Fenomeni oscillatori nei circuiti elettrici
Marcello Colozzo
0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 t HsecL
-0.02 -0.01 0.01 0.02 0.03 i HAmpereL
Indice
1 Introduzione. I principi di Kirchoff 2
2 Una rete elettrica quale sistema dinamico a tempo continuo 3
2.1 Classificazione delle reti elettriche . . . 3
2.2 Spazio delle configurazioni . . . 6
2.3 Principio di sovrapposizione degli effetti. Non linearit`a . . . 7
3 Reti lineari (serie RLC) 7 3.1 Sintesi degli argomenti trattati. . . 7
3.2 Serie RLC . . . 8
3.3 Caso R = 0. Il circuito LC . . . 9
3.3.1 Analogia meccanica . . . 13
3.3.2 La risonanza: un battimento di frequenza nulla . . . 13
3.3.3 Caso particolare. . . 21
3.4 Caso R 6= 0 . . . 25
3.4.1 Evoluzione libera . . . 25
3.4.2 Caso aperiodico (R > Rcrit) . . . 27
3.4.3 Caso critico (R = Rcrit) . . . 30
3.4.4 Caso oscillatorio smorzato R < Rcrit . . . 33
3.4.5 Analogia meccanica . . . 38
3.5 Inserzione di una f.e.m. . . 39
3.5.1 Andamento sinusoidale . . . 39
3.5.2 Andamento periodico qualsiasi. . . 53
3.5.3 Andamento non periodico. Densit`a spettrale . . . 61
Bibliografia 69
Matematicamente, se un nodo `e costituito da n rami in ingresso e n rami in uscita, deve essere:
Xn h=1
jh =
n′
X
k=1
ik (equazione ai nodi), (1)
o, ci`o che `e lo stesso:
j1+ j2+ ... + jn
| {z }
Σ correnti entranti
= i1+ i2+ ... + in′
| {z }
Σ correnti uscenti
(2) In generale, le grandezze che figurano in (1) o in (2) sono funzioni del tempo:
jh = jh(t) , (h = 1, 2, ..., n) (3)
ik = ik(t) , (k = 1, 2, ..., n′)
Tipicamente le jh(t) sono funzioni assegnate, mentre le ik(t) sono ignote. In altre parole, le correnti uscenti ik(t) sono le incognite del problema.
Il secondo principio di Kirchoff stabilisce l’uguaglianza tra la somma delle forze elettromotrici (f.e.m.) presenti in una maglia assegnata, e la somma delle cadute di tensione ai capi di ciascun elemento della maglia medesima:
X f.e.m =X
cadute di tensione
Se in una maglia sono presenti m forze elettromotrici. E1, E2, ..., Em e la maglia medesima `e composta da m′ elementi su ciascuno dei quali insiste una tensione vk, si ha:
Xm h=1
Eh =
m′
X
k=1
vk (equazione alle maglie) (4)
o, ci`o che `e lo stesso:
E1 + E2+ ... + Em
| {z }
Σ f.e.m.
= v1+ v2+ ... + vm′
| {z }
Σ cadute di tensione
(5) Come nel caso delle correnti, le grandezze che figurano in (4) o in (5) sono funzioni del tempo:
Eh = Eh(t) , (h = 1, 2, ..., m) (6)
vk= vk(t) , (k = 1, 2, ..., m′)
Il primo membro dell’equazione che esprime il secondo principio di Kirchoff, rappresenta il termine noto del problema. Le grandezze incognite sono, invece, le tensioni vk(t).
Osservazione 1 Per quanto riguarda i simboli, nel seguito adotteremo la seguente convenzione: le f.e.m. saranno denotate con una lettera maiuscola (del tipo “V ”), mentre le cadute di tensione ai capi dei singoli componenti, verranno indicate con una lettera minuscola il cui pedice richiama il componente assegnato. Quindi un simbolo del tipo “vX”, dove X rappresenta il componente (resistore, induttore, etc.).
La caduta di tensione v ai capi di un elemento appartenente a una maglia assegnata, `e una funzione della corrente i che fluisce attraverso l’elemento medesimo. Quindi scriviamo:
v = f (i) (7)
Si noti che f `e una funzione monodroma, cio`e a un sol valore: la tensione v ai capi dell’elemento `e univocamente determinata dalla corrente che l’attraversa. Assumendo f invertibile:
i = f−1(v) , (8)
dove f−1 `e la funzione inversa di f . Esiste, dunque, un legame funzionale tra i e v. Tuttavia, in alcuni casi tale legame relaziona una grandezza con la derivata (rispetto al tempo) dell’altra:
v = f di dt
(9) oppure
dv
dt = f (i) (10)
2 Una rete elettrica quale sistema dinamico a tempo conti- nuo
2.1 Classificazione delle reti elettriche
Scopo di questo lavoro `e l’applicazione della teoria delle equazioni differenziali allo studio del com- portamento di circuiti elettrici sottoposti a segnali variabili nel tempo. Tale studio verr`a espletato nel paradigma dei sistemi dinamici a tempo continuo.
Classificheremo i circuiti elettrici nel modo seguente:
1. Reti lineari 2. Reti non lineari
Nelle reti lineari l’evoluzione dinamica `e governata da un’equazione differenziale lineare. Per essere pi`u precisi, una rete elettrica `e schematizzabile tramite un diagramma orientato (fig. 1) in cui la rete `e vista come un sistema dinamico il cui input `e una f.e.m. E – eventualmente variabile nel tempo – , mentre l’output `e la carica elettrica q (t) e quindi l’intensit`a di corrente i = dqdt. Il suddetto sistema dinamico si dice a tempo continuo perch´e la variabile indipendente t che schematizza il tempo segnato da un orologio di un assegnato sistema di riferimento inerziale, varia con continuit`a in un intervallo contenuto nell’insieme R dei numeri reali.
Ed `e proprio la continuit`a della variabile t che permette l’utilizzo delle equazioni differenziali.
In generale, il sistema `e descritto da un’equazione differenziale di ordine n, dove n = 0, 1, 2. Per n = 0 si ha un’equazione differenziale di ordine 0, ovvero un’equazione algebrica/trascendente. Come vedremo pi`u avanti, l’ordine dell’equazione dipende da come sono funzionalmente legate le grandezze i e v. Pi`u specificatamente, se abbiamo una relazione del tipo (7) si ottiene un’equazione nell’in- cognita i (per una data f.e.m.). Si pensi, ad esempio, ad una rete di resistori (equazione algebrica lineare) o una rete contenente diodi a giunzione (equazione trascendente). Per una rete composta da induttori/capacitori e al pi`u, da resistori e diodi, l’evoluzione dinamica `e data da un’equazione integro-differenziale riconducibile a un’equazione differenziale del second’ordine:
¨
q = F (t, q, ˙q) , (11)
E qHtL Rete elettrica
Figura 1: Rappresentazione schematica di una rete elettrica.
ove la funzione incognita q (t) `e la carica elettrica, mentre la notazione puntata denota l’operazione di derivazione rispetto al tempo. Se la (11) `e lineare, ovvero se la funzione F `e lineare nelle q, ˙q, la rete si dice lineare. Nel caso contrario, si dir`a non lineare.
