MarcelloColozzo L’oscillatorearmonicoinMeccanicaClassica MatematicaOpenSource

Quaderni di Meccanica Razionale – 2018

L’oscillatore armonico in Meccanica Classica

Marcello Colozzo

1 Processi oscillatori ideali 2

1.1 Oscillazioni libere . . . 2

1.2 Oscillazioni forzate. Il fenomeno dei battimenti . . . 6

1.3 Lo spazio delle configurazioni . . . 14

1.4 Risonanza . . . 19

1.5 Forza periodica ma non sinusoidale. Sviluppo in serie di Fourier . . . 22

1.6 Forze variabili nel tempo (oscillatore armonico). Forme d’onda (circuito elettrico) 28 1.7 Oscillatore anarmonico . . . 31

2 Oscillazioni smorzate 35 2.1 Caso aperiodico (b > bcrit) . . . 36

2.2 Caso critico (b = b_crit) . . . 38

2.3 Caso oscillatorio smorzato (b < bcrit) . . . 41

2.4 Implementazione in Mathematica . . . 44

2.5 Oscillazioni forzate. Risonanza. . . 46

2.6 Oscillatore di Riemann . . . 56

Bibliografia . . . 60

1

Capitolo 1

Processi oscillatori ideali

1.1 Oscillazioni libere

Definizione 1 L’oscillatore armonico unidimensionale `e un sistema meccanico com- posto da un punto materiale di massa m che pu`o muoversi su un piano orizzontale dove `e vincolato a una molla ideale di massa nulla.

Fissiamo un riferimento cartesiano (Ox) con l’asse x contenuto nel piano orizzontale che sia parallelo all’asse della molla e orientato nel verso dell’allungamento di quest’ultima, come illustrato in fig. 1.1. . Se allunghiamo la molla di una quantit`a x (che per quanto precede `e

Figura 1.1: Oscillatore armonico

> 0), sul punto agisce una forza elastica di richiamo:

F = −kxi, (1.1)

dove i `e il versore dell’asse x (cfr. fig. 1.2), mentre k > 0 `e lacostante elasticadella molla.

Se il punto materiale rimane in quiete significa che stiamo applicando una forza:

F^′ = −F = kxi (1.2)

necessaria per allungare la molla della quantit`a x. Se all’istante t = 0 rimuoviamo la forza F^′ e se non sono presenti forze di attrito o resistenze passive, sul punto materiale agisce la sola forza elastica. In tal caso il secondo principio della dinamica si scrive:

m¨xi = −kxi (1.3)

da cui otteniamo l’equazione scalare

m¨x = −kx, (1.4)

2

O x F

®

=-k x i

®

Figura 1.2: Forza di richiamo elastica agente sull’oscillatore armonico unidimensionale.

ovvero l’equazione differenziale

¨

x + ω₀²x = 0, (1.5)

avendo definito la grandezza:

ω0 = rk

m, (1.6)

con le dimensioni dell’inverso di un tempo e che si chiama – per una ragione che appa- rir`a chiara in seguito – pulsazione o frequenza angolare dell’oscillatore. L’evoluzione dinamica dell’oscillatore `e dunque governato dal seguente problema di Cauchy:

 x + ω¨ ₀²x = 0

x (0) = A, ˙x (0) = v0 , (1.7)

dove A > 0 `e l’allungamento iniziale della molla, e v<sub>0</sub> la velocit`a iniziale con cui il punto materiale viene rilasciato dopo che abbiamo allungato la molla. L’equazione differenziale dell’oscillatore armonico `e un’equazione differenziale del secondo ordine omogenea e a coef- ficienti costanti, per cui applichiamo il procedimento standard per la ricerca dell’integrale generale. Precisamente, l’equazione caratteristica `e

λ²+ ω₀² = 0, (1.8)

da cui le radici complesse coniugate

λ = ±iω⁰ (1.9)

E quindi l’integrale generale

x (t; C1, C2) = C1e^−ιω0t+ C2e^iω0t (1.10) Per la formula di Eulero

e^±iω0t= cos ω0t ± ±i sin ω⁰t, (1.11)

per cui

x (t; C1, C2) = (C1+ C2) cos ω0t + i (C1− C²) sin ω0t (1.12) Se ora poniamo

K1 = C1+ C2, K2 = i (C1− C²) , si ha

x (t; K1, K2) = K1cos ω0t + K2sin ω0t, (1.13) che pu`o essere messa in una forma pi`u intuitiva, eseguendo il cambio di costanti di integra- zione:

(K₁, K₂) → (B, ϕ) (1.14)

tali che

K1 = B cos ϕ, K2 = −B sin ϕ (1.15)

L’integrale generale diventa

x (t; B, ϕ) = B cos (ω0t + ϕ) (1.16) Imponiamo le condizioni iniziali

 x (0; B, ϕ) = A

˙x (0; B, ϕ) = v0 ⇐⇒

 B cos ϕ = A

−ω⁰B sin ϕ = v0 (1.17)

L’unica soluzione di tale sistema di equazioni `e B =

s

A²+ v²₀

ω²₀, ϕ = − arctan v0

Aω0

(1.18) Ne concludiamo che l’equazione oraria dell’oscillatore armonico `e:

x (t) = s

A²+ v²₀ ω₀² cos



ω0t − arctan v0

Aω₀



(1.19) che `e funzione periodica di periodo

T = 2π ω0

,

e quindi frequenza angolare ω0. L’ampiezza delle oscillazioni `e s

A²+ v²₀ ω₀²

mentre la fase `e pari a ϕ. Nel caso di velocit`a iniziale nulla:

x (t) = A cos ω0t, (1.20)

graficata in fig. 1.3. L’ampiezza delle oscillazioni si chiama elongazione dell’oscillatore.

La velocit`a si ottiene immediatamente derivando la funzione x (t):

v (t) = −ω⁰ s

A²+ v₀² ω²₀ sin



ω0t − arctan v0

Aω0



, (1.21)

che per v0 = 0 si snellisce in

v (t) = −ω0A sin ω₀t,

che pu`o essere graficata assieme all’ascissa, ottenendo il diagramma di fig. 1.4.

2 Π Ω0 Π

Ω0

3 Π 2 Ω₀ Π

2 Ω₀

t

-A A x

Figura 1.3: Diagramma orario di un oscillatore armonico di pulsazione ω0 inizialmente allungato di A e rilasciato a velocit`a nulla.

2 Π Ω0 Π

Ω0

3 Π 2 Ω₀ Π

2 Ω₀

t

-A A

-Ω₀A Ω₀A

x,v

Figura 1.4: Ascissa e velocit`a di un oscillatore armonico unidimensionale in condizioni di idealit`a.

1.2 Oscillazioni forzate. Il fenomeno dei battimenti

Applichiamo al sistema studiato nella sezione precedente, una forza dipendente dal tempo secondo la legge:

F (t) = F^Mcos Ωt (1.22)

Il secondo principio della dinamica fornisce

¨

x + ω₀²x = FMcos Ωt, (FM

def= F^M

m ) (1.23)

che `e un’equazione differenziale del secondo ordine non omogenea e a coefficienti costanti.

