Re R et t te t e p pa ar ra al ll le el le e in i nc ci id de en nt ti i s

R Re et tt te e e e p pi ia an n i i a af ff fi in ni i Al A ll li i ne n ea am me en nt to o

Re R et t te t e p pa ar ra al ll le el le e in i nc ci id de en nt ti i s

sg gh he em mb be e d di i R R ^{3 3}

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.6 16 aprile 2009

ESERCIZIO1.

Rette di R ³ non passanti per l’origine a) Trovare le equazioni parametriche per la retta r di

R ³ passante per i pti A(2,4,7), B(-1,-3,5).

b) Esprimere i pti di r nella forma u+ S , con u ∈R ³ , S sottospazio di R ³ .

c) Trovare le equazioni cartesiane di r.

a)

A-B = (2-(-1),4-(-3),7-5 ) = (3,7,2) ( = v per l’origine) P(x,y,z) sta sulla retta per A e B

⇔ ∃ t∈R t.c. P-B= t (A-B)

⇔ (x+1,y+3,z-5) = t ( 3,7,2)

⇔ _⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

=

−

= +

= +

t z

t y

t x

2 5

7 3

3 1

⇔ _⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

+

=

−

=

−

= 5 2

3 7

1 3

t z

t y

t x

t∈ R

(B-O)+(A-B)= (A-O) Equipollenza aiutaci tu!

… A-B= v

Rappres. Param. della retta r per A e B

S

u v

P

O B

A

B ′starting point′ di r

Vettore direzionale di r

b) r: _⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

+

=

−

=

−

= 5 2

3 7

1 3

t z

t y

t x

Ogni pto P della retta per A e B si ottiene come somma di B(-1,-3,5) (= B-O ) ∈ r e di un vettore sulla retta passante per O e parallela alla retta AB, ossia : P = B+ S con S sottospazio di R ³ ,

generato da B-A= (3,7,2)

⇒ S = <(3,7,2)> è la giacitura di r

Per passare dalla forma parametrica a quella cartesiana Con l’aiuto di Kronecker : P-B= t (A-B)

ρ _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + + −

2 7 3

5 3

1 y z

x =1 che equivale a :

(orlando un qualsiasi minore non nullo di ordine 1, ad es. 3)

7 0 3

3

1 + =

+ y

x e ^x ₃ ^{+ 1 z} ₂ ^{− 5 = 0} ⇒

⎩ ⎨

⎧

= +

−

=

−

−

0 17 3 2

0 2 3 7

z x

y

x

¾ Oppure possiamo eliminare l’unico parametro ( dim (retta affine) = dim S ( giacitura) = 1 ) individuando le n-d ( n= dim R

³

=3 ) equazioni indispensabili : 3-1 =2 ( cfr. Esercizio 2. II Modo)

⇒

⎩ ⎨

⎧

−

=

−

=

−

17 3

2

2 3 7

z x

y

x è la rappresentazione cartesiana di r

ESERCIZIO 2.

Rette di R ⁵

Sia dato il sistema lineare

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

= +

−

=

−

=

−

=

0 1 5

0 2

1

4 2

5 2

3 1 1

x x

x x

x x x

.

a) Provare che l’insieme delle soluzioni del sistema rappresenta una retta affine r di R ⁵ ( spazio affine di dimensione 1).

b) Verificato che P(1,-1,1,-1,1) non è pto di r, determi- nare in forma cartesiana l’unica retta s parallela ad r e passante per P.

a) Anche senza fare uso della caratterizzazione degli spazi affini tramite i sistemi lineari, possiamo direttamente provare che risulta r: Q+ S

Il vettore soluzione del sistema è (1, x ₂ , 2, -x ₂ , 5x ₂ +1) che può essere scritto così:

(1,0,2,0,1)+ x ₂ (0,1,0,-1,5)

E questa è la rappresentazione dello spazio affine (1,0,2,0,1) + <(0,1,0,-1,5)>

Pto ( di partenza ) di r Sottospazio di dim 1 :

Giacitura della retta affine

b) r :{(1, x 2 , 0, -x ₂ , 5x ₂ +1) ∈R ⁵ al variare di x ₂ in R } P (1,-1,1,-1,1)∉ r : non esiste nessun x 2 che vada bene!

Proviamo che il fatto è ancora vero in R ⁵ !

Sappiamo che due rette affini sono parallele se hanno la stessa giacitura.