Nella sezione 3 mostreremo che la linearit`a della (11) `e una conseguenza della linearit`a delle funzioni (7)–(9)–(10).
La pi`u generale equazione differenziale lineare del secondo ordine `e:
¨
q + α1(t) ˙q + α2(t) q = f (t) , (12) dove α1(t) e α2(t) sono i coefficienti dell’equazione (funzioni continue note), mentre f (t) `e il termine noto. Ad esempio, nella sezione3vedremo che una rete costituita da una resistenza R, un’induttanza L e da un condensatore di capacit`a C, `e governata dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti:
¨ q + R
L ˙q + 1
LCq = 1 LV (t) ,
dove V (t) `e la f.e.m. che alimenta la rete. Si tratta, dunque, di una rete lineare. Nella sezione ??
verr`a studiato il comportamento circuitale del diodo a giunzione. Si tratta di un componente non lineare, in quanto tale `e la funzione che lega la corrente alla tensione applicata.
Indichiamo simbolicamente il sistema dinamico governato dalla (11) con:
SF(c) .
= {(q, ˙q) , F } , (13)
dove .
= sta per “rappresentato da”. Il suffisso F ci ricorda che la grandezza q soddisfa l’equazione differenziale (11), mentre l’apice “c” sta per “continuo”. Dal momento che la (11) `e un’equazione differenziale del second’ordine, il suo integrale generale ha la forma:
q = q (t, C1, C2) , ∀C1, C2 ∈ R, (14) dove C1 e C2 sono costanti di integrazione. Nella pratica siamo interessati a una soluzione sod- disfacente determinate condizioni iniziali. Matematicamente, ci`o si traduce nella formulazione del seguente problema di Cauchy:
P :
q = F (t, q, ˙q)¨
q (t0) = q0, ˙q (t0) = ˙q0 (15) dove t0 `e un istante iniziale assegnato (solitamente si pone t0 = 0).
Definizione 2 Il problema di Cauchy (15) `e compatibile e determinato se esiste ed `e unica la soluzione. Il problema `e incompatibile (o impossibile) se `e privo di soluzioni. Infine, il problema
`e compatibile e indeterminato, se ammette pi`u soluzioni.
Definizione 3 Il sistema dinamico SF(c) si dice deterministico se il problema (15) `e compatibile e determinato, i.e. ammette una ed una sola soluzione.
In altri termini, l’evoluzione dinamica di un sistema deterministico `e univocamente determinata dalle condizioni iniziali definite dalla (15) e dalla legge ¨q = F (t, q, ˙q). In simboli:
(q0, ˙q0)evoluzione deterministica−→ (q (t) , ˙q (t)) , ∀t ∈ [0, +∞) Premettiamo la seguente definizione:
f ∈ C∞(A)⇐⇒ f ∈ Cr(A) , ∀r ∈ N Enunciamo, senza dimostrare, il seguente teorema:
Teorema 5 (Teorema di esistenza ed unicit`a o di Cauchy-Lipschitz) Sia dato il problema di Cauchy:
P :
q = F (t, q, ˙q)¨
q (t0) = q0, ˙q (t0) = ˙q0 , (17) dove F : D → R, essendo D = [t1, t2] × R2.
Hp. La funzione F `e continua in D ed `e lipschitziana (Appendice ??) rispetto alle variabili q, ˙q.
Th. ∀ (t0, q0, ˙q0) ∈ ˚D, ∃!q (t) ∈ C1(I (t0)) |
q (t) = F [t, q (t) , ˙q (t¨ 0)]
q (t0) = q0, ˙q (t0) = ˙q0 , ∀t ∈ I (t0) , essendo I (t0) ⊆ [t1, t2] un intorno di t0.
La funzione F che realizza l’equazione (11) relativa a un’assegnata rete (lineare o non), verifica abbondantemente le ipotesi del suddetto teorema, nel senso che solitamente si tratta di una funzione continua e dotata di derivate continue di ordine comunque elevato. In altri termini, una qualunque rete elettrica `e deterministica.
2.2 Spazio delle configurazioni
L’evoluzione dinamica del sistema (13) pu`o essere studiata in due paradigmi diversi:
1. Evoluzione nel dominio del tempo.
2. Evoluzione nel dominio delle configurazioni.
Nel primo paradigma, una volta determinato l’output q, e quindi la sua derivata rispetto al tempo
˙q, si traccia il grafico delle funzioni q (t) e ˙q (t). Nel secondo approccio, invece, l’evoluzione dinamica viene rappresentata in uno spazio astratto 2-dimensionale denominato spazio delle configurazioni. Per poter definire tale ente geometrico, iniziamo con l’osservare che la (11) `e equivalente a un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Infatti, se in tale equazione differenziale eseguiamo il cambio
di variabili:
x = q y = ˙q , si ha
y = ˙q =⇒ ˙y = ¨q = F (t, x, y) Quindi
˙x = y
˙y = F (t, x, y) , (18)
che `e un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. La totalit`a delle coppie ordinate (x, y) ≡ (q, ˙q) che soddisfano il sistema (18) appartengono allo spazio euclideo R2 cartesianamente rappresentabile da un sistema di assi coordinati, dove in ascisse riportiamo la carica elettrica q e in ordinate l’intensit`a di corrente ˙q. Abbiamo cos`ı definito lo spazio delle configurazioni di SF(c), la cui evoluzione dinamica `e geometricamente rappresentata dal moto del punto (q, ˙q) lungo una curva Γ che definisce la regione dello spazio delle configurazioni accessibile al sistema, ed `e nota come orbita del sistema medesimo. Una rappresentazione parametrica di Γ `e
q = q (t) , ˙q = ˙q (t) , t ∈ [0, +∞) , (19) ove la funzione q (t) `e quindi la ˙q (t), `e la soluzione del problema di Cauchy (17). La coppia ordi- nata (q, ˙q) definisce lo stato del sistema dinamico SF(c). Per quanto precede, lo stato di un sistema deterministico `e univocamente determinato dalle condizioni iniziali e dall’equazione differenziale (11).
