Do @ m @ j D@ 1 D = a1 @@ j DD@@ 1 DD  a1 @@ 1 DD@@ 1 DD ; Print @ m @ j D@ 1 DD , 8 j, 2, n <D 2

Clear @ a D ; n = 4;

a = 88 1, -3, 4, 5 < , 8 2, 3, 4, -1 < , 8 5, -5, 2, 3 < , 8- 1, -2, 7, 6 << ; MatrixForm @ a D

1 -3 4 5 2 3 4 -1 5 -5 2 3 -1 -2 7 6 a1 = a;

Do @ m @ j D@ 1 D = a1 @@ j DD@@ 1 DD  a1 @@ 1 DD@@ 1 DD ; Print @ m @ j D@ 1 DD , 8 j, 2, n <D 2

5 -1

a2 = 8 a1 @@ 1 DD , a1 @@ 2 DD - m @ 2 D@ 1 D * a1 @@ 1 DD ,

a1 @@ 3 DD - m @ 3 D@ 1 D * a1 @@ 1 DD , a1 @@ 4 DD - m @ 4 D@ 1 D * a1 @@ 1 DD< ; MatrixForm @

a2 D

1 -3 4 5 0 9 -4 -11 0 10 -18 -22 0 -5 11 11

Do @ m @ j D@ 2 D = a2 @@ j DD@@ 2 DD  a2 @@ 2 DD@@ 2 DD ; Print @ m @ j D@ 2 DD , 8 j, 3, n <D ; 10

9 - 5

9

a3 = 8 a2 @@ 1 DD , a2 @@ 2 DD , a2 @@ 3 DD - m @ 3 D@ 2 D * a2 @@ 2 DD , a2 @@ 4 DD - m @ 4 D@ 2 D * a2 @@ 2 DD< ; MatrixForm @ a3 D

1 -3 4 5

0 9 -4 -11 0 0 -

-

0 0

9 44

9

Do @ m @ j D@ 3 D = a3 @@ j DD@@ 3 DD  a3 @@ 3 DD@@ 3 DD ; Print @ m @ j D@ 3 DD , 8 j, 4, n <D - 79

122

a4 = 8 a3 @@ 1 DD , a3 @@ 2 DD , a3 @@ 3 DD , a3 @@ 4 DD - m @ 4 D@ 3 D * a3 @@ 3 DD< ; MatrixForm @ a2 D

MatrixForm @ a3 D MatrixForm @ a4 D U = a4;

1 -3 4 5 0 9 -4 -11 0 10 -18 -22 0 -5 11 11

1 -3 4 5

0 9 -4 -11 0 0 -

-

0 0

9 44

9

1 -3 4 5

0 9 -4 -11 0 0 -

-

0 0 0 -

61

Do @ ll @ i D@ j D = 0, 8 i, 1, n < , 8 j, 1, n <D ; Do @ ll @ i D@ i D = 1, 8 i, 1, n <D ;

Do @ ll @ i D@ j D = m @ i D@ j D , 8 i, 2, n < , 8 j, 1, i - 1 <D ; L = Table @ ll @ i D@ j D , 8 i, 1, n < , 8 j, 1, n <D ; MatrixForm @ L D

1 0 0 0

2 1 0 0

5

9

1 0

-1 -

-

1 LU = Dot @ L, U D ; MatrixForm @ LU D MatrixForm @ a D

1 -3 4 5 2 3 4 -1 5 -5 2 3 -1 -2 7 6 1 -3 4 5 2 3 4 -1 5 -5 2 3 -1 -2 7 6

H* FATTORIZZAZIONE CON SCAMBIO * L Clear @ a, a1, a2, a3, a4 D

n = 4;

a = 88 1, -3, 4, 5 < , 8 2, -6, 4, -1 < , 8 5, -5, 2, 3 < , 8- 1, -2, 7, 6 << ;

MatrixForm @ a D

a1 = a;