Dalla teoria sappiamo che in tal caso l’integrale generale si ottiene sommando a un integrale particolare x1(t) l’integrale generale dell’equazione omogenea associata:

¨

x + ω₀²x = 0, che pu`o comunque essere messo nella forma:

x (t) = A cos (ω₀t + ϕ) (1.24)

Un integrale particolare dell’equazione completa pu`o scriversi:

x1(t) = B cos Ωt (1.25)

“Forziamo” questa funzione affinch`e soddisfi l’equazione da risolvere:

˙x1(t) = −ΩB sin Ωt, ¨x¹(t) = −Ω²B cos Ωt, che sostituite nella (1.23):

−Ω²B cos Ωt + ω²₀B cos Ωt = FMcos Ωt, da cui l’ampiezza B

B = FM

ω₀²− Ω² Cio`e

x1(t) = FM

ω₀²− Ω² cos Ωt Finalmente l’integrale generale

x (t) = A cos (ω0t + ϕ) + FM

ω₀²− Ω² cos Ωt Imponendo le condizioni iniziali

x (0) = x0, ˙x (0) = 0, si ha l’ascissa dell’oscillatore in funzione del tempo:

x (t) = x0cos ω0t + FM

ω₀²− Ω² (cos Ωt − cos ω⁰t) (1.26)

Se x0 = 0:

x (t) = FM

ω₀²− Ω²(cos Ωt − cos ω⁰t) , (1.27) da cui vediamo che x (t) `e la differenza di due oscillazioni armoniche aventi la stessa ampiezza.

Precisamente:

FM

ω₀²− Ω² cos Ωt FM

ω₀²− Ω² cos ω0t

La prima oscillazione ha pulsazione Ω, mentre la seconda oscilla con la pulsazione caratteri- stica ω0. Si noti che deve essere

Ω 6= ω⁰

Nel caso contrario l’ampiezza delle oscillazioni presenta una singolarit`a. I corrispondenti periodi delle oscillazioni componenti sono:

T₁ = 2π

Ω, T₀ = 2π ω0

(1.28) Ne consegue che x (t) `e periodica se e solo se i periodi T1 e T0 hanno in comune un multiplo minimo. A titolo d’esempio supponiamo:

Ω = 3 rad s⁻¹, ω0 = 5 rad s⁻¹, cosicch`e

T1 = 2π

3 s , T0 = 2π 5 s che possono essere scritti come

T₁ = 10π

15 , T₀ = 6π

15 =⇒ T = 30π 15 = 2π Cio`e

x (t) = FM

16 (cos 3t − cos 5t) (1.29)

`e periodica di periodo 2π e quindi ha una pulsazione ω = 1 rad s<sup>−1</sup>. In fig. 1.5 `e tracciato il grafico della funzione (1.29).

Consideriamo ora l’oscillazione

cos πt − cos 5t, ovvero

Ω = π rad s⁻¹, ω0 = 5 rad s⁻¹ (1.30) per cui

T1 = 2 s, T0 = 2π

5 s (1.31)

Dal momento che (1.31) non hanno un multiplo minimo in comune, segue che l’ascissa:

x (t) = FM

25 − π²(cos πt − cos 5t) , (1.32)

2 Π Ω₀ Π

Ω₀

4 Π Ω₀ 3 Π

Ω₀

t x

Figura 1.5: Grafico di x (t) = ^F₁₆^M (cos 3t − cos 5t), da cui vediamo che `e periodica di periodo T = 2π.

2 Π Ω0 Π

Ω0

4 Π Ω0 3 Π

Ω0

5 Π Ω0

6 Π Ω0

t x

Figura 1.6: Grafico di x (t) = _25−π^FM2 (cos πt − cos 5t), da cui vediamo che non `e una funzione periodica del tempo t.

non `e periodica. Ci`o `e confermato dal grafico di fig. (1.6).

Svincoliamoci dalla differenza a secondo membro della (1.27) utilizzando le formule di prostaferesi:

x (t) = 2FM

ω₀²− Ω²sin ω0+ Ω 2 t



sin ω0− Ω

2 t



(1.33) Poniamo

ω1 = ω0+ Ω

2 , ω2 = |ω⁰− Ω|

2 (1.34)

Cio`e ω1 `e la media aritmetica delle frequenze angolari ω0 (frequenza caratteristica) e Ω (frequenza della forza esterna), mentre ω₂ `e il valore assoluto della loro differenza. Senza perdita di generalit`a supponiamo ω0 > Ω per cui

ω₂ = ω₀− Ω 2 e la (1.33) diventa:

x (t) = FM

2ω₁ω₁ sin ω1t sin ω2t (1.35) Per quanto precede `e ω₀ > Ω. Supponiamo, in particolare:

ω0 &Ω =⇒ ω¹ ∼ ω⁰, ω2 ≪ ω¹, (1.36) per cui

x (t) = A (t) sin ω1t, (1.37)

avendo definito

A (t) = F_M 2ω1ω2

sin ω2t (1.38)

La (1.37) `e un’oscillazione sinusoidale di pulsazione ω1, la cui ampiezza varia a sua volta con legge sinusoidale data dalla (1.38), ma con frequenza angolare ω2 molto pi`u bassa della ω1. Chiamiamo ω2 pulsazione di modulazione (di ampiezza) e ω1 pulsazione base. Abbiamo, dunque, una modulazione di ampiezza per ci`o che riguarda l’andamento dell’ascissa x (t) dell’oscillatore. Infatti:

|x (t)| = |A (t)| |sin ω¹t|

| {z }

≤1

, per cui

−A (t) ≤ x (t) ≤ A (t) , ∀t ∈ [0, +∞) (1.39) Ne consegue che

γx=

(t, x) ∈ R² | 0 ≤ t < +∞, −A (t) ≤ x ≤ A (t) ,

essendo γx il diagramma orario dell’oscillatore, i.e. il diagramma cartesiano della funzione x (t). Tale comportamento `e noto con il nome di fenomeno dei battimenti. Ad esempio, per ω0 = 100 rad / s e Ω = 90 rad / s, si ottiene l’andamento plottato in fig. 1.7.

Il fenomeno dei battimenti `e ben noto in acustica musicale quando si suona la stessa nota con due strumenti diversi non ben accordati tra loro. Nel caso appena visto, affinch´e si verifichi un battimento `e necessario che la frequenza base e la frequenza di modulazione siano molto diverse. In tal modo l’ampiezza dell’oscillazione risultante varia lentamente, dando l’impressione di essere quasi costante.

