Controllori Standard PID
Prof. Laura Giarré
Laura.Giarre@UNIMORE.IT https://giarre.wordpress.com/ca/
¥
.
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatore Proporzionale, Integrale, Derivativo - PID
• Tre azioni di controllo combinate
• azione proporzionale all'errore
• azione proporzionale all'integrale dell'errore
• azione proporzionale alla derivata dell'errore
• standard industriale
• utilizzabile per moltissimi impianti
• tecniche di taratura semplici ed automatiche
• applicabili anche quando il modello dell'impianto è poco noto
• implementabile con molte tecnologie
• Elettroniche (analogiche e digitali), meccaniche, pneumatiche, oleodinamiche
• disponibile a software sui sistemi di controllo industriale
+ + + +
_
- - -
-
O
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PID – forma standard
• Significato delle tre azioni di controllo
• azione proporzionale
• maggiore è l'errore, maggiore è l'azione di controllo
• azione integrale
• errore nullo a segnali di riferimento o disturbi costanti
• azione derivativa
• azione di controllo "preventiva"
• anticipo di fase
Kp Guadagno proporzionale
Ti Costante di tempo dell’azione integrale (o di reset) Td Costante di tempo dell’azione derivativa
I termini derivativo e/o integrale possono essere assenti:
Regolatore PI, Regolatore PD, Regolatore P
¥
iKE Toke Ekg KI
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PID
• Funzione di trasferimento
2 zeri a parte reale negativa, 1 polo nell'origine sistema improprio, non fisicamente realizzabile
• Simile ad una rete di anticipo
• N = 5 20 per posizionare il polo all'esterno della banda di interesse.
• PID in forma reale: la derivata è sostituita dal termine:
Il polo reale in –N/Td modifica un po' la posizione degli zeri, ma per valori di N sufficientemente elevati la variazione può essere trascurata
UGH Ras G)
=he EM
t¥ Ecs )
t
Kp
ToSEG )
"
¥
-'felt
-
00 ⇐
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PID – Casi particolari
• Regolatore P
• 1/Ti=0; Td=0
• allarga la banda
• aumenta il guadagno a bassa frequenza
• riduce il margine di fase
• usato per processi asintoticamente o semplicemente stabili quando le prestazioni statiche non richiedano elevati guadagni e l'uso di un azione integrale
• Regolatore PI
• Td=0
• rete di ritardo con polo nell’origine e zero in –1/Ti
• molto diffusi a livello industriale
• soddisfacimento delle specifiche statiche (integratore)
• facilità di taratura per semplici processi (1° ordine + ritardo)
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PID – Casi particolari
• Regolatore PD
• 1/Ti=0
• rete di anticipo con lo zero in s=-1/Td ed il polo reale fuori banda (all’infinito nel caso reale)
• usato quando non vi siano problemi di instabilità o di prestazioni statiche, ma sia necessario allargare la banda passante
Caso ideale Caso reale
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatore PID completo
• rete a sella: 1 polo nell'origine (+ 1 polo ad alta frequenza) e 2 zeri
• zeri reali se Ti 4Td
• zeri coincidenti (in s = -1/ 2Td) se Ti = 4Td
• scelta spesso comoda per la taratura
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
-50 0 50
-100 0 100
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
ideale
ideale
reale
reale
Dispose aperiodic
rn
Senta pdr after
wipe
onserology ⑧¥ > ZE
est
[ ref
=Sloe
Mf E Doe
wish
.s
MFI Boo
Ge
rise
ME
ICA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Aspetti realizzativi delle azioni derivative
e +
+
+ u
1/TIs
Kp
s PID
N T 1
s T
d - d
ysp +
y
Struttura classica
limitazione della azione di controllo la f.d.t. di anello è la stessa nei 2 casi
Struttura con azione derivativa solo sulla uscita
e +
-
+ u
1/TIs
Kp PID -
ysp +
y 1 T N s
s T
d d
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PID - Esempio
• Impianto:
Sintesi per cancellazione:
10-1 100 101
Frequency (rad/sec) -50
0 50
Gain dB
-60 -90 -120 -150
Phase deg-180
10 -1 100 10 1
c 0.78
MF 50°
o
'
⇒ e
G
.CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PID - Esempio
• Comportamento delle diverse azioni derivative
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 5 10 15
Time (s)
uscita impianto
0 5 10 15
0 5 10 15
Time (s)
uscita regolatore derivata dell'errore
derivata dell'uscita Impianto:
c 0.78
MF 50°
P
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Effetto del rumore di misura
• azione derivativa reale:
• polo in -N/Td
0 5 10 15
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Misura rumorosa uscita del derivatore N = 20
-5 0 5
0 5 10 15
Time (s)
N = 5
-5 0 5
0 5 10 15
Time (s)
Impianto:
0
a a
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PID
• Problemi causati dalla saturazione dell'attuatore
• controllo applicato all'impianto da quello generato dal regolatore
• rallentamento nella risposta
-uM G(s)
uM
ysp + R(s) -
e u m y
µvI
÷⇒④
U > UMwe
-Um
Regolatori PID
• Problemi causati dalla saturazione dell'attuatore
• controllo applicato all'impianto da quello generato dal regolatore
• eccessivo “caricamento” dell'azione integrale
• rallentamento nella risposta
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t [s]
umax -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Con saturazione
u(t)y(t), e(t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
t [s]
u(t)
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y(t), e(t)
Senza saturazione
2
errore uscita
controllo
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
-uM uM
Regolatori PID
• Problemi causati dalla saturazione dell'attuatore
• schema di desaturazione per regolatori PID
G(s) Kp
ysp +
-e u + + m + - y
la desaturazione non interessa l'azione derivativa sull'uscita
modello della saturazione
-uM uM z
in regione lineare fdt PI
u m
-
^
.
