiata da una carica accelerata è data dalla formula di Larmor (formula non relativistica) è:

Poiché nel campo coulombiano del nucleo

la potenza irradiata dipende da Z ² . Inoltre i fotoni sono

P = dE

dt = e ² a ² 6 πε ₀ ^{c 3}

a = F

m = k Ze ² r ² m

Radiazione di Bremsstrahlung

La struttura dell'atomo Raggi X

Nel caso relativistico bisogna usare le formule di Lienard

P = dE

dt = e ² a ²

6 πε ₀ ^{c 3} γ ⁶ a || v P = dE

dt = e ² a ²

6 πε ₀ ^{c 3} γ ^{4 a} ⊥ v

Con l’aumentare dell’energia degli elettroni, i fotoni sono emessi sempre più in avanti

100 KeV equivale a γ ≈ 1.3

100 KeV ^{400 KeV}

4 MeV

20 MeV

Radiazione di Bremsstrahlung

La struttura dell'atomo Raggi X

Nel 1895 Roentgen scopre i raggi X. Se un fascio di elettroni viene inviato su una targhetta di metallo, si producono delle radiazioni molto penetranti. Roentgen effettua così la prima radiografia con la radiazione ottenuta.

Si generano raggi X quando gli elettroni emessi

da un filamento incandescente per effetto

termoionico, accelerati dalla differenza di

potenziale, colpiscono un bersaglio metallico

posto in un tubo a vuoto (tubo radiogeno detto

La struttura dell'atomo Raggi X

F o n d o p r o d o t t o d a l l a radiazione di Bremsstrahlung

Raggi X

Con un esperimento di interferenza si possono ricavare le lunghezze d’onda tipiche della radiazione

La lunghezza d’onda minima si può spiegare immaginando che tutta l’energia dell’elettrone i n c i d e n t e è t r a s f o r m a t a i n e n e r g i a elettromagnetica

pm = 10

m

La struttura dell'atomo Raggi X Spettro continuo

λ _min ^(nm) = 1238 V (Volt) eV = hf _max = hc

λ _min ^, λ _min = hc

eV

La struttura dell'atomo Raggi X

α,β si riferiscono al fatto che l’orbitale vuoto è riempito da un elettrone nel livello immediatamente successivo o meno

Raggi X caratteristici

L’elettrone incidente colpisce un elettrone dell’orbitale più interno che viene espulso. Un elettrone di un orbitale periferico va a riempire il posto lasciato libero con rilascio dell’energia in eccesso tramite emissione un fotone

pm = 10

m

La struttura dell'atomo Raggi X

Lo spettro dei raggi X.

La serie K è dovuta ad

e l e t t r o n i d e i l i v e l l i

successivi al primo che

vanno a rimpiazzare un

elettrone del primo livello

che è stato scalzato fuori

nell’urto con l’elettrone

incidente. Stessa cosa per

la serie L e serie M

La struttura dell'atomo Raggi X

Ad esempio per una targhetta di Molibdeno (Z=42), l’energia associata al primo livello è

E = − 1 4 πε ₀

e ²

2a ₀ Z ² E _inc = 24 kVolt

L’elettrone incidente deve essere accelerato a questa energia per

“tirare fuori dall’atomo uno degli elettroni K del primo livello

Ze K

e L

Ze K

L

Ze K

L

A B C

K _α

La struttura dell'atomo Raggi X

hf = E

− E

= − e

4 πε

^2a

(Z −1)

2

+ e

4 πε

^2a

(Z −1)

1

L’elettrone che dallo stato L decade nello stato K, vede una carica (Z-1).