Mostriamo ora che il predetto fenomeno pu`o essere illustrato in generale, cio`e senza considerare grandezze che non siano necessariamente funzioni del tempo. Infatti, sussiste la seguente definizione:

2 Π Ω2 Π

Ω2

t x

Figura 1.7: Ascissa x (t) modulata in ampiezza. La frequenza caratteristica dell’oscillatore

`e ω0 = 100 rad / s, mentre la frequenza della sollecitazione esterna `e Ω = 90 rad / s. A tali valori corrispondono una frequenza di modulazione ω₂ = 5 rad / s e una frequenza base ω1 = 95 rad / s.

Definizione 2 Dicesi battimento una qualunque combinazione lineare di due funzioni sinusoidali di periodo T1 e T2 tali che

|T²− T¹|

T₁ < ε, con 0 < ε < 1 (1.40) Per fissare assumiamo

f1(x) = sin (ω1x) , f2(x) = sin (ω2x) (1.41) Sommiamo

f (x) = sin (ω1x) + sin (ω2x) (1.42) Per le formule di prostaferesi:

f (x) = 2 sin ω1+ ω2

2 x



cos ω1− ω²

2 x



= sin (ω^′₁x) + sin (ω^′₂x) (1.43) dove

ω₁^{′ def}= ω1+ ω2

2 , ω₂^{′ def}= ω1− ω²

2 per ω₁ > ω₂ (1.44)

In particolare assumiamo

ω₁ = 1 =⇒ T1 = 2π (1.45)

ω2 = λ . 1 =⇒ T² = 2π λ &T1

Segue

f (x) = A (x) sin (ω^′₁x) , (1.46)

dove

A (x) = 2 cos (ω₂^′x) , (1.47)

`e l’ampiezza dell’oscillazione risultante.

***

Abbiamo visto che comunque prendiamo due funzioni sinusoidali

f1(x) = sin (ω1x) , f2(x) = sin (ω2x) , con ω1 6= ω², (1.48) una qualunque combinazione lineare

c₁f₁(x) + c₂f₂(x) , c₁, c₂ ∈ R, (1.49)

`e un battimento se `e verificata la condizione

ω1 ∼ ω² (1.50)

Senza perdita di generalit`a

f (x)^def= f1(x) + f2(x) = 2 sin (ω^′₁x) cos (ω^′₂x) , (1.51) avendo applicato le formule di prostaferesi, per poi definire le nuove frequenze:

ω₁^{′ def}= ω1+ ω2

2 , ω₂^{′ def}= ω1− ω²

2 per ω1 > ω2 (1.52)

Segue

f (x) = A (x) sin (ω^′₁x) , dove

A (x) = 2 cos (ω₂^′x) , (1.53)

`e un inviluppo di modulazione se `e verificata la condizione

ω₂^′ ≪ ω1^′, (1.54)

cio`e se

ω1 ∼ ω² (1.55)

Supponiamo ora che f1(x) e f2(x) non siano funzioni sinusoidali, ma comunque periodiche e denotiamo con T1 e T2 i rispettivi periodi. Se tali funzioni verificano le condizioni di Dirichlet, possiamo scrivere i singoli sviluppi in serie di Fourier:

f₁(x) = a0

2 + X+∞

k=1

[a_kcos (kω₁x) + b_ksin (kω₁x)] , (ω₁ = 2π T1

) I coefficienti ak, bk sono dati da:

ak = ω1

π

2π/ω1

Z

0

f1(x) cos (kω1x) dx, k = 0, 1, 2, ... (1.56)

bk = ω1

π

2π/ω1

Z

0

f1(x) sin (kω1x) dx, k = 1, 2, ...

Per f2(x):

f2(x) = a^′₀ 2 +

X+∞

k=1

[a^′_kcos (kω2x) + b^′_ksin (kω2x)] , (ω2 = 2π T2

) (1.57)

con formule simili per i coefficienti di Fourier a^′_k, b^′_k. Ricordiamo che la somma f1(x) + f2(x)

`e una funzione periodica se e solo se i periodi hanno in comune un multiplo minimo. Diversa- mente, non ha senso parlare di serie di Fourier associata alla funzione f1(x) + f2(x). In ogni caso proviamo a troncare entrambi gli sviluppi a un conveniente ordine di approssimazione N , per poi sommarli:

f1(x) + f2(x) ≃ 1

2(a0 + a^′₀) + XN k=1

[akcos (kω1x) + a^′_kcos (kω2x)] + (1.58)

+ XN k=1

[bksin (kω1x) + b^′_ksin (kω2x)]

Vediamo quindi che i termini delle sommatorie danno luogo a battimenti se ω1 ∼ ω². A titolo di esempio, consideriamo una funzione del tipo “dente di sega”

f1(x) = 1

3arccos (cos 2πx) , (1.59)

e un’altra del tipo “onda quadra”:

f2(x) =

 1, se 0 < x ≤ 0.6

−1, se − 0.6 ≤ x < 0 , (T1 = 1.2) (1.60) plottate in fig. 1.8. Si noti che tali funzioni sono periodiche con periodi leggermente diversi.

La loro somma `e plottata in fig. 1.9.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

Figura 1.8: Andamento di un’onda quadra e di un dente di sega con periodi leggermenti diversi.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

Figura 1.9: Andamento della somma delle funzioni precedenti.

Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione a onda quadra, troncato al termine del quint’ordine `e:

0.63662 sin π 0.3x

+ 0.212207 sin 3π 0.3x



+ 0.127324 sin 5π 0.3x



, (1.61)

mentre lo sviluppo in serie di Fourier della funzione a denta di sega, troncato al termine del quint’ordine `e:

π 6 − 4

3πcos (2πx) − 4

27πcos (6πx) − 4

75πcos (10πx) (1.62)

La loro somma `e plottata in fig. 1.10.

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6

-0.5 0.5 1.0 1.5

Figura 1.10: Andamento della somma degli sviluppi in serie di Fourier troncati al termine del quint’ordine.

1.3 Lo spazio delle configurazioni

L’evoluzione dinamica di un sistema meccanico composto da un punto materiale che si muove lungo una retta (asse x) pu`o essere studiata in due paradigmi diversi:

1. Evoluzione nel dominio del tempo.

2. Evoluzione nel dominio delle configurazioni.

Nel primo paradigma, una volta determinata l’ equazione oraria x = x (t), e quindi la sua derivata rispetto al tempo ˙x = ˙x (t), si traccia il grafico delle funzioni x (t) e ˙x (t).

Nel secondo approccio, invece, l’evoluzione dinamica viene rappresentata in uno spazio astratto 2-dimensionale denominato spazio delle configurazioni. Per poter definire tale en- te geometrico, iniziamo con l’osservare che l’equazione differenziale del moto derivante dal secondo principio della dinamica:

¨

x = f (t, x, ˙x) (1.63)

dove

f (t, x, ˙x) = 1

mF (t, x, ˙x) , (1.64)

essendo m la massa del punto materiale e F (t, x, ˙x) la forza applicata. L’equazione differen- ziale (1.63) `e del secondo ordine ed `e equivalente a un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Infatti, se in tale equazione differenziale eseguiamo il cambio di variabili:

 ξ = x

η = ˙x , (1.65)

si ha

˙η = ¨x = f (t, x, ˙x) Quindi

 ˙ξ = η

˙η = f (t, ξ, η) , (1.66)

che `e un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle funzioni incognite ξ (t) , η (t).