Allora è immediato individuare s:

P + D(r ) = (1,-1,1,-1,1) + <(0,1,0,-1,5)>

= (1,-1,1,-1,1) + t (0,1,0,-1,5)

⇒

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

+

=

−

−

=

= +

−

=

=

t x

t x

x

t x

x

5 1

1 1

1 1

5 4 3 2 1

al variare di t in R :

Eliminiamo il parametro t :

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+

=

−

= +

=

=

6 5

2 1 1

2 5

4 2 3 1

x x

x x x x

P

r

s Nel piano euclideo il fatto è vero : è il V postulato di Euclide !

rappresentazione parametrica della retta s

rappresentazione cartesiana della retta s

ESERCIZIO 3.

Allineamento di punti Stabilire se i seguenti pti sono allineati e in ciascun caso determinare equazioni parametriche e cartesiane di un insieme affine che contiene i pti:

a) A(2,3,-4), B(3,7,2), C(4,11,8) b) D(1,-1,-10), E(2,4,-5), F(3,8,3).

a)

ρ ₂ ¹ ₈ ⁴ ₁₂ ⁶ ⎟⎟ ^{= 1}

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

sì ! A,B,C sono allineati, un insieme

affine contenente A,B,C è ad. esempio la retta affine passante per A, B ( è l’insieme affine di dim. minima che contiene A,B,C )

X= A+t(B-A) con X=(x,y,z), A(2,3,-4),B-A = (1,4,6)

A : A + S = A+<(1,4,6)> = {(x,y,z)∈R ³ |

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+

−

= +

= +

=

t z

t y

t x

6 4

4 3 2

, t∈R}

Forma parametrica di A B

C

A

A(a

1

, a

1

, a

1

), B(b

1

, b

2

, b

3

),C(c

1

, c

2

, c

3

) A,B,C allineati ⇔B-A=t(C-A), t∈R

⇔ρ ¹

3 3 2 2 1 1

3 3 2 2 1

1

⎟⎟ ⎠ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

a c a c a c

a

b

a

b

a

b

Osservare che:

t= 0 A , t= 1 B , t= 2 C

(un altro modo di verificare che A,B,C sono allineati:

determinare la retta r per A e B e verificare poi che C∈r : metodo molto laborioso !).

Ora determiniamo la forma cartesiana della retta A come prima … si trova

⎩ ⎨

⎧

=

−

=

− 16 6

5 4

z x

y

x .

b) D(1,-1,-10), E(2,4,-5), F(3,8,3).

E-D= (1,5,5), F-D= (2,9,13) ρ ₂ ^{1 5} _{9 13} ⁵ ⎟⎟ ⎠ ^{= 2}

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ (E-D, F-D sono L.I. )

⇒D,E,F non sono allineati ⇒ individuano un piano π

Se E=(e

₁

, e

₂

), D(d

₁

, d

₂

) si ha : E-D= (e

₁

-d

₁

, e

₂

-d

₂

) E allora ne segue : E′ = (e

₁

-d

₁

, e

₂

-d

₂

) , idem per F-D … E′-O , F′-O individuano il piano detto giacitura del piano π

F′

E′

O

F

E D

il vettore parallelo a E-D e passante per l’origine è E′-0 e in termini di equipollenza E′-0 = E-D ( stessa direzione, verso e lunghezza )

• La giacitura di uno spazio affine A è un sottospazio vettoriale

( quindi passa sempre per l’origine !)

Qui è il luogo di tutte le direzioni (delle rette) del piano affine.

• La dimensione di uno spazio affine è per def. la dimensione del sottospazio vettoriale D( A ^).

La figura di questa pagina è tratta da Tom M. Apostol – Calculus – vol.I

• u= E-D= (1,5,5), v= F-D= (2,9,13) generano il piano S =<u,v> ( giacitura di π )

• il piano affine π passante per D,E,F è {D+ S }

♦ Per ottenere una sua rappr. param. si pone:

(x,y,z)=(1,-1,-10)+ r(1,5,5)+t(2,9,13)

⇒ π :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+ +

−

=

+ +

−

= + +

=

t r z

t r y

t r x

13 5 10

9 5 1

2 1

al variare di r,t in R

♦ Per ottenere la sua rappr. cartesiana si eliminano i parametri r , t e si ottiene l’equazione ( a meno di multipli) di π [ (3-2) equazioni ]

♦ Altrimenti … (x,y,z)- (1,-1,-10) = (x-1,y+1,z-10) È C.L. di (1,5,5) , (2,9,13)

E quindi

⁰

13 9

2

5 5

1

10 1

1

= + +

− y z

x

⇒ π: 20x-3y-z=33

ESERCIZIO 4.