-
\
- -
- - - - -
-
"
,
l
Cant
u - is inthe
linear
the .five
'
YC ⇒
=1- Eels )
1-
-ti
=
LISI
Krp EB )
STI
Gotz
Sin Iep > o eblame
positive
E .V.
isthan greater
Un
. .=D
m . Um(
istatnrates)
=D 2- =
In
an7+55
Lived
Z →Un
cm
be deneuve
diursrreue
del pine aidhne
Se
pai g courtier
. disegue
,centre
Wahledisque
ehe variable
.V=9t M
Gabbana
e siellouiaue de
Un
.CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PID
• Problemi causati dalla saturazione dell'attuatore
• desaturazione dell'azione integrale
appena l'errore cambia di segno, l'azione di controllo si desatura
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t [s]
u(t)
umax -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y(t), e(t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t [s]
u(t)
umax -0.5
0 0.5 1 1.5
y(t), e(t)
Con saturazione Con desaturazione
NI : per toter
Prepare
wePID in alelllo
din
seco
comepeace ie antone
Ad altraresaeet 85
Se Lcs )
e ' em te so ,pole
eled poseur
⇒
Se
..
8 hdl 38hL
>Si Ina die
eefare i
- noe
si pne
'
fan
atween
a-18
eI anthem
sufficient )
PID – Forma Standard ISA
• È una generalizzazione della legge di controllo del PID, frequentemente utilizzata nei regolatori commerciali.
• Viene anche denominata forma pesata, con peso su set-point e misura.
• Per b=1, c=1 si ottiene la forma standard del PID
• Permette di ottenere funzioni di trasferimento diverse (e quindi risposte diverse) tra ingresso di set-point e disturbo sull’uscita e l’uscita stessa
• l’acronimo ISA sta per International Society of Automation (originariamente nota col nome di Instrument Society of America)
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
+ mpg *TD
modify
b = Ic- - I
f
-
f
e =Ysp
-
y
Oa O
--
UVA
=kpbyspeTbcdbIf#
tµ
=Kp ( by sp
-
K plug )
+ Kp
uFights
.
.
hp
-
Fs Y
+
PTOSKPC Ys p
-
Tos try
• Realizza un regolatore a due gradi di libertà: l’elaborazione del set- point e dell’uscita sono diverse. Ciò permette di aggiustare in modo indipendente le risposte al set-point ed ai disturbi di carico.
PID – Forma Standard ISA
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
+
- +
I parametri b e c consentono di fissare gli zeri della funzione di trasferimento tra set-point e
uscita
-
a
O
Feedforward
Mz
-I
REA-feedba-e.lk
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Metodi di taratura mediante tabella (tuning)
• Sono metodi di taratura “convenzionali” spesso adottati in pratica per tarare strutture di controllo PID per sistemi industriali con poli reali.