La totalit`a delle coppie ordinate (ξ, η) ≡ (x, ˙x) che soddisfano il sistema (1.66) appartengono allo spazio euclideo R<sup>2</sup> cartesianamente rappresentabile da un sistema di assi coordinati (Ox ˙x). Abbiamo cos`ı definito lo spazio delle configurazioni del sistema meccanico assegnato, la cui evoluzione dinamica `e geometricamente rappresentata dal moto del punto (x, ˙x) lungo una curva Γ che definisce la regione dello spazio delle configurazioni accessibile al sistema, ed `e nota come orbita del sistema medesimo. Una rappresentazione parametrica di Γ `e

x = x (t) , ˙x = ˙x (t) , t ∈ [0, +∞) , (1.67) ove la funzione x (t) `e l’unica soluzione del problema di Cauchy:

 x = f (t, x, ˙x)¨

x (0) = x0, ˙x (0) = ˙x0 (1.68)

La coppia ordinata (x, ˙x) definisce lo stato del sistema meccanico. Il teorema di esistenza ed unicit`a delle soluzioni del predetto problema di Cauchy implica il determinismo fisico: lo stato meccanico a tutti i tempi `e univocamente determinato dallo stato meccanico iniziale e dalla forza agente sul punto materiale.

***

Nel caso particolare delle oscillazioni libere di un oscillatore armonico ideale, abbiamo visto che l’equazione oraria `e

x (t) = A cos ω0t, (1.69)

dove A > 0 `e l’allungamento iniziale della molla mentre ω0 = p

k/m `e la pulsazione. La velocit`a scalare `e

˙x (t) = −ω⁰A sin ω0t (1.70)

da cui otteniamo le equazioni parametriche dell’orbita:

Γ : x = A cos ω0t, ˙x = −ω⁰A sin ω0t (1.71) In questo caso `e possibile eliminare il parametro t, ottenendo la rappresentazione ordinaria di Γ:

x²

A² + ˙x²

ω₀²A² = 1,

ovvero un’ellisse di semiassi a = A, b = ω0A, come illustrato in fig. 1.11.

A

-A x

x 

Figura 1.11: Orbita di un oscillatore armonico di elongazione A e pulsazione ω0. Quando

|x| = A la velocit`a `e nulla. Per x = 0, invece, |v| assume il massimo valore. L’evoluzione dinamica di questo sistema `e deterministica, poich´e l’orbita `e univocamente determinata dallo stato iniziale x0 = A, v0 = 0.

Passiamo ora al caso delle oscillazioni forzate. Ricordiamo che se l’oscillatore `e inizial- mente a riposo nella posizione di equilibrio ed `e soggetto a una forza per unit`a di massa f (t) = FM cos Ωt, la sua equazione oraria `e

x (t) = F_M

ω₀²− Ω²(cos Ωt − cos ω0t) , (1.72) da cui ricaviamo immediatamente la rappresentazione parametrica dell’orbita:

Γ :

( x = _ω2^FM

0−Ω² (cos Ωt − cos ω⁰t)

˙x = _ω2^FM

0−Ω² (ω0sin ω0t − Ω sin Ωt) , (1.73)

il cui andamento dipende dalla frequenza Ω della forza esterna. Nel caso speciale Ω = 0, cio`e forza costante F (t) = FM, si ottiene un ellisse del tipo mostrata in fig. 1.12. Al crescere di Ω l’ellisse subisce delle traslazioni lungo l’asse delle ascisse fino a sdoppiarsi, per poi separarsi.

Pi`u precisamente, nelle figg. 1.13)– (1.14)– (1.15)– (1.16) `e tracciata l’orbita in intervalli di tempo crescenti.

x x 

Figura 1.12: Orbita di un oscillatore armonico di elongazione A e pulsazione ω0. sottoposto a una forza costante FM.

x x 

Figura 1.13: Orbita di un oscillatore armonico di pulsazione ω0 = 0.6 rad/s e pulsazione della forza esterna Ω = 5 × 10⁻³ rad/s nell’intervallo di tempo [0, 100 s].

Al crescere di Ω l’orbita diviene pi`u complessa. Ad esempio per Ω = 0.29 rad/s (con ω0 = 0.6 rad/s) si ha il grafico di fig. 1.17. Per Ω = 0.59 rad/s si verifica il fenomeno dei battimenti la cui orbita `e in fig. 1.18.

x x 

Figura 1.14: Orbita di un oscillatore armonico di pulsazione ω0 = 0.6 rad/s e pulsazione della forza esterna Ω = 5 × 10⁻³ rad/s nell’intervallo di tempo [0, 200 s].

x x 

Figura 1.15: Orbita di un oscillatore armonico di pulsazione ω0 = 0.6 rad/s e pulsazione della forza esterna Ω = 5 × 10⁻³ rad/s nell’intervallo di tempo [0, 300 s].

x x 

Figura 1.16: Orbita di un oscillatore armonico di pulsazione ω0 = 0.6 rad/s e pulsazione della forza esterna Ω = 5 × 10⁻³ rad/s nell’intervallo di tempo [0, 800 s].

x x 

Figura 1.17: Orbita di un oscillatore armonico di pulsazione ω0 = 0.6 rad/s. sottoposto a una forza esterna di pulsazione Ω = 0.29 rad/s.

x x 

Figura 1.18: Orbita di un oscillatore armonico di pulsazione ω0 = 0.6 rad/s. sottoposto a una forza esterna di pulsazione Ω = 0.59 rad/s.

1.4 Risonanza

Consideriamo nuovamente il caso delle oscillazioni forzate x (t) = FMcos Ωt − cos ω⁰t

ω₀²− Ω² (1.74)

Supponendo di poter variare la frequenza Ω si ha:

Ω→ωlim0

x (t) = 0

0 (1.75)

Per rimuovere tale forma indeterminata applichiamo le formule di prostaferesi per ottenere:

x (t) = 2F_M

ω₀²− Ω²sin ω0+ Ω 2 t



sin ω0− Ω

2 t



(1.76) Segue

Ω→ωlim0

x (t) = 2FM lim

Ω→ω0

 1

(ω0− Ω) (ω⁰+ Ω)sin ω0+ Ω

2 t



sin ω0− Ω 2 t



(1.77)

= FM

ω0

sin (ω0t) lim

Ω→ω0

"

sin ^ω0₂^−Ωt

ω0−Ω

2 t · t 2

#

= t 2 · FM

ω0

sin (ω0t) lim

Ω→ω0

sin ^ω0₂^−Ωt

ω0−Ω 2 t

| {z }

=1

= FM

2ω0

t sin (ω0t) L’uguaglianza

ω0 = Ω (1.78)

esprime la condizione di risonanza. Per quanto precede, in condizioni di risonanza l’equazione oraria dell’oscillatore armonico si scrive:

x (t) = A (t) sin ω0t, (1.79)

dove l’ampiezza A (t) cresce linearmente nel tempo A (t) = FM

2ω0

t (1.80)

In fig. 1.19 riportiamo il diagramma orario. La velocit`a `e

˙x (t) = FM

2ω0

(sin ω0t + ω0t cos ω0t) (1.81) E quindi l’orbita dell’oscillatore risonante

Γ : x = F_M 2ω0

t sin (ω0t) , ˙x = F_M 2ω0

(sin ω0t + ω0t cos ω0t) , (1.82) graficata in fig. 1.20.