L’energia del fotone K _α può essere calcolata come l’energia della transizione da n ₂ ad n ₁ per un atomo a singolo elettrone con un nucleo di (Z-1) protoni

Ze K

L

Per Z= 42 si trova

hf = 17.1 keV

λ ^(K _α ⁾ = 0.72 ⋅10 ⁻¹⁰ m

La struttura dell'atomo Raggi X

La frequenza delle righe caratteristiche dipende dal numero atomico Z della targhetta. La costante A dipende dai numeri quantici degli orbitali implicati nella transizione; la costante b dipende dallo schermo elettrostatico prodotto dagli altri elettroni dell’atomo

f = A(Z − b) ²

Legge di Moseley

Prima determinazione sperimentale dei

numeri atomici delle sostanze

La struttura dell'atomo Raggi X

La frequenza delle righe caratteristiche dipende dal numero atomico Z della targhetta. La costante A dipende dai numeri quantici degli orbitali implicati nella transizione; la costante b dipende dallo schermo elettrostatico prodotto dagli altri elettroni dell’atomo

f = A(Z − b) ²

Legge di Moseley

Prima determinazione sperimentale dei

numeri atomici delle sostanze

La struttura dell'atomo La struttura del nucleo

Rutherford aveva già intuito che il nucleo dell’atomo dovesse contenere, oltre ai protoni, anche particelle neutre

Conferma dell’esistenza del neutrone nel 1932 da parte di Chadwick

Dimensione dell’atomo 10 ^-10 m Dimensione del nucleo 10 ^-15 m

Peso dell’atomo = Peso del nucleo

La struttura dell'atomo

I nuclei sono costituiti da protoni e neutroni

La carica del nucleo è data dal numero di protoni, detto anche numero atomico Z che determina le proprietà̀ chimiche dell’atomo risultante

La massa del nucleo dipende dal numero di protoni e neutroni (entrambi detti anche “nucleoni”). Si indica come numero di massa A ed è la somma di Z e del numero di neutroni N

La struttura del nucleo

Nuclei con lo stesso Z ma diverso N sono detti isotopi dello stesso elemento

Nuclei con lo stesso A ma diverso Z sono detti isobari

La struttura dell'atomo

Unità di massa atomica

La struttura del nucleo

L'unità di massa atomica amu (atomic mass unit), detta anche “u”, è definita come la dodicesima parte della massa di un atomo di carbonio-12 ( ¹² C).

1 u = 1.66 10 ^-24 grammi 1 u = 0,9315 GeV/c ²

L'unità di massa atomica è conveniente nella pratica sperimentale perché un

nucleone legato ha una massa circa pari a 1 unità, quindi un atomo o una molecola,

con un numero di massa A ha una massa circa di A unità di massa atomiche. La

ragione consiste nel fatto che un atomo di carbonio-12, da cui l'unità di massa

atomica trae la sua definizione, contiene 6 protoni, 6 neutroni e 6 elettroni, con

protoni e neutroni aventi all'incirca la stessa massa e gli elettroni aventi massa

trascurabile. Questa approssimazione è comunque grossolana poiché non tiene conto

della variazione della massa con l'energia di legame dei nuclei atomici e della

differenza di massa tra il protone e il neutrone

La struttura dell'atomo

Definizione di “mole” di una sostanza

La struttura del nucleo

La mole è definibile come il numero di molecole che mediamente pesano x unità di massa atomica u contenute in x grammi di quella sostanza. Per esempio, la massa molecolare dell'acqua è 18.01508 u ovvero 18.01508 g/mol. 1 g di acqua contiene 1 g × N _Av /18.01508 g/mol ≈ 3.3428×10 ²² molecole.

Quindi l'unità di massa atomica coincide esattamente con l'unità di misura grammo/mole:

Mole: quantità di sostanza che contiene tante unità elementari (atomi, molecole, ioni..) quanti sono gli atomi contenuti in 12 g esatti di ¹² C.

Quanti sono questi atomi? La massa di un singolo atomo di ¹² C è 12 u·1.67 10 ^-24 g. Il numero cercato deriva dal rapporto:

N _Av = 12 grammi

12 u ⋅1.67⋅10 ⁻²⁴ grammi / u = 6.022 ⋅10 ²³

La struttura dell'atomo

La costante di Avogadro si applica a qualsiasi sostanza. Corrisponde al numero di atomi o molecole necessario a formare una massa pari numericamente al peso atomico o al peso molecolare in grammi rispettivamente della sostanza.

Ad esempio, il peso atomico del ferro è 55,847, quindi un numero di atomi di ferro pari a una costante di Avogadro (ovvero, una mole di atomi di ferro) ha una massa di 55,847 g. Viceversa, 55,847 g di ferro, contengono un numero di atomi di ferro pari a una costante di Avogadro.