2.3 Principio di sovrapposizione degli effetti. Non linearit` a
Una rete lineare obbedisce al principio di sovrapposizione degli effetti, che deriva da una nota pro- priet`a delle equazioni differenziali lineari. Tale circostanza consente di applicare gli strumenti tipici dell’Analisi di Fourier in tutti i casi in cui la f.e.m. E `e una funzione del tempo, non necessariamente periodica. Sfortunatamente, tale principio non `e applicabile alle reti non lineari. Inoltre, la deter- minazione dell’evoluzione dinamica di una rete non lineare `e resa difficoltosa dall’impossibilit`a (in generale) di integrare la (11) in forma chiusa, per cui `e necessario ricorrere all’integrazione numerica.
Tuttavia, le due tipologie di rete sono entrambe deterministiche, in quanto comunque prendiamo una rete lineare o non, la regolarit`a della funzione F `e tale da verificare le ipotesi del teorema di esistenza ed unicit`a. La non linearit`a potrebbe poi produrre gli effetti tipici del cosiddetto caos deterministico, come la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, nonch´e la comparsa di punti di biforcazione. In ogni caso, la non linearit`a pu`o essere tecnologicamente vantaggiosa; basti pensare alla realizzazione di circuiti raddrizzatori che sfruttano il comportamento non lineare di particolari componenti elettronici.
3 Reti lineari (serie RLC)
3.1 Sintesi degli argomenti trattati
In questo paragrafo studieremo il comportamento di una serie RLC, cio`e di un circuito elettrico i cui componenti sono una resistenza, un’induttanza e un condensatore collegati in serie. Verr`a dapprima considerato il caso ideale di resistenza nulla, ovvero di un circuito LC., studiandone l’evoluzione libera (assenza di f.e.m.) e poi l’evoluzione sotto l’effetto di una f.e.m. sinusoidalmente variabile nel tempo, con la conseguente possibilit`a di mandare in risonanza tale circuito (frequenza della f.e.m.=frequenza caratteristica del circuito). Nel suddetto caso ideale, nella condizione di risonanza l’ampiezza di q (t) e di i (t) aumenta linearmente nel tempo. In tale circostanza giova l’analogia meccanica con l’oscil- latore armonico unidimensionale della Meccanica classica (sezione 3.3.1): mostreremo, infatti, che un’ampiezza monotonamente crescente della carica q (t), corrisponde a un’ampiezza monotonamente crescente dell’ascissa x (t) dell’oscillatore, con conseguente rottura della molla.
Nella sezione 3.3.2 verr`a posto l’accento sul noto fenomeno dei battimenti, che si verifica quando la frequenza della f.e.m. differisce di poco dalla frequenza propria del circuito LC, dando luogo a una modulazione d’ampiezza di q (t) e i (t) che avviene con una frequenza pari alla differenza tra le due. Tale frequenza `e detta frequenza dei battimenti, e il suo annullarsi determina la condizione di risonanza che, pertanto, pu`o essere interpretata formalmente come un battimento di frequenza nulla.
Pi`u precisamente, per un resistore di resistenza R, la (7) `e data dalla legge di Ohm:
v = Ri (20)
Per un induttore di coefficiente di autoinduzione (induttanza) L, abbiamo la (9):
v = Ldi
dt (21)
Per un condensatore di capacit`a C, abbiamo la (10):
dv dt = i
C (22)
Le (7)–(9)–(10) applicate a una rete costituita da resistori, induttori e condensatori, conducono a sistemi di equazioni integro-differenziali, in quanto la funzione incognita i (t) compare sia sotto il segno di derivata, che sotto il segno di integrale. Premettiamo la seguente definizione:
Definizione 7 Una serie RLC `e un circuito i cui componenti sono una resistenza R, un’induttanza L e un condensatore C, collegati in serie (cfr. fig. 2).
Figura 2: Schema elettrico di una serie RLC.
Se la serie `e alimentata da una f.e.m. E nota (non necessariamente costante), dalla (5):
E = vR+ vL+ vC, (23)
dove vR, vL, vC sono rispettivamente le tensioni ai capi di R, L e C. Le (20)–(21)–(22) ci consentono di calcolare le suddette grandezze:
vR= Ri, vL= Ldi
dt, vC = 1 C
Zt
0
i (τ ) dτ
In tal modo la (23) assume la forma:
Ri + Ldi dt + 1
C Zt
0
i (τ ) dτ = E, (24)
che `e un’equazione integro–differenziale nella funzione incognita i (t). La (24) `e riducibile a un’equa- zione differenziale: infatti, introducendo la carica elettrica:
q (t) = Zt
0
i (τ ) dτ,
si ha:
d2q dt2 +R
L dq dt + 1
LCq = 1
LV (t) , (25)
dove abbiamo posto E = V (t), funzione assegnata del tempo. La (25) `e un’equazione differenziale del secondo ordine in q (t), lineare a coefficienti costanti. Abbiamo, quindi, il seguente problema di Cauchy:
P :
d2q
dt2 +RLdqdt +LC1 q = L1V (t) q (0) = q0, dqdt
t=0= i0
, (26)
per assegnati valori di carica iniziale q0accumulata nel condensatore e di intensit`a di corrente iniziale i0. Scrivendo la (25) nella forma (11)
¨
q = F (t, q, ˙q) , (27)
dove
F (t, q, ˙q)def= 1
LV (t) − R
L ˙q − 1 LCq, Qui F `e una funzione reale definita nell’insieme:
D =
(t, q, ˙q) ∈ R3 | 0 ≤ t < +∞, (q, ˙q) ∈ A ⊆ R2
⊂ R3
Assumendo V (t) funzione continua in [0, +∞), si ha che F `e continua in D. Inoltre, essendo una funzione lineare delle q, ˙q, segue che essa `e lipschitziana rispetto a tali variabili. Sono allora verificate le ipotesi del teorema di esistenza ed unicit`a, per cui il problema (26) ammette una ed una sola soluzione. Ne consegue che il sistema in esame `e deterministico, come gi`a avevamo osservato nella sezione precedente.
3.3 Caso R = 0. Il circuito LC
Prima di applicare il procedimento standard di integrazione di un’equazione differenziale del tipo (25) consideriamo il caso pi`u semplice che si ottiene ponendo R = 0:
d2q
dt2 + ω02q = 0, (28)
che descrive l’evoluzione libera di un circuito LC (circuito oscillante). Tuttavia, si tratta di un circuito ideale poich´e induttori e condensatori presentano inevitabilmente una resistenza ohmica. `E comunque istruttivo studiare il comportamento di un tale sistema.
Nella (28) la grandezza
ω0
def= 1
√LC (29)
In tal modo, le grandezze elettriche del circuito LC seguono la legge:
q (t) = q0cos ω0t, i (t) = −ω0q0sin ω0t (31) Cio`e q (t) e i (t) sono due oscillazioni sinusoidali di pulsazione ω0, per cui tale grandezza `e un parametro caratteristico del circuito, a cui corrisponde la frequenza
f0 = ω0
2π Ad esempio, per
L = 1 µH, C = 6.33 nF (32)
si ha
ω0 = 1
√10−6· 6.33 · 10−9 rad s−1= 1.26 × 107rad s−1, f0 = 2 MHz,
per cui le grandezze (31) oscillano alla frequenza di 2 MHz. Il grafico `e tracciato nelle figg. 3–4.