Π Ω0

2 Π Ω0

3 Π Ω0

4 Π Ω0

5 Π Ω0

6 Π Ω0

t x

Figura 1.19: Diagramma orario di un oscillatore armonico in condizioni di risonanza.

L’ascissa oscilla con ampiezza linearmente crescente fino a quando la molla si spezza.

x x 

Figura 1.20: Orbita di un oscillatore risonante.

Mostriamo ora, per via computazionale, che la risonanza `e un caso particolare di batti- mento. Pi`u precisamente, le frequenze delle oscillazioni componenti coincidono, ma il termine a denominatore

ω₀²− Ω²,

che si annulla assieme al numeratore dando luogo alla forma indeterminata 0/0, fa in mo- do che l’ampiezza dell’inviluppo di modulazione sia una funzione linearmente crescente del tempo. In altri termini, mentre in un qualunque battimento la predetta ampiezza varia sinu- soidalmente nel tempo, ora cresce in funzione di t. Ci`o pu`o essere visto graficando l’ascissa per valori di Ω molto vicini a ω0, come illustrato nei grafici di fig. 1.21-1.22.

t x

Figura 1.21: Ascissa di un oscillatore in cui Ω = 0.928ω0. `E visibile una modulazione di ampiezza con legge sinusoidale, quindi un battimento.

t x

Figura 1.22: Ascissa di un oscillatore in cui Ω = 0.999ω0. La modulazione di ampiezza non

`e pi`u sinusoidale, ma lineare. L’oscillatore `e quasi risonante.

In fig. 1.23 riportiamo il diagramma delle orbite per Ω = 0.09ω0.

x x 

Figura 1.23: Orbita di un oscillatore con Ω = 0.09ω0. Siamo lontani dalla risonanza.

1.5 Forza periodica ma non sinusoidale. Sviluppo in serie di Fourier

Applichiamo a un oscillatore armonico ideale di massa m e frequenza caratteristica ω0, una forza F (t) che sia una qualunque funzione periodica del tempo di periodo T :

F (t + kT ) = F (t) , ∀k ∈ Z (1.83)

Il secondo principio della dinamica si scrive:

¨

x + ω₀²x = f (t) (1.84)

Al solito f (t) = F (t) /m `e la forza per unit`a di massa. Se tale funzione verifica le condizioni di Dirichlet, la sua serie di Fourier converge alla funzione medesima, per cui

f (t) = a0

2 + X+∞

k=1

[akcos (Ωkt) + bksin (Ωkt)] (1.85)

dove

Ωk

def= kΩ, ∀k ∈ N − {0} (1.86)

con

Ω = 2π T ,

pulsazione della forza applicata dell’oscillatore. I coefficienti a_k, b_ksono icoefficienti di Fourier:

ak = 2 T

ZT

0

f (t) cos (Ωkt) dt = Ω π

2π/ΩZ

0

f (t) cos (Ωkt) dt, (k = 0, 1, 2, ...) (1.87)

bk = 2 T

ZT

0

f (t) sin (Ωkt) dt = Ω π

2π/ΩZ

0

f (t) sin (Ωkt) dt, (k = 1, 2, ...)

Sostituendo la (1.85) nel secondo membro della (1.84):

¨

x + ω₀²x = a0

2 + X+∞

k=1

[akcos (Ωkt) + bksin (Ωkt)] , (1.88)

Se x (t) `e un integrale particolare, la linearit`a della (1.84) ci consente di scrivere:

x (t) = A0

2 + X+∞

k=1

[Akcos (Ωkt) + Bksin (Ωkt)] (1.89)

che pu`o essere riscritta come

x (t) = x₀+ X+∞

k=1

x_k(t) , (1.90)

avendo posto per definizione x0 = A0

2 , xk(t) = Akcos (Ωkt) + Bksin (Ωkt) (1.91) Imponiamo che (1.89) sia una soluzione di (1.88). A tale scopo supponiamo che la regolarit`a delle funzioni coinvolte sia tale da rendere possibile una derivazione termine a termine della serie di Fourier. Quindi:

˙x (t) = X+∞

k=1

[−A^kΩksin (Ωkt) + BkΩkcos (Ωkt)] (1.92)

¨ x (t) =

X+∞

k=1

−A^kΩ²_kcos (Ωkt) − B^kΩ²_ksin (Ωkt)

Con tali sviluppi la (1.88) diventa:

ω₀²x0+ X+∞

k=1

 −Ω²kAk+ ω₀²Ak

cos (Ωkt) + −Ω²kBk+ ω₀²Bk

sin (Ωkt)

= a0

2 + X+∞

k=1

[akcos (Ωkt) + bksin (Ωkt)]

Segue

x0 = a₀ 2ω₀²,

e per k ≥ 1:

−Ω²kAk+ ω₀²Ak

cos (Ωkt) + −Ω²kBk+ ω²₀Bk

sin (Ωkt) = akcos (Ωkt) + bksin (Ωkt)

Cio`e 

(ω²₀− Ω²k) Ak= ak

(ω²₀− Ω²k) B_k = b_k (1.93)

da cui ricaviamo i coefficienti di Fourier della soluzione x (t) in funzione dei coefficienti di Fourier della sollecitazione applicata:

Ak = ak

ω₀²− Ω²k

(1.94) Bk = bk

ω₀²− Ω²k

Quindi

x_k≥1(t) = 1 ω₀²− Ω²k

[a_kcos (Ω_kt) + b_ksin (Ω_kt)] (1.95) Finalmente

x (t) = a0

2ω²₀ + X+∞

k=1

1 ω²₀− Ω²k

[akcos (Ωkt) + bksin (Ωkt)] , (1.96) che `e una conseguenza della linearit`a dell’equazione differenziale (1.88). Quest’ultima `e a sua volta la formulazione matematica del principio di sovrapposizione lineare degli effetti.