Quindi il numero di atomi in 1 grammo di sostanza è

Il numero di atomi in M grammi di sostanza è

N ≈ N _Av A

Il numero di Avogadro

N ≈ MN _Av A N _Av = 0.602⋅10 ²⁴

La struttura del nucleo

La struttura dell'atomo

Alcune masse atomiche

La struttura del nucleo

1 u = 1.66 10 ^-24 grammi 1 u = 0.9315 GeV/c ²

Il valore si riferisce

all’atomo neutro, inclusi

quindi gli elettroni

La struttura dell'atomo La struttura del nucleo Una buona stima delle dimensione

del nucleo è data dalla relazione

R = R ₀ A

1 3 R ₀ = 1.2⋅10 ⁻¹⁵

Nell’ipotesi di nucleo sferico, il volume aumenta con R ³ . Quindi il volume è direttamente proporzionale ad A. Tutti i nuclei hanno la stessa densità

Ma come fanno a stare insieme due particelle di carica uguale all’interno del nucleo? La forza di repulsione elettrostatica per due cariche uguali alla distanza tipica del nucleo vale

Deve esistere una forza nucleare forte:

È sempre attrattiva

Si manifesta solo a distanze d ≈ 10 ^-15 m Non fa differenza tra protoni e neutroni

Stati legati ad

energia negativa Raggio del nucleo

La struttura dell'atomo

Per un dato nucleo confrontiamo la sua massa complessiva M _nucleo (gli elettroni sono trascurabili) con la somma delle masse dei nucleoni di cui è composto

W = ZM _protone + (A − Z)M _neutrone

La struttura del nucleo

Definiamo il difetto di massa (od anche energia di legame) come la differenza

δ ^{= M} _nucleo ^{− W}

Si trova che per il Deuterio ( ² H) l’energia di legame è -2.22 MeV Per l’ossigeno ¹⁷ ₈ O l’energia di legame è -131.7 MeV

In questo vaso l’energia di legame media/nucleone è δ _nucl ^{= −7.2 MeV}

L’energia di massa del nucleo è minore dell’energia delle masse dei

La struttura dell'atomo

La struttura del nucleo

Energia di legame per nucleone

- δ _nucl ≈ 8 MeV Nuclei stabili

Nuclei instabili Una alta energia di

legame implica che il

nucleo è molto stabile,

p e r c h é b i s o g n a

fornirgli molta energia

per “romperlo”

La struttura dell'atomo La struttura del nucleo La curva di stabilità del nucleo

Nuclei leggeri sono stabili per Z=N.

Al crescere di Z sono necessari più neutroni

per garantire la stabilità.

La struttura dell'atomo La struttura del nucleo Il modello a “SHELL” per il nucleo

Similmente al modello dell’atomo, si suppone che ciascun nucleone ha dei numeri quantici e può assumere solo livelli di energia definiti. In ogni l i v e l l o e n e r g e t i c o possono esserci solo due nucleoni di ogni tipo con numeri quantici di spin opposti

E ₁ > E ₂

Nuclei con troppi neutroni sono instabili

La struttura dell'atomo La struttura del nucleo Il modello a “SHELL” per il nucleo

Un nucleo può essere

nello stato fondamentale Oppure in uno stato “eccitato”

Useremo anche per i nuclei la rappresentazione dei livelli energetici

E ₁

E ₂

La struttura dell'atomo

I decadimenti del nucleo La scoperta della RADIATTIVITA

Nel 1895 lo scienziato francese Henry Becquerel (1852-1908) scoprì che

tutti i sali di Uranio emettevano spontaneamente e ininterrottamente delle

radiazioni che assomigliavano ai raggi X di Röntgen. Notò, infatti che una

lastra fotografica, riposta in un cassetto con un campione di pechblenda, un

minerale di Uranio, era stata impressionata.

La struttura dell'atomo

I decadimenti del nucleo La scoperta della RADIATTIVITA

Negli anni successivi Maria Salomea Skłodowska, più conosciuta come Marie Curie (assieme al marito Pierre Curie) approfondì gli studi sulla radioattività e scoprì altri materiali radioattivi, come il Polonio e il Radio

Premio Nobel per la fisica nel 1903 Premio Nobel per la chimica nel 1911

La figlia Irene continuò la strada intrapresa dalla madre preparando la prima sostanza radioattiva artificiale, bombardando l’alluminio con particelle alfa.