2 Π Ω0 Π
Ω0 Π
2 Ω0
t HsecL
-0.00001 -5. ´ 10-6 5. ´ 10-6 0.00001
q HCoulombL
Figura 3: Carica elettrica in funzione del tempo per il circuito LC con L = 1 , C = 6.33 nF. La carica iniziale `e 10−5C.
In particolare dalla fig. 4 notiamo un elevato valore di i (t), dovuto alla rapidit`a in cui varia nel tempo la carica q. L’energia elettrostatica iniziale accumulata dal condensatore `e [1]:
WC,0 = q02
2C (33)
Chiudendo il circuito all’istante t = 0, la carica elettrica sulle armature del condensatore segue la legge data della prima delle (31), per cui a tutti i tempi l’energia accumulata dal condensatore si scrive:
WC(t) = q02
cos2ω0t = WC,0cos2ω0t (34)
2 Π Ω0 Π
Ω0 Π
2 Ω0
t HsecL
-100 -50 50 100 i HAmpereL
Figura 4: Intensit`a di corrente in funzione del tempo per il circuito LC con L = 1 H , C = 6.33 nF.
La corrente iniziale `e nulla.
D’altra parte, la corrispondente corrente i (t) = −ω0q0sin ω0t determina un’energia magnetica nel- l’induttanza:
WL(t) = 1 2Li (t)2
= 1
2Lq02ω20sin2ω0t Tenendo conto della (29):
WL(t) = q20
2C sin2ω0t = WC,0sin2ω0t (35) L’energia totale a tutti i tempi `e:
W (t) = WC(t) + WL(t) (36)
= WC,0, ∀t ∈ [0, +∞)
Ne consegue che la serie LC conserva l’energia totale WC(t) + WL(t). Pi`u precisamente, si assi- ste a una continua trasformazione di energia elettrostatica accumulata dal condensatore in energia magnetica nell’induttanza. Con i valori (32) e per una carica iniziale q0 = 10−5C, si ha:
W = WC,0 = 10−10
2 · 6.33 · 10−9 J = 7.9 × 10−3J Notiamo che le grandezze WL(t) e WC(t) sono periodiche di periodo ωπ
0 che `e la met`a del periodo di i (t) , q (t). Ci`o `e confermato dal grafico di fig. 5.
Nello spazio delle configurazioni, l’orbita del sistema dinamico che modellizza una serie LC `e la curva di rappresentazione parametrica:
Γ : q = q0cos ω0t, i = −ω0q0sin ωt
Eliminando il parametro t si perviene alla rappresentazione ordinaria di Γ : q2
q02 + i2 ω02q20 = 1,
cio`e un’ellisse di semiassi a = q0, b = ω0q0, come illustrato in fig. 6.
2 Π Ω0 Π
4 Ω0
3 Π 4 Ω0
5 Π 4 Ω0 Π
4 Ω0
3 Π 2 Ω0 Π
Ω0 Π
2 Ω0
7 Π 4 Ω0
t HsecL 0.002
Figura 5: A t = 0 l’energia totale W `e pari a quella accumulata nel condensatore, cio`e WC,0 = 2Cq02. Al crescere di t l’energia nel condensatore diminuisce (curva blu), mentre aumenta l’energia magnetica WL. Nell’istante 2ωπ
0 il condensatore `e completamente scarico, e WL assume un massimo. Per t > 2ωπ viene attivato il processo di carica del condensatore, per cui WC aumenta e WLdiminuisce. A t = ωπ0
l’energia WC `e massima; conseguentemente WL = 0. Per t > ωπ 0
0 viene ripetuto il ciclo iniziale.
La somma WC + WL restituisce l’energia totale del circuito (retta orizzontale passante per il punto (0, 7.9 × 10−3).
q0
-q0 q
i
Figura 6: Orbita di un circuito LC in evoluzione libera. Il punto rappresentativo del sistema “parte”
da (q0, 0) percorrendo l’ellisse nel senso orario. Il sistema `e deterministico, poich`e l’orbita `e assegnata univocamente dallo stato iniziale (q0, i0).
3.3.1 Analogia meccanica
Il circuito LC presenta un’analogia con l’oscillatore armonico 1-dimensionale (o lineare) della Mec- canica classica. Ricordiamo che un tale sistema `e costituito da una molla ideale di costante elastica k a cui `e vincolata una particella di massa inerziale m. In assenza di forze esterne e di forze viscose, l’applicazione della seconda legge di Newton conduce all’equazione differenziale:
d2x
dt2 + ω02x = 0, (37)
dove x denota l’ascissa della particella, avendo orientato l’asse x nella direzione dell’asse della molla e con l’origine nella posizione di quiete. Anche in questo caso la grandezza ω0 ha le dimensioni di una pulsazione, ed `e data da:
ω0 = rk
m (38)
Confrontando con le corrispondenti grandezze si perviene alla seguente tabella:
Circuito LC Oscillatore armonico
L m
C 1k
q x
Ne consegue che nel paradigma dei sistemi dinamici a tempo continuo, un circuito LC e un oscillatore armonico sono modellizzati dallo stesso sisema SF(c) a patto di tenere presente le seguenti corrispondenze nell’equazione differenziale:
L ←→ m (39)
C ←→ 1 k q ←→ x
3.3.2 La risonanza: un battimento di frequenza nulla Applichiamo a una serie LC una forza elettromotrice:
V (t) = VMcos Ωt
In tal modo l’equazione differenziale che regola l’evoluzione dinamica del circuito `e
¨
q + ω20q = VMcos Ωt (40)
Dalla teoria delle equazioni differenziali sappiamo che l’integrale generale della (40) si ottiene som- mando a un suo integrale particolare q1(t) l’integrale generale dell’equazione omogenea associata:
¨
q + ω20q = 0
che `e dato dalla (30). Un integrale particolare della (40) ha la forma:
q1(t) = B cos Ωt
“Forziamo” questa funzione affinch`e soddisfi la (40):
˙q1(t) = −ΩB sin Ωt, ¨q1(t) = −Ω2B cos Ωt,
q1(t) = VM
ω20− Ω2 cos Ωt Finalmente l’integrale generale
q (t) = A cos (ω0t + ϕ) + VM
ω02− Ω2cos Ωt Imponendo le condizioni iniziali
q (0) = q0, ˙q (0) = 0, si ha l’evoluzione dinamica della carica elettrica del circuito LC:
q (t) = q0cos ω0t + VM
ω02− Ω2 (cos Ωt − cos ω0t) (41) In assenza di carica iniziale:
q (t) = VM
ω02− Ω2(cos Ωt − cos ω0t) (42)
E la corrente
i (t) = VM
ω20− Ω2 (ω0sin ω0t − Ω sin Ωt) (43) Dalla (42) vediamo che q (t) `e la differenza di due oscillazioni armoniche aventi la stessa ampiezza.