Do @ m @ j D@ 1 D = a1 @@ j DD@@ 1 DD  a1 @@ 1 DD@@ 1 DD , 8 j, 2, n <D ; a2 = 8 a1 @@ 1 DD , a1 @@ 2 DD - m @ 2 D@ 1 D * a1 @@ 1 DD ,

a1 @@ 3 DD - m @ 3 D@ 1 D * a1 @@ 1 DD , a1 @@ 4 DD - m @ 4 D@ 1 D * a1 @@ 1 DD< ; MatrixForm @

a2 D

1 -3 4 5 0 0 -4 -11 0 10 -18 -22 0 -5 11 11

P = 88 1, 0, 0, 0 < , 8 0, 0, 1, 0 < , 8 0, 1, 0, 0 < , 8 0, 0, 0, 1 << ; MatrixForm @ P D

1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 a1 = Dot @ P, a D ; MatrixForm @ a1 D

1 -3 4 5 5 -5 2 3 2 -6 4 -1 -1 -2 7 6

Do @ m @ j D@ 1 D = a1 @@ j DD@@ 1 DD  a1 @@ 1 DD@@ 1 DD , 8 j, 2, n <D a2 = 8 a1 @@ 1 DD , a1 @@ 2 DD - m @ 2 D@ 1 D * a1 @@ 1 DD ,

a1 @@ 3 DD - m @ 3 D@ 1 D * a1 @@ 1 DD , a1 @@ 4 DD - m @ 4 D@ 1 D * a1 @@ 1 DD< ; Do @ m @ j D@ 2 D = a2 @@ j DD@@ 2 DD  a2 @@ 2 DD@@ 2 DD , 8 j, 3, n <D ;

a3 = 8 a2 @@ 1 DD , a2 @@ 2 DD , a2 @@ 3 DD - m @ 3 D@ 2 D * a2 @@ 2 DD , a2 @@ 4 DD - m @ 4 D@ 2 D * a2 @@ 2 DD< ; Do @ m @ j D@ 3 D = a3 @@ j DD@@ 3 DD  a3 @@ 3 DD@@ 3 DD , 8 j, 4, n <D

a4 = 8 a3 @@ 1 DD , a3 @@ 2 DD , a3 @@ 3 DD , a3 @@ 4 DD - m @ 4 D@ 3 D * a3 @@ 3 DD< ; MatrixForm @ a2 D

MatrixForm @ a3 D MatrixForm @ a4 D U = a4;

1 -3 4 5 0 10 -18 -22 0 0 -4 -11 0 -5 11 11 1 -3 4 5 0 10 -18 -22 0 0 -4 -11

0 0 2 0

1 -3 4 5 0 10 -18 -22 0 0 -4 -11 0 0 0 -

2

Do @ ll @ i D@ j D = 0, 8 i, 1, n < , 8 j, 1, n <D ; Do @ ll @ i D@ i D = 1, 8 i, 1, n <D ;

Do @ ll @ i D@ j D = m @ i D@ j D , 8 i, 2, n < , 8 j, 1, i - 1 <D ;

L = Table @ ll @ i D@ j D , 8 i, 1, n < , 8 j, 1, n <D ; MatrixForm @ L D

1 0 0 0

5 1 0 0

2 0 1 0

-1 -

-

1 LU = Dot @ L, U D ; MatrixForm @ LU D

1 -3 4 5 5 -5 2 3 2 -6 4 -1 -1 -2 7 6

MatrixForm @ Dot @ P, a DD 1 -3 4 5

5 -5 2 3 2 -6 4 -1 -1 -2 7 6 MatrixForm @ a D 1 -3 4 5 2 -6 4 -1 5 -5 2 3 -1 -2 7 6

H* ESERCIZIO 6.5.2 * L Clear @ a, a1, a2, a3, a4 D n = 3;

a = 88 1, 2, -1 < , 8 2, 4, 0 < , 8 0, 1, -1 << ; a = a;

MatrixForm @ a D 1 2 -1 2 4 0 0 1 -1

P = 88 1, 0, 0 < , 8 0, 0, 1 < , 8 0, 1, 0 << ; MatrixForm @ P D

1 0 0 0 0 1 0 1 0 a1 = Dot @ P, a D ; MatrixForm @ a1 D

1 2 -1

0 1 -1

2 4 0

a2 = 8 a1 @@ 1 DD , a1 @@ 2 DD , a1 @@ 3 DD - m @ 3 D@ 1 D * a1 @@ 1 DD< ; MatrixForm @ a2 D

U = a2;