Nel 1934 le verrà assegnato il premio Nobel per la scoperta della radioattività artificiale.

Premio Nobel per la chimica nel 1934

La struttura dell'atomo I decadimenti del nucleo

Decadimenti α

Vengono emessi due protoni e due neutroni

Decadimenti β ^-

Viene emesso un elettrone

Decadimenti β ⁺

Viene emesso un positrone (elettrone positivo)

Attraverso il decadimento, una sostanza instabile si trasforma in una sostanza che si avvicina alla linea di stabilità

Nel decadimento devono conservarsi:

energia totale, quantità di moto, carica,

numero atomico

La struttura dell'atomo I decadimenti del nucleo

La struttura dell'atomo

Il decadimento α

Il nucleo emette spontaneamente una particella α (due protoni e due neutroni)

Z

A X → ^A _Z ⁻⁴ ₋₂ Y + ₂ ⁴ He

nucleo parente nucleo figlio particella α

Alcuni esempi

Leggi di conservazione. Si devono conservare:

- il numero di massa A - la carica totale Q

- l’energia relativistica E

88

226 Ra → ²²² ₈₆ Rn + ₂ ⁴ He

92

238 U → ²³⁴ ₉₀ Th + ₂ ⁴ He

La struttura dell'atomo

Il decadimento α

Il Q valore della reazione si calcola come

Z

A X → ^A _Z ⁻⁴ ₋₂ Y + ₂ ⁴ He

Q = (M _X − M _Y − M _α )c ²

Considerando un urto non relativistico, deve essere

Q u e s t a e n e r g i a è disponibile come energia cineteca dei prodotti di reazione

Q = (K _Y + K _α )

p _Y = p _α ^{E quindi} K _α = M _Y

M _Y + M _α Q

La struttura dell'atomo Il decadimento α

Z

A X → ^A _Z ⁻⁴ ₋₂ Y + ₂ ⁴ He La reazione avviene naturalmente perché il Q valore è positivo. Se fosse negativo, dovremmo fornire energia dall’esterno

Ma perché avviene la reazione di decadimento

anche se l’atomo è in uno stato legato? Si forma

all’interno del nucleo una particella α che ha

energia di circa 5 MeV. Per effetto tunnel la

probabilità che tale particella riesca a sfuggire alla

buca di potenziale del nucleo non è nulla

La struttura dell'atomo Il decadimento α

88

226 Ra → ²²² ₈₆ Rn + ₂ ⁴ He

Dai conti precedenti si trova

K _α = 4.8 MeV

E ne rgi a

86 88 Z

86

222 Rn → ²¹⁶ ₈₄ Po + ₂ ⁴ He

Successivamente

Una rappresentazione grafica del decadimento

Il radon è un gas molto pesante, pericoloso per la salute umana se inalato in quantità significative. Uno dei principali fattori di rischio del radon è legato al fatto che si accumula all'interno di abitazioni.

Il decadimento α del Radio

La struttura dell'atomo Il decadimento β

Z

A X → _{Z +1} ^A Y + e ⁻

Z

A X → _{Z −1} ^A Y + e ⁺

Il nucleo emette spontaneamente una particella β (un elettrone o un positrone)

In effetti, un protone all’interno del nucleo può trasformarsi in neutrone o viceversa emettendo una particella β. Questa particella non è presente all’interno dell’atomo, ma è prodotta nel decadimento

e ⁺

p

n v e _e ⁺

Può avvenire anche per neutroni liberi Può avvenire solo all’interno del nucleo

Nuclei ricchi di neutroni

Nuclei ricchi di protoni

La struttura dell'atomo Il decadimento β

Z

A X → _{Z +1} ^A Y + e ⁻ + v

Z

A X → _{Z −1} ^A Y + e ⁺ + v

Neutrini(Antineutrini)

Particelle di massa nulla e di carica nulla. Si muovono alla velocità della luce

Poiché i neutrini portano via una parte di energia, l’energia cinetica del raggio β non è costante