Ne consegue che la componente k-esima dello sviluppo di Fourier di f (t) va interpretata come una singola sollecitazione sinusoidale. Tuttavia `e lecito troncare lo sviluppo di Fourier – e quindi il numero di generatori – a un termine n > 1, il cui ordine di grandezza dipende dalla funzione f (t). Ad esempio, consideriamo

f (t) = 1

πarccos [cos (2πt)] , (1.97)

che `e periodica di periodo T = 1 s, per cui la pulsazione `e Ω = 1rad/ s. Calcoliamo con Mathematica lo sviluppo in serie di Fourier di f (t) arrestato al termine del quint’ordine:

f (t) ≃ 1 2 − 4

π² cos (2πt) − 4

9π² cos (6πt) − 4

25π²cos (10πt) (1.98) Dal grafico di fig. 1.24 vediamo che l’approssimazione `e abbastanza accettabile. La (1.96) restituisce

x (t) ≃ 1

2ω₀² − 4

π²(ω²₀− 4π²)cos (2πt) − 4

9π²(ω₀²− 36π²)cos (6πt) − (1.99)

− 4

25π²(ω₀²− 100π²)cos (10πt) ,

dove abbiamo lasciato ω0 come parametro libero. Ad esempio, per ω0 = 20rad/s cio`e lontani dalla risonanza nelle singole componenti di Fourier, otteniamo il grafico di fig. 1.25. In ogni caso questo valore della frequenza sembra interessante, come possiamo vedere dallo strano andamento per ω0 = 15rad/s riportato in fig. 1.26.

T 2T 3T 4T t

Figura 1.24: Confrontiamo la funzione f (t) = ¹_πarccos [cos (2πt)] con il suo sviluppo in serie di Fourier troncato al termine del quint’ordine. I grafici sono quasi sovrapposti.

T 2T 3T 4T t

x

Figura 1.25: Ascissa dell’oscillatore per ω₀ = 20rad/s.

T 2T 3T 4T t

x

Figura 1.26: Ascissa dell’oscillatore per ω0 = 15rad/s.

Migliorando il tiro...

Lo sviluppo in serie di Fourier di f (t) = F_M

π arccos [cos (2πt)] , arrestato al termine del quinto ordine `e:

f (t) = FM

 1 2 − 4

π² cos (Ω1t) − 4

9π²cos (Ω3t) − 4

25π²cos (Ω5t)



, (1.100)

dove

Ω1 = 2π rad/ s, Ω3 = 3Ω1 = 6π rad/ s, Ω5 = 5Ω = 10π rad/ s (1.101) Qundi l’ascissa dell’oscillatore

x (t) = F_M

2ω²₀ + F_M 2 π

2

X

k=1,3,5

cos (Ω_kt) ω²₀− Ω²k

(1.102)

Segue che se la frequenza angolare dell’oscillatore `e prossima alla frequenza di una delle componenti di Fourier considerate, cio`e se

∃k ∈ {1, 3, 5} | ω⁰ ∼ Ω^k,

l’oscillatore risuona alla frequenza Ωk, giacch´e nello sviluppo di Fourier (arrestato al termine del quint’ordine) il termine dominante `e

FM

 2 π

2

cos (Ωkt) ω₀²− Ω²k

, (1.103)

per cui

x (t) ∼^M  2 π

2

cos (Ωkt) ω₀²− Ω²k

(1.104) Nel caso contrario, cio`e se

|ω⁰− Ω^k| ≫ ε, ∀k ∈ {1, 3, 5} ,

l’ascissa dell’oscillatore `e una sovrapposizione lineare delle oscillazioni sinusoidali componen- ti. A questo punto vale la pena confrontare la soluzione approssimata ottenuta troncando la serie di Fourier ad un ordine opportuno, con la soluzione esatta. Ovvero:

 x + ω¨ ₀²x = ^F_π^M arccos [cos (2πt)]

x (0) = 0, ˙x (0) = 0 (1.105)

la cui soluzione `e

x (t) = −FM

πω²₀ arccos [cos (2πt)] − 2FM

ω₀³ sin (ω0t) , (1.106) che pu`o essere graficata per differenti valori di ω0. Ad esempio, per ω0 = 0.4rad/s otteniamo il grafico di fig. 1.27. Sembra tuttavia che l’andamento triangolare della sollecitazione esterna venga riprodotto solo per ω₀ → +∞, come mostrato in fig. 1.28.

20 40 60 80 100 t HsecL

-30 -20 -10 10 20 30 x

Figura 1.27: Ascissa dell’oscillatore per ω0 = 0.2rad/s.

1 2 3 4 t HsecL

5. ´ 10^-6 0.00001 0.000015 0.00002 0.000025 x

Figura 1.28: Ascissa dell’oscillatore per ω0 = 200rad/s.

1.6 Forze variabili nel tempo (oscillatore armonico).

Forme d’onda (circuito elettrico)

Abbiamo esaminato il caso di un punto materiale di massa m sottoposto a una forza elastico di richiamo (caso unidimensionale) e ad una forza periodica del tempo:

F (t) = mf (t) , (1.107)

dove

f (t) = FM

π arccos (cos Ωt) , (1.108)

essendo Ω > 0 la frequenza angolare (o pulsazione) di F (t). L’equazione differenziale del moto si scrive:

¨

x + ω²₀x = FM

π arccos (cos Ωt) (1.109)

Ricordiamo che ω₀ =p

k/m `e la pulsazione caratteristica dell’oscillatore. Notiamo poi che l’equivalente elettrico di tale sistema meccanico `e un circuito i cui componenti sono rispetti- vamente un’induttanza di coefficiente di auto-induzione L e un condensatore di capacit`a C.

Dal momento che ci troviamo in condizioni di idealit`a i.e. stiamo trascurando le forze di at- trito nell’oscillatore meccanico, segue che nell’analogo elettrico il condensatore e l’induttanza non presentano una resistenza ohmica. Eseguendo la nota sostituzione:

m → L, k → 1

C, x → q (1.110)

si perviene all’equazione differenziale che regola l’andamento della carica elettrica:

¨

q + ω₀²q = V (t)

L , (ω0 = 1

√LC), (1.111)

in cui abbiamo lasciata inespressa l’espressione analitica della funzione V (t) che `e la f.e.m.

che alimenta la serie LC (`e il “corrispondente” della forza F (t) applicata all’oscillatore meccanico). Integrando la predetta equazione differenziale per assegnate condizioni iniziali, si perviene alla funzione q (t) e quindi all’intensit`a di corrente:

i (t) = ˙q (t) (1.112)

Qualche perplessit`a pu`o insorgere dall’utilizzo della funzione:

arccos (cos Ωt) , (1.113)

nel senso che si `e portati erroneamente a scrivere (per definizione di funzione inversa)

arccos (cos Ωt) = Ωt (1.114)

Per maggiore chiarezza riferiamoci al caso pi`u astratto:

arccos (cos x) (1.115)

Osserviamo innanzitutto che le funzioni circolari sono invertibili solo localmente, ovvero in un qualunque intervallo di periodicit`a, in quanto non sono strettamente monotone su tutto l’insieme di definizione. Nel caso delle funzioni sin x e cos x ci si riferisce all’intervallo [−π, π], da cui l’andamento della funzione inversa arccos x riportato in fig. 1.29.

Ci`o premesso, studiamo la funzione:

f (x) = arccos (cos Ωx) , (Ω > 0) (1.116)

1 2 3 4 t HsecL 5. ´ 10^-6

0.00001 0.000015 0.00002 0.000025 x

Figura 1.29: Grafico della funzione arccos x.

