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Compito di Matematica Discreta (14 febbraio 2011)

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Compito di Matematica Discreta (14 febbraio 2011)

Avvertenza: il punteggio massimo alle risposte viene attribuito solo in caso di giustificazioni dettagliate del ragionamento

1) Calcolare quante sono le possibili matrici con 6 righe e 6 colonne ad elementi nell’insieme {1,2,3,4,5} che contengono esattamente 10 valori dispari. (5 p.)

2) Si consideri l’insieme A di tutte le parole di lunghezza 7 sull’alfabeto {a,b,c,d,e,f,g,h}. Contare il numero di parole in A che non soddisfano nessuna delle seguenti condizioni:

a) nessuna delle lettere della parola è la c; b) esattamente 3 lettere della parola coincidono con la lettera h (6 p.)

3) Dimostrare che per ogni numero naturale n il seguente numero:

n

5

+4n+10 è multiplo di 5 (4 p.)

4) Dato l’insieme A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, contare il numero delle funzioni f: A  A tali che i numeri pari hanno come immagine un numero dispari e i numeri dispari>3 hanno come immagine un numero pari.

Fra le precedenti funzioni contare poi solo quelle surgettive. (6 p.)

5) Dato l’insieme A={1,2,3,4,5}, si consideri il grafo semplice non orientato in cui i vertici sono tutti i sottoinsiemi di A che contengono almeno 2 elementi e sono diversi da A, e in cui due vertici distinti x,y sono adiacenti se, indicata con t la cardinalità di x e con s la cardinalità di y, la somma t+s è pari.

a) Quante componenti connesse ha il grafo ? (3 p.) b) Qual è il numero cromatico del grafo ? (3 p.)

c) In ogni singola componente connessa (considerata come grafo), esiste un

cammino Euleriano ? (3 p.)

Riferimenti

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