Q valore delle reazioni

Q _β − = (M _X − M _Y )c ²

Q _β + = (M _X − M _Y − 2m _e )c ²

In questo caso il Q valore deve essere almeno 2m c ²

*

La struttura dell'atomo Il decadimento β Il decadimento β ^- del Carbonio

6

14 C → ¹⁴ ₇ N + e ⁻ + v

Una rappresentazione grafica del decadimento

0.15 MeV

Il confronto fra la quantità ¹⁴ C (che decade e diminuisce) e quella di ¹² C

(che è stabile) permette di datare un campione di materiale

La struttura dell'atomo Il decadimento β Il decadimento β ⁺ del Sodio

11

22 Na → ₁₀ ²² Ne + e ⁺ + v

Una rappresentazione grafica del decadimento

E ne rgi a

10 11 Z

0.55 MeV

Il Sodio 22 è molto utilizzato nella ricerca biomedica

La struttura dell'atomo La cattura K Un elettone K (vicino al nucleo)

viene catturato dal nucleo

11

22 Na + e ⁻ → ₁₀ ²² Ne + v

Z

A X + e ⁻ → _{Z −1} ^A Y + v

E ne rgi a

10 11 Z

In questo caso viene anche emesso un raggio X perché un elettrone più esterno va a sostituire l’elettrone K e la differenza di energia viene trasformata in energia elettromagnetica

La reazione di cattura K per il sodio

La struttura dell'atomo Il decadimento γ Un nucleo in uno stato eccitato decade nello

stato fondamentale (di energia più bassa) emettendo un fotone “gamma” (raggio γ)

Z

A X ^* → _Z ^A X + γ

I raggi γ possono avere una energia nel range 1 MeV - 1 GeV e rappresentano la parte più energetica dello spettro elettromagnetico

Generalmente durante i decadimenti α e β i nuclei restano in uno stato eccitato da cui poi decadono con emissione di raggi γ

→ + γ

La struttura dell'atomo Il decadimento γ

88

226 Ra → ²²² ₈₆ Rn ^* + ₂ ⁴ He

86

222 Rn ^* → ²²² ₈₆ Rn + γ

5

12 B → ¹² ₆ C ^* + e ⁻ + v

6

12 C ^* → ¹² ₆ C + γ

5

12 B → ¹² ₆ C + e ⁻ + v

Alcuni esempi

La struttura dell'atomo La legge del decadimento radioattivo

La diminuzione di atomi in una sostanza radioattiva in un tempo dt è data da

Sia λ la probabilità che un nucleo decada nell’unità di tempo (costante di decadimento)

La probabilità che un nucleo decada nel tempo dt è quindi λdt

Se al tempo t =0 ci sono N ₀ nuclei, integrando la relazione precedente si trova

ln( N

N ₀ ) = − λ ^t N = N ₀ e ^{− λ t}

Il numero di nuclei radioattivi in un c a m p i o n e d i m i n u i s c e esponenzialmente con il tempo. N è il numero di atomi all’istante t che

−dN = N(t) λ ^dt

N è una media con fluttuazione

intorno a questo valore. L’ampiezza

delle fluttuazione può essere calcolato

con la teoria delle probabilità

La struttura dell'atomo La legge del decadimento radioattivo

Si definisce “tempo di decadimento” T _1/2 il tempo in cui la metà dei nuclei decadono

N ₀

2 = N ₀ e ^{− λ T}

^T _1/2 = ln 2 λ ⁼

0.693 λ T _1/2 Viene anche detto “EMVITA”

Il numero di atomi che si disintegrano nell’unità di tempo è:

dN

dt = λ ^{N =} λ ^N ₀ ^{e − λ t}

La legge di decadimento radioattivo è una legge statistica risultato di un

gran numero di eventi soggetti alla legge della probabilità

La struttura dell'atomo La legge del decadimento radioattivo Definiamo anche la vita media τ degli atomi come la somma dei tempi

di esistenza di tutti gli atomi diviso il numero iniziale degli atomi

τ = 1

N ₀ N ₀ e ^{− λ t}

0

∫ ∞ ^dt

Al tempo t sopravvivono N(t) atomi. Dunque

Il tempo medio è

cioè

τ = 1 λ

Il tempo τ si definisce “vita media” della sostanza

N ₁ (t) ha vita t ₁ , N ₂ (t) ha vita t ₂ ...