Esistono due diverse “filosofie” di taratura che si differenziano dal tipo di descrizione del sistema controllato:
• Metodi ad anello aperto
Si basano sull’approssimazione del sistema controllato con un sistema del primo ordine con ritardo
• Metodi ad anello chiuso
Si basano sulla conoscenza dedotta per via sperimentale, del margine di ampiezza del sistema e della frequenza caratteristica f dove arg( f)=-180o
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Tuning in anello aperto
• Concetto base
• il metodo si applica a processi industriali con risposta aperiodica (poli reali) molto diffusi
• si approssima l'impianto con un modello del 1° ordine con ritardo
• si entra in opportune tabelle costruite per garantire
• la tipologia della risposta in retroazione (Ziegler-Nichols,…)
• il soddisfacimento di opportuni indici integrali sull'errore:
ISE IAE ITAE
←
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Tuning in anello aperto
• Costruzione del modello
• con ingresso a gradino unitario si registra la risposta
• la si approssima con una f.d.t. del 1° ordine con ritardo, ricavando
• il guadagno statico dall’andamento asintotico
• Il ritardo T e la costante di tempo del polo dal calcolo della tangente nel punto di flesso della risposta sperimentale
T t
Punto di flesso
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Tuning in anello aperto
• Tabelle per il tuning in base alla risposta desiderata
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Tuning in anello aperto
• Tabelle per il soddisfacimento di indici integrali:
• IAE (Integral Absolute Error)
• ITAE (Integral Time Absolute Error)
• Basate sul modello dell’impianto
Errore in retroazione a fronte di ingresso a gradino
er
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Tuning in anello chiuso
• Metodo di Ziegler-Nichols
• Attivando la sola azione proporzionale, si porta il sistema al limite della
stabilità (oscillazioni permanenti)
• In questo modo viene stimata la dinamica dell’impianto
Plant
• Si determina il periodo T* delle oscillazioni ed il valore critico K* del guadagno per cui tali oscillazioni si verificano.
• Attraverso questo esperimento si determina
• Margine di ampiezza dell’impianto:
• Pulsazione dell’impianto ( ):
Sma
-98dL
k heBig
. a--
-
rn
MR
1-7=25
.f
TE f
w *
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Tuning in anello chiuso
• A partire dei valori di k* e T* si determinano i parametri del controllore
La procedura non si applica a sistemi che hanno Ma infinito
←
→ -
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Metodi di taratura nel dominio della frequenza
• Formulazione dei regolatori standard sotto forma di costanti di tempo
a
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PI
• Dai diagrammi di Bode si nota che complessivamente l’effetto utile del regolatore PI è quello di attenuare ad alta frequenza di una quantità che può essere scelta ad arbitrio modificando la pulsazione di intervento dello zero senza sfasare (sfasamento negativo trascurabile ad alta frequenza)
• Il PI si comporta come una rete di ritardo
-20 0 20 40 60
Magnitude (dB)
10-2 10-1 100 101 102 103
-90 -45 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
PI
:@UtJ@
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
• La taratura nel dominio delle frequenze può essere eseguita scegliendo
opportunamente la costante di guadagno e la posizione dello zero al fine di imporre un certo margine di fase e una certa pulsazione di incrocio per il sistema esteso
• Dati del problema:
• Sistema esteso Ge(s)
• Pulsazione di attraversamento c* e margine di fase Mf*
• Algoritmo per la taratura del PI
Regolatori PI: regole di taratura
Step1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode) Step2: Calcolare l’anticipo di fase necessario per soddisfare la
specifica su M*f
Step3: Calcolare il valore di z che garantisce lo sfasamento
=
.
O
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PI: regole di taratura
• La calibrazione del PI posiziona uno zero a frequenza minore rispetto a quella di attraversamento, producendo possibili code di assestamento o sovraleongazioni maggiori rispetto a quelle preventivate
Step4: Valutare il valore di amplificazione introdotto dallo zero alla pulsazione c*
Step5: Calcolare in modo che c* diventi la nuova pulsazione
di incrocio
€
L-yurprs.GE
u
- -tears ¥⇒
, ,CA 2018‐2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PI: taratura in cancellazione
• Anche la taratura del PI può essere svolta per cancellazione tra lo zero e un polo dell’impianto a frequenza inferiore rispetto a c*
• Rimane in questo modo un unico grado di libertà ( ) utilizzabile per imporre arbitrariamente c* (caso a) oppure Mf* (caso b)
• Algoritmo
Step1: Fissare z in modo che lo zero del PI cancelli un polo di G(s) Step2a: Data c* e
fissare
Step2b: Identificare la frequenza * per cui Ge(s) presenta una fase compatibile con Mf* (cioè )
e fissare
s
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PID
• Rispetto ai PI presentano uno zero aggiuntivo (e un polo per la realizzabilità fisica).
• Possono essere visti come l’unione di un regolatore PI e di una rete anticipatrice
• L’aggiunta della rete anticipatrice (e quindi dello zero legato all’azione derivativa) permette di migliorare il margine di fase (allargando la banda)
• Per la taratura si procede dapprima considerando il solo PI e poi aggiungendo la rete anticipatrice
PI Rete Anticipatrice
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PID
• Rispetto ai PI presentano uno zero aggiuntivo (e un polo per la realizzabilità fisica).