Rette parallele, incidenti, sghembe In ciascuno dei seguenti casi stabilire se le rette sono parallele, incidenti o sghembe, e nel caso, in cui siano complanari, determinare l’equazione cartesiana del piano che le contiene.

a) r :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ +

=

−

= +

= t z

t y

t x

2 2 1

, s:retta passante per A(2,-1,0),B(0,-4,-1) b) r:

⎩ ⎨

⎧

=

− +

= + +

−

0 1 2 5

0 1 3 3 3

z x

z y

x , s:

⎩ ⎨

⎧

= + +

=

− +

−

0 1 2 5

0 1 3 3 3

z x

z y x

c) r: {(x,y,z)| (x,y,z)=(-1,0,2) +S, con S =<(0,1,0)>}, s: ⎩ ⎨ ⎧

= +

−

=

− +

2 6 2 2

z y

z y

x .

D A RICORDARE

Date A

₁

, A

₂

rette di R ³ , S ₁ = D(A

₁

), S ₂ = D(A

₂

) le loro giaciture, diciamo

- A 1 // A ₂ ( paralleli ) se S ₁ = S ₂ - A ₁ , A ₂ incidenti se A ₁ ∩ A ₂ ≠ ∅

^(*)

- A 1 , A ₂ sghembe se A ₁ , A ₂

non sono né parallele, né incidenti

A ₁

A ₂

(*)

A

₁

∩ A

₂

≠ ∅ e

A

₁

// A

₂

=> A

₁

e A

₂

coincidenti

a) r :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ +

=

−

= +

= t z

t y

t x

2 2 1

, s:retta passante per A(2,-1,0),B(0,-4,-1) Controlliamo se per caso A o B stanno su r :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ +

=

−

=

− +

= t t

t 2 2 0

1 1 2

: No, non esiste t che soddisfi le tre eq. ⁿⁱ

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+

=

−

−

=

− +

=

t t t

2 2 1 4

1 0

: No, non esiste t che soddisfi le tre eq. ⁿⁱ

… peccato, i dati non ci forniscono informazioni immediate ! r : (1,0,2)+<(1,-1,2)> ⇒ S 1 = D(r)=<(1,-1,2)>

Per s : B-A= (-2,-3,-1) ⇒ S 2 = D(s)=<(-2,-3,-1)>

Le due giaciture S 1 , S 2 sono distinte,(i generatori sono L.I.) quindi r ed s NON sono parallele.

Studiamo l’incidenza :

s: (2,-1,0)+k(-2,-3,-1), r : (1,0,2)+t(1,-1,2) Il pto generico di s è P(2-2k,-1-3k,-k).

Il pto generico di r è Q(1+t,-t,2+2t).

L’eventuale pto a comune dovrà soddisfare la con- dizione (2-2k,-1-3k,-k)= (1+t,-t,2+2t), che si traduce nel

sistema

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+

=

−

−

=

−

−

+

=

−

t k

t k

t k

2 2 3 1

1 2 2

.

Dobbiamo stabilire se esiste un valore di t e un valore di k che soddisfano il sistema.

Si può procedere per sostituzione in questo caso :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+

=

−

−

= + +

−

+

= + +

t k

t t

t t

2 2

) 2 2 ( 3 1

1 ) 2 2 ( 2 2

⇒ _⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

+

=

−

−

=

−

=

t k

t t

2 2 7 5

3 5

⇒

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

+

=

−

=

−

=

−

t k

t t

2 2 7 5 3 5

Assurdo !

Quindi r ed s NON sono incidenti, e non essendo neppure parallele, concludiamo che r ed s sono sghembe, e quindi non complanari ( non esiste nessun piano che contiene sia r che s).

b) r:

⎩ ⎨

⎧

=

− +

= + +

−

0 1 2 5

0 1 3 3 3

z x

z y

x , s:

⎩ ⎨

⎧

= + +

=

− +

−

0 1 2 5

0 1 3 3 3

z x

z y x

I sistemi omogenei associati ci danno la rappresentazione cartesiana delle giaciture ! …

Digressione ! utile per la parte b) dell’esercizio in corso

T EOREMA F ONDAMENTALE

• Sia dato il sistema lineare AX=b di m eq. ⁿⁱ ed n incognite

con A matrice mx n, X=

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

x

n

x x

. .

2 1

, b =

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

b

m

b b

. . .

2 1

.

Se il sistema ammette soluzioni, allora l’insieme di tutte le soluzioni è del tipo

u+S, con u soluzione di AX=b, S insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato AX=0.

Ossia le soluzioni di AX=b formano un sottoinsieme affine A di R ⁿ , t.c. u∈ A è soluzione particolare di AX=b, e la giacitura di A è l’insieme delle soluzioni di AX=0.

• E viceversa il sottoinsieme affine A di R ⁿ di dimensione s è l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare AX=b di n-s equazioni ed n incognite.

¾ Finire la parte b) e c) dell’esercizio