Precisamente:
VM
ω02− Ω2cos Ωt VM
ω02− Ω2cos ω0t
La prima oscillazione ha pulsazione Ω, mentre la seconda oscilla con la pulsazione caratteristica ω0. I corrispondenti periodi sono:
T1 = 2π
Ω, T0 = 2π
ω0 (44)
Ne consegue che q (t) `e periodica se e solo se i periodi (44) hanno in comune un multiplo minimo. A titolo d’esempio supponiamo:
Ω = 3 rad s−1, ω0 = 5 rad s−1, cosicch`e
T1 = 2π
3 s , T0 = 2π 5 s che possono essere scritti come
T1 = 10π
15 , T0 = 6π
15 =⇒ T = 30π 15 = 2π
Π Ω
2 Π Ω
4 Π Ω 3 Π
Ω
t q
Figura 7: Grafico di q (t) = V16M (cos 3t − cos 5t), da cui vediamo che `e periodica di periodo T = 2π.
Cio`e
q (t) = VM
16 (cos 3t − cos 5t) (45)
`e periodica di periodo 2π e quindi ha una pulsazione ω = 1 rad s−1. In fig. 7 `e tracciato il grafico della funzione (45).
Consideriamo ora l’oscillazione
cos πt − cos 5t, ovvero
Ω = π rad s−1, ω0 = 5 rad s−1 (46)
per cui
T1 = 2 s, T0 = 2π
5 s (47)
Dal momento che (47) non hanno un multiplo minimo in comune, segue che la carica elettrica:
q (t) = VM
25 − π2 (cos πt − cos 5t) , non `e periodica. Ci`o `e confermato dal grafico di fig. (8).
Svincoliamoci dalla differenza a secondo membro della (43) utilizzando le formule di prostaferesi:
q (t) = 2VM
ω02− Ω2 sin ω0+ Ω 2 t
sin ω0− Ω
2 t
(48) Poniamo
ω1 = ω0+ Ω
2 , ω2 = |ω0− Ω|
2 (49)
Senza perdita di generalit`a supponiamo ω0 > Ω per cui ω2 = ω0− Ω
2
Π Ω
2 Π Ω
4 Π Ω 3 Π
Ω
5 Π Ω
6 Π Ω
t
Figura 8: Grafico di q (t) = 25−πVM2 (cos πt − cos 5t), da cui vediamo che non `e una funzione periodica del tempo t.
e la (48) diventa:
q (t) = VM
2ω1ω2
sin ω2t
| {z }
ampiezza
sin ω1t, (50)
La (50) `e un’oscillazione sinusoidale di pulsazione ω1, la cui ampiezza `e:
A (t, ω1, ω2) = VM 2ω1ω2
sin ω2t, (51)
che a sua volta oscilla sinusoidalmente con pulsazione ω2 < ω1, denominata pulsazione di modulazione, mentre ω1 `e la pulsazione base. Per giustificare tale denominazione, osserviamo che il grafico γq della funzione (50) `e contenuto tra le curve del piano cartesiano tq di equazione q = ±A (t, ω1, ω2). Infatti dalla (50):
|q (t)| = |A (t, ω1, ω2)| |sin ω1t|
| {z }
≤1
≤ |A (t, ω1, ω2)| , per cui:
γq =
(t, q) ∈ R2 | 0 ≤ t < +∞, −A (t, ω1, ω2) ≤ q ≤ A (t, ω1, ω2)
Se ω2 ≪ ω1 si verifica il fenomeno dei battimenti che consiste in una modulazione di ampiezza di q (t), nel senso che tale ampiezza oscilla con frequenza ω2. Tenendo conto delle (49) segue che la disuguaglianza ω2 ≪ ω1 `e soddisfatta per ω0, Ω ≫ 1 con ω0 dello stesso ordine di grandezza di Ω.
In tali condizioni riesce ω1 ∼ ω0, cio`e q (t) oscilla approssimativamente con pulsazione ω0. Nel caso opposto
Ω ≪ ω0 =⇒ ω1 ∼ ω2 ∼ ω0
2 , (52)
cio`e ω1 e ω2 sono dello stesso ordine di grandezza, per cui l’ampiezza di q (t) non `e modulata da A (t, ω1, ω2) come possiamo verificare con i seguenti valori.
ω0 = 102rad s−1, Ω = 10 rad s−1 (53)
Quindi
ω1 = 55 rad s−1, ω2 = 45 rad s−1 =⇒ ω1 ∼ ω2 ∼ ω0
2 Le oscillazioni componenti sono
VM
102− 10 cos 10t, VM
102− 10 cos 102t, graficate in fig. 9, mentre l’oscillazione risultante
q (t) = VM
102− 10 cos 10t − cos 102t
(54) messa nella forma (48), diviene:
q (t) =
VM
50 (102− 1)sin (45t)
sin (55t) (55)
Dalla (54) vediamo che i periodi delle oscillazioni componenti sono:
T0 = 2π ω0
= π
50s, T1 = 2π Ω = π
5 s, per cui q (t) `e una funzione periodica di periodo
T = π 5 s
Il grafico `e riportato in fig. 10, mentre in fig. (11) riportiamo il grafico carica elettrica q (t) espressa in termini delle pulsazioni ω1 e ω2 (cfr. eq. 55).
E istruttivo disegnare il diagramma delle orbite per tale sistema. Ad esempio, se Ω `e trascurabile` rispetto a ω0, o se `e esattamente nullo, ci aspettiamo un ellisse. Ci`o `e confermato dal grafico di fig.
(12)
Se proviamo ad aumentare Ω, l’ellisse subisce delle traslazioni lungo l’asse delle ascisse fino a sdoppiarsi, per poi separarsi, come vediamo dalle figg. 13)– (14)– (15) dove t = 1 s, 2 s, 3 s, rispettivamente.
Dalla (52) vediamo che se V (t) `e un segnale a bassa frequenza (rispetto a ω0), la carica q (t) oscilla alla frequenza angolare
ω1 ∼ ω2 ∼ ω0 2 Infatti, in tale ordine di approssimazione:
q (t) ≃ 2VM
ω02 sin2 ω0t 2
, (56)
graficata in fig. 16. Ne consegue che la corrente oscilla sinusoidalmente:
i (t) = VM
ω0
sin ω0t
T0=2 Π
Ω0
T1=2 Π
W
Figura 9: In questo grafico riportiamo le oscillazioni che compongono la (42) per ω0 = 102rad s−1, Ω = 10 rad s−1. In altri termini, la pulsazione della f.e.m. che alimenta il circuito LC `e molto pi`u bassa della pulsazione caratteristica ω0.