• Possono essere visti come l’unione di un regolatore PI e di una rete anticipatrice
• L’aggiunta della rete anticipatrice (e quindi dello zero legato all’azione derivativa) permette di migliorare il margine di fase (allargando la banda)
• Per la taratura si procede dapprima considerando il solo PI e poi aggiungendo la rete anticipatrice
PI Rete Anticipatrice
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PID
• Rispetto ai PI presentano uno zero aggiuntivo (e un polo per la realizzabilità fisica).
• Possono essere visti come l’unione di un regolatore PI e di una rete anticipatrice
• L’aggiunta della rete anticipatrice (e quindi dello zero legato all’azione derivativa) permette di migliorare il margine di fase (allargando la banda)
• Per la taratura si procede dapprima considerando il solo PI e poi aggiungendo la rete anticipatrice
PI Rete Anticipatrice
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori PID
• Rispetto ai PI presentano uno zero aggiuntivo (e un polo per la realizzabilità fisica).
• Possono essere visti come l’unione di un regolatore PI e di una rete anticipatrice
• L’aggiunta della rete anticipatrice (e quindi dello zero legato all’azione derivativa) permette di migliorare il margine di fase (allargando la banda)
• Per la taratura si procede dapprima considerando il solo PI e poi aggiungendo la rete anticipatrice
PI Rete Anticipatrice
snake
PIC Gcs Is )
=(
Str) 1-
-11 ① deferent compute Valiance controlled il 's rave
re)
bTmeeIcFEE÷⇒
⑦ WE
= .Bradtke
.
Ef Mfd
=500
eSfeafiae
Iconsider
aPE
:Gels ) 1-
SC
Sti) @
is -11)
vedi Bode a) f- I
- I ,
odb
I I I
* - I -
=3
-lie
I
Gets 3) I =L
-3 Atlee
=
1-
= O . Iolestiffs
Arg be G- 3)
=-
9
o e -atom 3
-
atom
D B =-178.26
4-
= - Ibe
tME
-f 178
. 26)
= 48 .
26
Zz
=tanc98.26.gg
3
= A . I 26
3-
=P . 37
Me
- -EEE
=¥125
=1.5022
-
=⇐¥iEo÷¥¥ t
Tt
=O
.3727
M
=6
.5910
Rpt =/ Chief
S
=
6.5910 (1+0.37275)
-
S
G
C Stool )
fst tegulae update Dean .EE#EE 2) ⇐ I' Ha attenuation d il 5)
ntale Ed Kuo
.) dilouolte di
( distichs smseidde
¥*fetw¥osra
,
"
←
Ri due time hi he
voltedi
umdisturbed
a Je
rays
r
-
Ta E f. 25
Twu E
i. z¥
.'w in
3 3-
- =3.51
8.
i. 2 -et I
CSI e 5%
→870.7
→
nf7
* i
/ WE HMfa= :D
= .Grady's # to
D Integrate
Gels )=1oes(
Stool)GtJ)GtIo )
"
,
Geoff )=l⇒
feolsot )l=e¥= toe
a
46lb
Traci
areBode
¥1
It
,.
Mette be the del
PI in cancellate
con il plein
O
.I
)Tt=f7
267M .to#.Gls7vefliekLJwdd/
710
to
. 3is
--I
ILG wat 'll
-145dB )
I =u
.toooo
.
staffer
=
µ 66.5171 7 to
n
>0.153
t
4sk160@Sfst57CStleJaroe-4aIkts47kIEEi.r
...
.=e¥¥
=
0
. .55
Arg t CJ 4)
=-
go
e .alan
If
-
alan ¥
= -Ko
.blah
Af =L wk
=t7④ '
o%::::
.58 *
aul-wpah.ie
-
L
=0.1187
he
- -0.3597
Ra
=0.35875€
0.042575-17
-
Rp
no.pk lessee 0.3587hL
-0.06257N
Kp=p I
I itThou )
Ti I TH t Tt L - .
Til
=Zein
. -Tea
Tt rt Izu
N
- -T.de/tI
Ge
-s
( St
o . s) At 5) Ht
I o)
w
I
=4
ralls
tf
- -75
-I
Ge CJ w : ) f e
re98
Arg foe C Jw : ) )
- - 219I I
I E-
-H
a er I
-L
- U 9 .B)
= I 14 e . 5 I
Zein di
, paid e-
he bisque di
htt
=the
.51
santy of
si put
us are inPI
o rienPls ?
A- aide
wePb
jade y ' i tropp grouse
+
9
.
|
.
,
"
-
'
-
.
=