Meccanica Classica.
Programma dettagliato a/a/ 2015/2016.
Nozioni introduttive e richiami di Fisica I
Cinematica del punto materiale: velocità e accelerazione. Potenziale di una forza. Leggi di Newton.
Prima e seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali. Potenza di una forza e teorema dell'energia cinetica.
Teorema di Koenig di decomposizione dell'energia cinetica.
Il Gruppo delle trasformazioni di Galileo.
Esistenza del potenziale per interazioni posizionali a due corpi.
Teoria dei sistemi dinamici:
Oscillatori: armonici, smorzati e forzati.
Analisi qualitativa dei sistemi Newtoniani conservativi nel piano (ovvero ad un grado di libertà ).
Diagrammi di fase: punti stazionari, moti limitati e periodi.
Periodo delle piccole oscillazioni. Moti illimitati. Separatrici.
Il sistema di Lotka-Volterra e le tre leggi di Volterra.
Dipendenza dei punti di equilibrio da un parametro e diagrammi di biforcazione.
Meccanica Lagrangiana:
Vincoli posizionali bilateri, gradi di libertà e coordinate Lagrangiane.
Reazione vincolare: il caso dei vincoli lisci.
Problemi di distacco con vincoli non bilateri.
Equazioni di Eulero-Lagrange come equazioni di bilancio energetico: caso di vincoli fissi e posizionali; in particolare, deduzione dell'equazione di Eulero- Lagrange per sistemi ad un grado di liberta' .
Variabili cicliche (ignorabili), potenziale efficace e Lagrangiana ridotta.
Il pendolo sferico. Condizioni di periodicità del moto.
Moto radiale e moto angolare in un campo centrale. Il problema di Keplero.
Forma generale delle equazioni di Lagrange per sistemi meccanici.
Punti di equilibrio e stabilità.
Piccole oscillazioni e linearizzazione di un sistema ad N gradi di libertà . Lagrangiana linearizzata, frequenze proprie e modi normali di oscillazione.
Il funzionale d'azione e la formulazione variazionale delle equazioni di Eulero- Lagrange. Dimostrazione nel caso ad un grado di libertà.
Equivalenza di Lagrangiane e di funzionali d'azione.
Formulazione lagrangiana delle equazioni del moto di una particella carica in un campo elettromagnetico: potenziali generalizzati (dipendenti dalla velocità).
Invarianza delle equazioni per trasformazioni di gauge dei potenziali elettromagnetici.
Integrale di Jacobi (integrale dell'energia) in Meccanica Lagrangiana.
Simmetrie e leggi di conservazione. Il teorema di Noether: generatore infinitesimale di una simmetria e costante del moto.
Meccanica Hamiltoniana:
Trasformazione di Legendre ed equazioni di Hamilton. Spazio delle fasi di un sistema Hamiltoniano e coordinate canoniche.
Equivalenza con le equazioni di Eulero-Lagrange.
Variabili cicliche in Meccanica Hamiltoniana.
Formulazioni variazionali delle equazioni di Hamilton.
Parentesi di Poisson: definizione e proprietà.
Formulazione delle equazioni di Hamilton attraverso le parentesi di Poisson.
Trasformazioni canoniche e funzioni generatrici.
Trasformazioni canoniche di contatto.
Trasformazioni canoniche infinitesime.
Il teorema di Noether in Meccanica Hamiltoniana.
Trasformazioni canoniche e conservazione delle parentesi di Poisson fondamentali.
L'evoluzione temporale come trasformazione canonica ed il teorema di Liouville sulla conservazione del volume nello spazio della fasi.
L'equazione di Hamilton-Jacobi per la funzione principale di Hamilton.
Integrali completi ed integrali separati.
Separazione della variabile temporale nel caso delle Hamiltoniane indipendenti dal tempo.
Note:
1) In italico sono segnati i punti fondamentali.
2) L'ordine di questo programma non è (sempre) strettamente quello cronologico dello sviluppo del corso.