1 2 -1 0 1 -1 0 0 2

Do @ ll @ i D@ j D = 0, 8 i, 1, n < , 8 j, 1, n <D ; Do @ ll @ i D@ i D = 1, 8 i, 1, n <D ;

Do @ ll @ i D@ j D = m @ i D@ j D , 8 i, 3, n < , 8 j, 1, i - 1 <D ; L = Table @ ll @ i D@ j D , 8 i, 1, n < , 8 j, 1, n <D ; MatrixForm @ L D

1 0 0 0 1 0 2 0 1 LU = Dot @ L, U D ; MatrixForm @ LU D MatrixForm @ a1 D

1 2 -1 0 1 -1 2 4 0 1 2 -1 0 1 -1 2 4 0

H* ESERCIZIO 6.5.4 * L Clear @ a, a1, a2, a3, a4 D ; n = 3;

a = 88 2, -1, 1 < , 8 3, 3, 9 < , 8 3, 3, 5 << ; MatrixForm @ a D

2 -1 1 3 3 9 3 3 5 a1 = a;

Do @ m @ j D@ 1 D = a1 @@ j DD@@ 1 DD  a1 @@ 1 DD@@ 1 DD , 8 j, 2, n <D ;

a2 = 8 a1 @@ 1 DD , a1 @@ 2 DD - m @ 2 D@ 1 D * a1 @@ 1 DD , a1 @@ 3 DD - m @ 3 D@ 1 D * a1 @@ 1 DD< ; Do @ m @ j D@ 2 D = a2 @@ j DD@@ 2 DD  a2 @@ 2 DD@@ 2 DD , 8 j, 3, n <D ;

a3 = 8 a2 @@ 1 DD , a2 @@ 2 DD , a2 @@ 3 DD - m @ 3 D@ 2 D * a2 @@ 2 DD< ; MatrixForm @ a2 D

MatrixForm @ a3 D U = a3;

2 -1 1 0

2 15

2

0

2 7 2

2 -1 1 0

2 15

2

0 0 -4

Do @ ll @ i D@ j D = 0, 8 i, 1, n < , 8 j, 1, n <D ; Do @ ll @ i D@ i D = 1, 8 i, 1, n <D ;

Do @ ll @ i D@ j D = m @ i D@ j D , 8 i, 2, n < , 8 j, 1, i - 1 <D ;

L = Table @ ll @ i D@ j D , 8 i, 1, n < , 8 j, 1, n <D ; MatrixForm @ L D

1 0 0

3

2

1 0

3

2

1 1

LU = Dot @ L, U D ; MatrixForm @ LU D MatrixForm @ a D

2 -1 1 3 3 9 3 3 5 2 -1 1 3 3 9 3 3 5 b = 8- 1, 0, 4 < ; x = 8 x1, x2, x3 < ; y = 8 y1, y2, y3 < ; sys = Dot @ L, y D Š b Thread @ sys D : y1,

3 y1 2

+ y2, 3 y1

2

+ y2 + y3 > Š 8- 1, 0, 4 <

: y1 Š -1, 3 y1

2

+ y2 Š 0, 3 y1

2

+ y2 + y3 Š 4 >

y1sol = b @@ 1 DD  L @@ 1 DD@@ 1 DD

y2sol = H b @@ 2 DD - L @@ 2 DD@@ 1 DD * y1sol L  L @@ 2 DD@@ 2 DD

y3sol = H b @@ 3 DD - L @@ 3 DD@@ 1 DD * y1sol - L @@ 3 DD@@ 2 DD * y2sol L  L @@ 3 DD@@ 3 DD -1

3 2 4

sol = 8 y1 ® y1sol, y2 ® y2sol, y3 ® y3sol <

: y1 ® -1, y2 ® 3 2

, y3 ® 4 >

sys1 = Dot @ U, x D Š y  . sol : 2 x1 - x2 + x3,

9 x2 2

+ 15 x3

2

, -4 x3 > Š :- 1, 3 2

, 4 >

x3sol = y3sol  U @@ n DD@@ n DD

x2sol = H y2sol - U @@ 2 DD@@ 3 DD * x3sol L  U @@ n - 1 DD@@ n - 1 DD

x1sol = H y1sol - U @@ 1 DD@@ 3 DD * x3sol - U @@ 1 DD@@ 2 DD * x2sol L  U @@ n - 2 DD@@ n - 2 DD -1

2