τ = 1

N ₀ ∑ ^{[ N 1 (t) ⋅t 1 + N 2 (t) ⋅t 2 + N 3 (t) ⋅t 3 ... ]}

La struttura dell'atomo La legge del decadimento radioattivo

R = dN

dt = λ ^N ₀ ^{e − λ t}

Si definisce la “rate” di decadimento o ATTIVITA’ il numero di decadimenti nell’unità di tempo

log R = log(R ₀ ) − λ ^{t / ln(10)}

λ rappresenta la pendenza della retta nel grafico

Dopo un tempo nT _1/2

l’attività residua è R = R ₀ 2 ⁿ T _1/2 = ln 2

λ ⁼

0.693 λ

R R

nT

log R

R ₀ = − λ ^{t / 2.3}

* log x = ln x / ln10

La struttura dell'atomo La legge del decadimento radioattivo Una relazione utile è la seguente

R = λ ^N = ln 2

T _1/2 N

Nel caso di più sostanze insieme

R _tot = R ₁ + R ₁

La struttura dell'atomo La legge del decadimento radioattivo Il tempo di dimezzamento (EMVITA) di alcune sostanze

Esempio

Calcolare il tempo necessario (in EMVITE) perché il Trizio perda il 75% della sua radioattività

R = R ₀ 2 ⁿ

R

R ₀ = 0.25 n = 2 T ≈ 24 anni

La struttura dell'atomo La legge del decadimento radioattivo Il tempo di dimezzamento EFFETTIVO

Esempio

Calcolare il tempo di dimezzamento effettivo dello Iodio 131 presente eventualmente nella tiroide, se il tempo di dimezzamento biologico è di 120 giorni In alcuni casi la sostanza radioattiva è presente in un sistema biologico da cui viene rimossa anche con meccanismi biologici. In questo caso, oltre a al parametro λ _dec dovuto al decadimento radioattivo, si introduce una costante λ _bio dovuta alla rimozione biologica.

Si definisce

Da cui

λ _eff ⁼ λ _bio ⁺ λ _dec ^{ln 2}

T _1/2 ^eff = ln 2

T _1/2 ^bio + ln 2 T _1/2 ^dec T _1/2 ^eff = T _1/2 ^bio ⋅T _1/2 ^dec

T _1/2 ^bio + T _1/2 ^dec

T ^eff = T _1/2 ^bio ⋅T _1/2 ^dec = 7.5g

T ^dec = 8g

La struttura dell'atomo La legge del decadimento radioattivo Unità di misura dell’attività

CURIE(Ci)

1 Ci = 3.7 ^. 10 ¹⁰ decadimenti /sec Corrisponde all’attività di circa un grammo di Radio

BECQUEREL( Bq)

1 Bq = 1 decadimento /sec 1 Ci = 3.7 ^. 10 ¹⁰ Bq

Si definisce attività specifica come attività per un grammo di sostanza e si misura in Bq/g

A è il peso atomico/molecolare della sostanza N _Av è il numero di Avogadro

R _s = λ ^{N Av}

A = ln(2) T _1/2

0.602 ⋅10 ²⁴ A

N u m e r o d i

atomi in 1 g

La struttura dell'atomo Le catene radioattive Possiamo collegare l'attività R di una sostanza radioattiva alla sua

massa in grammi M

R = λ ^N ≈ λ ^{M N Av}

A = 0.693 M N _Av T _1/2 A

Calcolare la massa di ²¹⁴ PB (T _1/2 =26.8 minuti) corrispondente all’attività di 1 Ci (3.7 ^. 10 ¹⁰ Bq)

M = R T _1/2 A

0.693 N _Av = 30 ng

Calcolare la massa di ²³⁸ U (T _1/2 =4.5 ^. 10 ⁹ anni) corrispondente all’attività di 1 Ci (3.7 ^. 10 ¹⁰ Bq)

M = R T _1/2 A

= 300 g

La struttura dell'atomo Le catene radioattive

Ciascuna catena ha inizio da un isotopo con vita media grande e termina con un elemento stabile