T0=2 Π
Ω0
T1=2 Π
W 2T1=4 Π
W
Figura 10: Grafico di q (t) = 10V2M−10(cos 10t − cos 102t) (curva in nero) e delle sue oscillazioni componenti.
Π 5
2 Π 5
Figura 11: Grafico di q (t) = h
1
50(102−1)sin (45t)i
sin (55t) (curva in nero), da cui vediamo che `e contenuto nella regione compresa tra le curve q = ±A (t, ω1, ω2), ma l’ampiezza di q (t) varia con legge differente, per cui non `e modulata da A (t, ω1, ω2).
q i
Figura 12: Orbita del punto rappresentativo del circuito LC nello spazio delle configurazioni, alimentato da V (t) = VM =costante.
Figura 13: Orbita al tempo t = 1 s del punto rappresentativo del circuito LC nello spazio delle configurazioni, alimentato da V (t) = VMcos Ωt, con Ω = 1 rad s.
q i
Figura 14: Orbita al tempo t = 2 s del punto rappresentativo del circuito LC nello spazio delle configurazioni, alimentato da V (t) = VMcos Ωt, con Ω = 1 rad s.
q i
Figura 15: Orbita al tempo t = 3 s del punto rappresentativo del circuito LC nello spazio delle configurazioni, alimentato da V (t) = VMcos Ωt, con Ω = 1 rad s.
Si noti che alle stesse conclusioni si perviene utilizzando la (42):
q (t) ≃
Ω≪ω0
VM
ω20 (1 − cos ω0t) (57)
Utilizzando la nota formula:
cos ω0t = 1 − 2 sin2 ω0t 2
,
da cui la (56). Per Ω = 0, cio`e se il circuito LC `e alimentato da una f.e.m. costante V = VM, la (57)
`e esattamente verificata. Tale risultato `e consistente, poich`e la f.e.m. costante carica il condensatore, innescando le oscillazioni a frequenza ω0.
t q
Figura 16: Un segnale a bassa frequenza V (t) = VMcos 10t alimenta un circuito LC con pulsazione caratteristica ω0 = 106rad s−1. La carica elettrica segue la legge graficata in blu contenuta nella regione delimitata da ±A t, ω1 ≃ ω20, ω2 ≃ ω20
.
3.3.3 Caso particolare
Ora consideriamo frequenze ω0 e Ω abbastanza “vicine”. Ad esempio:
ω0 = 103rad s−1, Ω = 9 × 102rad s−1, (58) per cui
ω1 = 950 rad s−1, ω2 = 50 rad s−1, cio`e ω2 ≪ ω1. Le oscillazioni componenti sono
VM
19 × 104 cos 9 × 102t
, VM
19 × 104 cos 103t , graficate in fig. 17, mentre l’oscillazione risultante
q (t) = VM
19 × 104
cos 9 × 102t
− cos 103t
t
Figura 17: In questo grafico riportiamo le oscillazioni che compongono la (42) per ω0 = 103rad s−1, Ω = 9 × 102rad s−1.
t q
Figura 18: Grafico di q (t) = VM
19×104 sin (50t)
sin (950t).
La grandezza q (t) oscilla a ω1 = 950 rad s−1che `e prossima a quella delle oscillazioni componenti, mentre l’ampiezza oscilla a ω2 = 50 rad s−1, cio`e lentamente rispetto all’oscillazione di q (t). Dal grafico di fig. (18) vediamo che le oscillazioni di q (t)sono inviluppate dalle curve ±A (t, ω1, ω2) che realizzano la modulazione d’ampiezza della carica elettrica nel circuito oscillante.
Derivando la (50) otteniamo la corrente:
i (t) = A1(t, ω1, ω2) sin ω1t + A2(t, ω1, ω2) cos ω1t, (59) dove
A1(t, ω1, ω2) = VM
2ω1
cos ω2t, A2(t, ω1, ω2) = VM
2ω2
sin ω2t (60)
Cio`e, la corrente `e la somma di due oscillazioni sinusoidali modulate in ampiezza dalle (60). In fig.
19`e riportato il grafico di i (t) per valori di ω0 e Ω dati dalla (58).
t HsecL i HAmpereL
Figura 19: Andamento della corrente i (t) data dalla (59).
In un singolo ciclo di oscillazione di
|A (t, ω1, ω2)| = VM
2ω1ω2 |sin ω2t| , tale funzione assume un massimo per t tale che
|sin ω2t| = 1
I massimi valori di |A (t, ω1, ω2)| si dicono battimenti e, per quanto precede, in ogni ciclo di oscillazione si realizzano 2 battimenti, uno per sin ω2t = +1, l’altro per sin ω2t = −1. Ne consegue che denotando con ωB la frequenza angolare dei battimenti, si ha
ωB = 2ω2 = 2 |ω0− Ω|
Passando dalle pulsazioni alle frequenze:
fB= 2 |f0 − f|
In questo caso il diagramma delle orbite `e pi`u complesso di quello del caso (53), come possiamo vedere dalla fig. 20.
***
Figura 20: Orbita al tempo t = 0.4 s del punto rappresentativo del circuito LC nello spazio delle configurazioni, alimentato da V (t) = VMcos Ωt, con Ω = 9 × 102rad s−1, mentre ω0 = 103rad s−1.
Abbiamo visto che se ω0 e Ω assumono valori relativamente “vicini”, l’andamento della q (t) e della i (t) `e modulato in ampiezza. Consideriamo ora il caso della risonanza, ovvero
ω0 = Ω
Si noti che tale circostanza si verifica nel preselettore di un sistema di ricezione a radiofrequenza, accoppiato per mutua induzione ad un’antenna ricevente. In questo caso, il condensatore ha una capacit`a variabile tramite la rotazione di una manopola, e ci`o permette di variare la frequenza ω0 del preselettore fino ad accordarla alla frequenza Ω della stazione trasmittente.