• Insieme di definizione

E manifestamente X = R, giacch`e |cos Ωx| ≤ 1.`

• Periodicit`a

La funzione `e periodica di periodo T = 2π/Ω, onde studiamo la funzione in X0 =h

−π Ω, π

Ω i

• Parit`a

La funzione `e pari, per cui Γf : y = f (x) `e simmetrico rispetto all’asse y. Quindi studiamo la funzione in X₀^′ =

0,_Ω^π .

• Grafico Risulta

x ∈h 0, π

Ω i

=⇒ arccos (cos Ωx) = Ωx (1.117)

Ne consegue che in X₀^′ il grafico `e il segmento di estremi (0, 0) e A (π/Ω, π). La simmetria rispetto all’asse y e la periodicit`a ci permettono di tracciare il grafico in R come riportato in fig. 1.30

-Π Π 2 Π 3 Π

-2 Π

-3 Π 4 Π

-4 Π x

Π y

Figura 1.30: Grafico di f (x) = arccos (cos x).

Ritorniamo al caso dell’oscillatore

 x + ω¨ ₀²x = ^F_π^M arccos [cos (Ωt)]

x (0) = 0, ˙x (0) = 0 (1.118)

o al caso matematicamente equivalente della serie LC alimentata dalla f.e.m.

V (t) = VMarccos (cos Ωt) ,

onde 

¨

q + ω₀²q = ^V_πL^M arccos (cos Ωt)

x (0) = 0, ˙x (0) = 0 (1.119)

Avevamo visto che la soluzione segue l“andamento triangolare” solo per ω0 → +∞. Con- sideriamo allora il caso particolare ω0 = 0 che descrive un punto materiale soggetto alla sola forza periodica F (t). Nel caso elettrico, ci corrisponde a C = 0. Cio`e abbiamo una induttanza alimentata dalla V (t). Per l’oscillatore meccanico l’equazione differenziale del moto pu`o scriversi:

˙v = F_M

π arccos (cos Ωt) , (1.120)

dove v = ˙x `e la velocit`a. Integrando otteniamo la posizione:

x (t) = FM

Ω Z t

0

arccos (cos Ωt^′) dt^′ (1.121) Calcoliamo l’integrale

I (t) = Z t

0

arccos (cos Ωt^′) dt^′, (1.122) eseguendo il cambio di variabile

x = Ωt^′ =⇒ dt^′ = dx

Ω, 0 ≤ t^′ = x

Ω ≤ t, (1.123)

onde integriamo per parti:

I (t) = 1 Ω

Z Ωt 0

arccos (cos x) dx (1.124)

= 1 Ω



x arccos (cos x)|^Ωt0 − Z Ωt

0

x sin x

√1 − cos²xdx



Osserviamo che

Z Ωt 0

x sin x

√1 − cos²xdx =

 ₁

2x², se sin x > 0

−¹₂x², se sin x < 0 (1.125) Cio`e

Z Ωt 0

x sin x

√1 − cos²xdx = 1

2x² sin x

|sin x| (1.126)

Segue

I (t) = 1 Ω



Ωt arccos (cos Ωt) − 1

2Ω²t² sin Ωt

|sin (Ωt)|



(1.127) Quindi

v (t) = FM

πΩ



Ωt arccos (cos Ωt) − 1

2Ω²t²sign (sin Ωt)



, (1.128)

t v

Figura 1.31: Andamento della velocit`a di un punto materiale sottoposto alla forza periodica F (t) = ^F_π^M arccos (cos Ωt).

essendo sign la funzione signum. In fig. 1.31 riportiamo l’andamento della velocit`a in funzione del tempo, da cui vediamo che il grafico `e un insieme di archi di parabola.

Per ricavare l’ascissa x (t):

x (t) = FM

πΩ Z t

0



Ωt arccos (cos Ωt) − 1

2Ω²t²sign (sin Ωt)

 dt,

calcolo alquanto problematico. E allora preferibile affidarsi a` Mathematica, risolvendo direttamente il problema di Cauchy

 x =¨ ^F_π^M arccos [cos (Ωt)]

x (0) = 0, ˙x (0) = 0 ,

ottenendo una soluzione molto complicata (almeno formalmente) che non riportiamo. Trac- ciamo poi il grafico in fig. 1.32, da vediamo che il grafico `e un insieme di archi di parabola cubica.

1.7 Oscillatore anarmonico

Nel caso di un oscillatore armonico unidimensionale, la forza elastica `e una funzione lineare dello spostamento x dalla posizione di riposo:

F (x) = −kx, (1.129)

dove k > 0 `e la costante elastica. Immaginiamo ora una forza che segue una legge di potenza:

F (x) = −kxⁿ, (n ≥ 2) (1.130)

t x

Figura 1.32: Andamento del’ascissa di un punto materiale sottoposto alla forza periodica F (t) = ^F_π^M arccos (cos Ωt).

Naturalmente in questo caso la costante k > 0 ha dimensioni diverse dalla costante elastica in regime lineare. Il secondo principio della dinamica nel caso di oscillazioni libere fornisce si traduce nel seguente problema di Cauchy:

 x + λ¨ ²xⁿ= 0

x (0) = x0, ˙x (0) = 0 . (λ² = k

m) (1.131)

Abbiamo, dunque, un’equazione differenziale del second’ordine non lineare. La non linearit`a implica un’integrazione numerica. Ad esempio, per n = 5 troviamo la soluzione plottata in fig. 1.33.

Pi`u interessante `e il caso delle oscillazioni forzate. Ad esempio, applicando una forza F (t) = A sin Ωt,

si ha 

¨

x + λ²x⁵ = FM sin Ωt

x (0) = x0, ˙x (0) = 0 . (λ² = k

m, FM = A

m) (1.132)

Formalmente la condizione di “risonanza” `e data da λ = Ω, per cui poniamo (nelle appropriate unit`a di misura):

λ = 20, Ω = 20 (1.133)

Con tali valori otteniamo il grafico della soluzione riportato in fig. 1.34. Il diagramma delle orbite `e riportato in fig. 1.35.

Infine in fig. 1.36 riportiamo il diagramma delle orbite per un oscillatore armonico:

 x + 20x = sin (20t)¨

x (0) = 1, ˙x (0) = 0 (1.134)

t x

Figura 1.33: Evoluzione libera di un oscillatore anarmonico (n = 5).

t x

Figura 1.34: Evoluzione forzata di un oscillatore anarmonico (n = 5).

x x 

Figura 1.35: Diagramma delle orbite di un oscillatore anarmonico in condizioni di risonanza.

x x 

Figura 1.36: Diagramma delle orbite di un oscillatore armonico in condizioni di risonanza.