Catena dell’Uranio

92

238 U → ²⁰⁶ ₈₂ Pb

Catena dell’Attinio

92

235 U → ²⁰⁷ ₈₂ Pb

Catena del Torio

90

232 Th → ²⁰⁸ ₈₂ Pb

Catene radioattive naturali

La struttura dell'atomo Le catene radioattive

La struttura dell'atomo Le catene radioattive

Grazie alle catene radioattive, elementi di bassa vita media vengono continuamente riprodotti. Per esempio, poiché l’età del sistema solare è di circa 10 ⁹ anni, il Radio 226 (vita media di 1600 anni) sarebbe scomparso se non fosse riprodotto attraverso la serie dell’uranio 238

La quarta catena radioattiva ha inizio dal Neptunium che è un

elemento “transuranico” non presente naturalmente in natura

La struttura dell'atomo Le catene radioattive

S ₁ → S ₂ → S ₃

Consideriamo la catena di decadimento

La sostanza S ₁ decade con legge dN ₁

dt = − λ ₁ N ₁

La sostanza S ₂ aumenta di quanto diminuisce S ₁ e diminuisce con la propria legge di decadimento

dN ₂

dt = λ ₁ ^N ₁ − λ ₂ ^N ₂

La sostanza S ₃ è stabile dN ₃

dt = λ ₂ ^N ₂

Scriviamo la soluzione per S ₂ come

= A ^{− λ} + A ^{− λ}

La struttura dell'atomo Le catene radioattive

A ₂₁ = λ ₁

λ ₂ − λ ₁ ^{N 01}

Con la condizione iniziale A ₂₁ + A ₂₂ = N ₀₂

Si trova

A ₂₂ = N ₀₂ − λ ₁

λ ₂ − λ ₁ ^{N 01}

N ₂ (t) = A ₂₁ e ^{− λ 1 t} + A ₂₂ e ^{− λ 2 t}

La soluzione è

La struttura dell'atomo Le catene radioattive

dN ₂

dt = λ ₁ ^N ₁ ⁻ λ ₂ ^N ₂

N ₂ (t) = A ₂₁ e ^{− λ}

^t + A ₂₂ e ^{− λ}

^t

Svolgimento

Sostituendo si ottiene

R ₁ = R ₂ R ₂

R ₁

La struttura dell'atomo Le catene radioattive

N ₂ λ ₂ = N ₁ λ ₁

Equilibrio secolare

N ₃ = N ₀₁ (1 − e ^{− λ}

^t )

λ ₂ >> λ ₁

L’attività della sostanza 2 segue la stessa evoluzione temporale della sostanza 1

τ ₂ << τ ₁

Equilibrio secolare

τ ₂ << τ ₁

Supponiamo N ₀₂ =0.

La struttura dell'atomo Le catene radioattive

N ₁ → N ₂ → N ₃ → N ₄ ....

.... λ ₄ ^, λ ₃ ^, λ ₂ >> λ ₁

τ ₁ >> t >> τ ₂ ^, τ ₃ ^, τ ₄ ^...

Se

a tempi t tali che

Si ottiene N λ = N λ = N λ = N λ

Equilibrio secolare per le catene radioattive

La struttura dell'atomo Le catene radioattive

λ ₂ ^N ₂ = λ ₂ λ ₁

λ ₂ ⁻ λ ₁ ^{N 01 e − λ}

t

Equilibrio transiente

λ ₂ ≥ λ ₁

Dopo un aumento iniziale l’attività R ₂ 2 decresce con la stessa velocità di R ₁

τ ₂ ≤ τ ₁

Inoltre a tempi abbastanza grandi è trascurabile e ^{− λ 2 t}

R ₂ = λ ₂

λ ₂ − λ ₁ ^{R 1}

R

R

R ₁ + R ₂

Supponiamo N ₀₂ =0

La struttura dell'atomo Le catene radioattive Non equilibrio

λ ₂ < λ ₁

Con il passare del tempo resta solo l’attività della sostanza figlia

τ ₂ > τ ₁

Supponiamo N ₀₂ =0.

R ₁ + R ₂

R

R