Utilizzando l’espressione (42) che qui riscriviamo
q (t) = VMcos Ωt − cos ω0t ω20− Ω2 , vediamo che
ωlim0→Ωq (t) = 0 0
Per rimuovere tale forma indeterminata, utilizziamo per la carica elettrica l’espressione q (t) = VM
2ω1ω2
sin (ω1t) sin (ω2t) Osservando che
ωlim0→Ωω1 = Ω, lim
ω0→Ωω2 = 0, si ha
ωlim0→Ωq (t) = VM
2Ω sin (Ωt) lim
ω2→0
sin (ω2t) ω2
= VM
2Ωt sin (Ωt) lim
ω2→0
sin (ω2t) ω2
| {z }
=1
= VM
2Ωt sin (Ωt)
Cio`e, in condizioni di risonanza la carica segue la legge:
q (t) = VM
2Ωt sin (Ωt) , (61)
e quindi la corrente per derivazione rispetto al tempo:
i (t) = VM
2Ω (sin Ωt + Ωt cos Ωt) (62)
I grafici di tali grandezze sono disegnati nelle figg. 21–22, mentre il diagramma delle orbite `e riportato in fig. 23
t q
Figura 21: Carica elettrica in funzione del tempo in un circuito LC in condizioni di risonanza.
Dalle (61)–(62) segue:
t→+∞lim q (t) = +∞, lim
t→+∞i (t) = +∞
Rammentando l’analogia meccanica esaminata nella sezione precedente, si ha che in condizioni di risonanza il circuito LC viene a trovarsi nelle stesse condizioni di un oscillatore armonico ideale in condizioni di risonanza, per il quale:
x (t) = FM
2Ωt sin (Ωt) , dove FM `e il massimo valore della forza applicata
F (t) = FMcos Ωt
E chiaro che dopo un certo intervallo di tempo t, la molla si spezza.`
3.4 Caso R 6= 0
3.4.1 Evoluzione libera
Per quanto precede, l’evoluzione libera si riferisce all’evoluzione dinamica della serie RLC in assen- za di forza elettromotrice. Naturalmente, dovr`a essere presente una carica iniziale q0 accumulata
t
Figura 22: Intensit`a di corrente in funzione del tempo in un circuito LC in condizioni di risonanza.
q i
Figura 23: Diagramma delle orbite di un circuito LC in condizioni di risonanza.
nel condensatore. Applichiamo, dunque, il procedimento standard di integrazione di un’equazione differenziale ordinaria lineare omogenea:
d2q dt2 + R
L dq dt + 1
LCq = 0, (63)
la cui equazione caratteristica `e:
λ2+R
Lλ + 1
LC = 0 (64)
Le sue radici sono:
λ = −R 2L±
s R 2L
2
− 1
LC (65)
Distinguiamo i seguenti casi:
1. Caso aperiodico 2LR2
> LC1 =⇒ R > 2 qL
C
def= Rcrit
2. Caso critico 2LR2
= LC1 =⇒ R = Rcrit 3. Caso oscillatorio smorzato 2LR2
< LC1 =⇒ R < Rcrit 3.4.2 Caso aperiodico (R > Rcrit)
Nel caso 1 abbiamo due radici reali e distinte:
λ− = −R 2L −
s R 2L
2
− 1 LC
def= −α < 0 (66)
λ+ = −R 2L +
s R 2L
2
− 1 LC
def= −β < 0,
Cio`e:
α = R 2L+
s R 2L
2
− 1
LC > 0, ∀R > Rcrit (67)
β = R 2L−
s R 2L
2
− 1
LC > 0, ∀R > Rcrit,
aventi le dimensioni dell’inverso di un tempo. Un sistema fondamentale di integrali della (63) `e {Q1(t) , Q2(t)}, dove
Q1(t) = e−αt, Q2(t) = e−βt Ci`o implica che l’integrale generale della (63) si scrive:
q (t) = c1e−αt+ c2e−βt, ∀c1, c2 ∈ R (68) Introduciamo due grandezze caratteristiche – cio`e dipendenti solo da R, L, C e non da una eventuale f.e.m. – con le dimensioni di un tempo e di una frequenza rispettivamente (la ω0 `e gi`a stata definita nel caso del circuito LC):
τ = 2L
R , ω0 = 1
√LC (69)
mentre dalle (67):
α = 1 τ +
r1
τ2 − ω02 (73)
β = 1 τ −
r 1 τ2 − ω02
Derivando la (68) rispetto al tempo otteniamo la corrente:
i (t) = −αc1e−αt− βc2e−βt (74)
Imponendo le condizioni iniziali si perviene al sistema lineare omogeneo nelle incognite c1, c2:
c1+ c2 = q0
−αc1− βc2 = i0 , (75)
da cui
c1 = −βq0+ i0
α − β , c2 = αq0+ i0
α − β (76)
Prima di sostituire le (76) nella (68), definiamo altre due grandezze con le dimensioni di un tempo:
τ1 = 1
α > 0, τ2 = 1 β > 0 Tenendo conto delle (73):
τ1 = τ
1 + q
1 − (ω0τ )2
(77)
Alla stessa maniera:
τ2 = τ
1 − q
1 − (ω0τ )2
(78)
La realt`a di τ1, τ2 `e garantita dalla condizione (72). Sostituendo le (75) nella (68) otteniamo la carica elettrica in funzione del tempo:
q (t) = −βq0+ i0
α − β e−
t
τ1 +αq0 + i0
α − β e−
t
τ2 (79)
Alla stessa maniera, partendo dalla (74) otteniamo:
i (t) = K1e−
t
τ1 + K2e−
t
τ2, (80)
dove abbiamo introdotto le costanti
K1 = α (βq0+ i0)
α − β , K2 = −β (αq0+ i0)
α − β (81)
Ne consegue che τ1, τ2 sono delle costanti di tempo della serie RLC. Per avere un’idea dell’ordine di grandezza di τ, τ1, τ2, supponiamo di avere una serie RLC con un condensatore variabile, deter- minando innanzitutto l’insieme dei valori della capacit`a C per i quali riesce ω0τ < 1. `E chiaro che τ = 2LR `e noto, giacch`e sono assegnati i valori di L e R. Deve essere:
ω0τ < 1 ⇐⇒ τ
√LC < 1 ⇐⇒ C > τ2 L Ad esempio, se R = 102Ω, L = 10−2H, riesce
τ = 2 × 10−2
102 = 2 × 10−4s, per cui deve essere:
C > 4 × 10−6F Ponendo C = 5 × 10−6F, otteniamo:
ω0 = 2 × 103√
5 rad s−1 ≃ 4.47 × 103rad s−1 τ1 = 2√
5 × 10−4
√5 + 1 s ≃ 1.38 × 10−4s τ2 = 2√
5 × 10−4
√5 − 1 s ≃ 3.6 × 10−4s
Nelle figg. 24–25riportiamo l’andamento di τ1, τ2 in funzione di C per questa particolare serie RLC.
C=4´10-6HΩ0Τ=1L0.000025 0.00004 0.00006 0.00008
C HFaradL Τ
0.00005 0.0001 0.00015 0.00025
Τ1HsecL
Figura 24: Andamento della costante di tempo τ1 in funzione di C. La retta tratteggiata corrisponde al valore di τ .