Oscillazioni smorzate

Abbiamo studiato le oscillazioni libere e forzate di un punto materiale soggetto a una forza elastica unidimensionale nel caso ideale di assenza di resistenze passive. Un modello pi`u realistico deve inglobare resistenze passive in grado di riprodurre la viscosit`a del mezzo in cui l’oscillatore si muove, nonch´e gli attriti interni nel materiale elastico che determina la forza di richiamo. Il caso matematicamente pi`u semplice `e il regime lineare in cui la predetta resistenza passiva `e una funzione lineare ed omogenea della velocit`a scalare, ed `e orientata in verso opposto al vettore velocit`a. Orientando un asse x nella direzione del moto con origine nella posizione di riposo e verso positivo coincidente con quello di allungamento della molla, il secondo principio della dinamica si scrive:

m¨xi = FR− kxi, (2.1)

dove FR `e la resistenza passiva, come indicato nello schema di fig. 2.1. Per quanto precede:

Figura 2.1: Forze agenti su uno oscillatore in presenza delle forze di attrito.

FR = −b ˙xi (2.2)

Qui b > 0 `e una costante nota come coefficiente di viscosit`a. Da ci`o segue l’equazione differenziale del moto:

¨ x + b

m˙x + ω²₀x = 0, (2.3)

avendo gi`a definito in precedenza la pulsazione caratteristica ω0 =p

k/m. La (2.3) `e un’e- quazione differenziale ordinaria (in forma normale) del secondo ordine, lineare ed omogenea.

Condizioni iniziali assegnate, danno luogo al seguente problema di Cauchy:

 x +¨ _m^b ˙x + ω₀²x = 0

x (0) = x0, ´x (0) = ˙x0 (2.4)

Determiniamo innanzitutto l’integrale generale. L’equazione caratteristica `e λ²+ b

mλ + ω₀² = 0, (2.5)

35

le cui radici sono

λ = − b 2m ±

s b 2m

2

− k

m (2.6)

Distinguiamo i seguenti casi:

1. Caso aperiodico _2m^b
2

> _m^k =⇒ b > 2√

mk ^def= b_crit Si noti che si pu`o scrivere in termini della pulsazione:

bcrit = 2mω0 (2.7)

2. Caso critico _2m^b
2

= _m^k =⇒ b = b^crit 3. Caso oscillatorio smorzato _2m^b
2

< _m^k =⇒ b < b^crit

2.1 Caso aperiodico (b > b

)

Abbiamo due radici reali e distinte:

λ− = − b 2m −

s b 2m

2

− ω0²

def= −α < 0 (2.8)

λ+ = − b 2m +

s b 2m

2

− ω²0

def= −β < 0,

Cio`e:

α = b 2m +

s b 2m

2

− ω0² > 0, ∀b > b^crit (2.9)

β = b 2m −

s b 2m

2

− ω²0 > 0, ∀b > b^crit,

aventi le dimensioni dell’inverso di un tempo. Un sistema fondamentale di integrali della (2.3) `e {ξ¹(t) , ξ2(t)}, dove

ξ1(t) = e^−αt, ξ2(t) = e^−βt Ci`o implica che l’integrale generale della (2.3) si scrive:

x (t, c1, c2) = c1e^−αt+ c2e^−βt, ∀c¹, c2 ∈ R (2.10) Introduciamo una grandezza caratteristica – cio`e dipendente solo da b e m e non da una eventuale forza esterna:

τ = 2m

b (2.11)

Tenendo conto della

bcrit = 2mω0, (2.12)

si ha

ω0τ = bcrit

b (2.13)

Quindi

b > bcrit =⇒ ω⁰τ < 1, (2.14) che si chiama condizione di aperiodicit`a. Dalle (2.9):

α = 1 τ +

r 1

τ² − ω0² (2.15)

β = 1 τ −

r 1 τ² − ω0²

Derivando la (2.10) rispetto al tempo otteniamo il modulo della velocit`a:

˙x (t) = −αc¹e^−αt− βc²e^−βt (2.16) Imponendo le condizioni iniziali si perviene al sistema lineare omogeneo nelle incognite c₁, c₂:

 c1+ c2 = q0

−αc¹− βc² = ˙x0 , (2.17)

da cui

c1 = −βx₀+ ˙x₀

α − β , c2 = αx₀+ ˙x₀

α − β (2.18)

Prima di sostituire le (2.18) nella (2.10), definiamo altre due grandezze con le dimensioni di un tempo:

τ1 = 1

α > 0, τ2 = 1 β > 0 Tenendo conto delle (2.15):

τ1 = τ

1 + q

1 − (ω⁰τ )²

(2.19)

Alla stessa maniera:

τ2 = τ

1 − q

1 − (ω⁰τ )²

(2.20)

La realt`a di τ<sub>1</sub>, τ<sub>2</sub> `e garantita dalla condizione di aperiodicit`a (2.14). Sostituendo le (2.18) nella (2.10) otteniamo l’ascissa dell’oscillatore in funzione del tempo:

x (t) = −βx₀ + ˙x₀

α − β e^−τ1t +αx₀+ ˙x₀

α − β e^−τ2t (2.21)

Alla stessa maniera, partendo dalla (2.16) otteniamo il modulo della velocit`a:

˙x (t) = K1e⁻

t

τ1 + K2e⁻

t

τ2, (2.22)

dove abbiamo introdotto le costanti

K1 = α (βx0+ ˙x0)

α − β , K2 = −β (αx0+ ˙x0)

α − β (2.23)

Ne consegue che τ1, τ2 sono delle costanti di tempo dell’oscillatore. Per tracciare il grafico di x (t) l’algoritmo `e il seguente: supponiamo di conoscere il valore di ω<sub>0</sub>. Dalla condizione di criticit`a:

τ < τmax = 1 ω0

(2.24)

Ad esempio, per ω0 = 20rad/ s, si ha

τmax = 5 · 10⁻²s (2.25)

I valori di τ e ω0 determinano univocamente i valori di α e β e quindi l’ascissa in funzione del tempo. In particolare, se la velocit`a iniziale `e nulla, si ha:

x (t) = x0

α − β −βe^−αt+ αe^−βt

(2.26) Il grafico di fig. 2.2riporta l’andamento della funzione x (t) per differenti valori della costante di tempo τ .

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 t

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 x x₀

Figura 2.2: Andamento dell’ascissa (normalizzata sull’ascissa iniziale) di un oscillatore ape- riodico, per diversi valori della costante di tempo τ = ^2m_b < τ_max = ω⁻₀¹. Precisamente:

τ = 6 × 10⁻³s, 10⁻²s, 2 × 10⁻²s, 3 × 10⁻²s, 4 × 10⁻²s.

Ne concludiamo che nel caso aperiodico l’ascissa dell’oscillatore armonico si annulla esponenzialmente, per cui il punto materiale non compie oscillazioni:

t ≫ τ =⇒ x (t) ≃ 0 (2.27)

2.2 Caso critico (b = b

)

L’equazione caratteristica (2.5) ha una sola radice reale:

λ = − b

2m = −α = −1

τ < 0, (2.28)

per cui un sistema di integrali fondamentali `e

e^−αt, te^−αt