Nella (79) esprimiamo le varie costanti in termini di τ1, τ2:
−βq0+ i0
α − β = −
τ1
τ2− τ1q0+ τ1τ2
τ2− τ1i0
αq0+ i0
α − β = τ2
τ2− τ1
q0+ τ1τ2
τ2− τ1
i0,
0.0000 0.00002 0.00004 0.00006 0.00008 0.0001C HFaradL 0.002
0.004
Figura 25: Andamento della costante di tempo τ2 in funzione di C. La retta tratteggiata corrisponde al valore di τ .
per cui
q (t) = − τ1τ2 τ2− τ1
1 τ2
q0+ i0
e−
t
τ1 + τ1τ2 τ2− τ1
1 τ1
q0+ i0
e−
t
τ2 (82)
Alla stessa maniera per (80):
K1 = q0+ i0τ2
τ2− τ1 , K2 = −q0+ i0τ1
τ2− τ1 , onde
i (t) = q0+ i0τ2 τ2− τ1 e−
t
τ1 − q0+ i0τ1 τ2− τ1 e−
t
τ2 (83)
Da tali equazioni segue che q (t) e i (t) si annullano esponenzialmente per t → +∞. Pi`u specificata- mente, dal momento che τ2 > τ1, si ha:
q (t) , i (t) −→
τ ≫τ2
0
In altri termini, τ2 e τ1 fissano la durata del transitorio. Nel caso particolare i0 = 0:
q (t) = q0
τ2− τ1
τ2e−
t
τ2 − τ1e−
t τ1
, (84)
da cui la corrente:
i (t) = q0
τ2− τ1
e−
t τ1 − e−
t τ2
(85) Riprendendo i valori dell’esempio precedente (R = 102Ω, L = 10−2H, C = 5 × 10−6F) otteniamo gli andamenti plottati nelle figg. 26–27.
3.4.3 Caso critico (R = Rcrit)
L’equazione caratteristica (64) ha una sola radice reale:
λ = −R def
= −α < 0, (86)
0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 t HsecL 0.02
0.04 0.06 0.08 0.10 q HCoulombL
Figura 26: Andamento della carica elettrica q (t) assumendo come carica iniziale q0 = 0.1 C, e corrente iniziale i0 = 0.
0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010t HsecL
-150 -100 -50 i HAmpereL
Figura 27: Andamento della corrente i (t). Risulta i (t) < 0 in quanto la carica elettrica q (t) `e monotonamente decrescente.
Cio`e
τ = 1 α Derivando la funzione (87) otteniamo la corrente
i (t) = −c1
τ e−τt + c2
1 − t
τ
e−τt (89)
Imponendo le condizioni iniziali q (0) = q0, i (0) = i0 si perviene al sistema:
c1 = q0
−cτ1 + c2 = i0 ,
da cui c1 = q0, c2 = i0+qτ0. Quindi l’integrale particolare che ci interessa `e:
q (t) = q0e−τt + i0+q0
τ
te−τt, (90)
e la corrente
i (t) = −q0
τ e−τt + i0+ q0
τ
1 − t
τ
e−τt (91)
Al solito, assumendo i0 = 0 le equazioni (90)–(91) si scrivono:
q (t) = q0
1 + t
τ
e−τt (92)
i (t) = −q0
τ2te−τt
A differenza del caso aperiodico dove intervenivano due costanti di tempo τ1, τ2, la scala dei tempi del transitorio `e fissata dall’unica costante di tempo τ = 2LR:
q (t) , i (t) −→
t≫τ 0 A rigore:
t→+∞lim q (t) = 0, lim
t→+∞i (t) = 0
Osservazione 8 L’esistenza di una sola costante di tempo si stabilisce osservando innanzitutto che la condizione di criticit`a
R = Rcrit, (93)
`e equivalente alla
ω0τ = 1 (94)
Ci`o `e visibile dalla (71), mentre dalle (77)–(78) ricaviamo immediatamente τ1 = τ2 = τ .
Si noti che, per assegnati valori di L, C, la durata τ del transitorio va come R−1. Ci`o `e ragionevole, poich`e elevati valori della resistenza elettrica R dissipano – per effetto Joule – l’energia elettrostatica inizialmente presente nel condensatore.
Riprendendo l’esempio numerico della sezione precedente, ovvero una serie RLC con R = 102Ω, L = 10−2H, `e subito visto che il valore della capacit`a del condensatore che verifica la condizione di criti- cit`a (93) `e C = 4 × 10−6F. Assumendo una carica iniziale q0 = 1 C, troviamo gli andamenti plottati nelle figg. 28–29.
0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010t HsecL
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 q HCoulombL
Figura 28: Andamento della carica elettrica q (t) assumendo come carica iniziale q0 = 1 C, e corrente iniziale i0 = 0.
0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010t HsecL
-1500 -1000 -500
i HAmpereL
Figura 29: Andamento della corrente i (t). Risulta i (t) < 0 in quanto la carica elettrica q (t) `e monotonamente decrescente.
3.4.4 Caso oscillatorio smorzato R < Rcrit
L’equazione caratteristica (64) ammette due radici complesse coniugate:
λ± = −R 2L ± j
s 1
LC − R 2L
2
, (j =√
−1) (95)
ω def= 1
LC − R 2L
2
(98) ha le dimensioni di una pulsazione. Ne consegue che un sistema di integrali fondamentali `e
e−λ+t, e−λ−t
≡
e−(α+jω)t, e−(α−jω)t Pertanto l’integrale generale della (68) si scrive:
q (t) = K1e−(α+jω)t+ K2e−(α−jω)t, (99) dove K1, K2 sono costanti arbitrarie. Sviluppando gli esponenziali complessi utilizzando la nota formula di Eulero, si ottiene:
e−(α+jω)t= e−αte−jωt
= e−αt(cos ωt − j sin ωt) e−(α−jω)t= e−αt(cos ωt + j sin ωt) , cosicch`e:
q (t) = (K1+ K2) e−αtcos ωt + j (K2− K1) e−αtsin ωt (100) Cio`e
q (t) = c1e−αtcos ωt + c2e−αtsin ωt, (101) avendo definito le nuove costanti di integrazione:
c1 = K1+ K2, c2 = j (K2− K1) Derivando la funzione (99):
i (t) = −αc1e−αtcos ωt − c1ωe−αtsin ωt (102)
− αc2e−αtsin ωt + ωc2e−αtcos ωt Le condizioni iniziali
q (0) = q0 > 0, i (0) = 0 implicano
c1 = q0
−αc1+ ωc2 = 0 =⇒ c1 = q0, c2 = αq0
ω , che sostituite nelle (101)–(102):
q (t) = q0e−αt
cos ωt + α
ω sin ωt
(103) i (t) = −q0α2+ ω2
ω e−αtsin ωt
