Lezione 4 Meccanica dei continui

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Lezioni del corso di

Elementi di Meccanica Strutturale

Università del Salento

Corso di Laurea in Ingegneria Industriale

prof. ing. Riccardo Nobile

1

Lezione 4 – Meccanica dei continui

(2)

La meccanica dei continui si occupa di determinare le leggi che regolano la deformazione dei corpi materiali continui a massa diffusa sotto l’azione dei carichi su di essi agenti.

Studiare la deformazione di un corpo significa confrontare, sia a livello globale che a livello locale, la configurazione geometrica attuale con una configurazione geometrica di riferimento, in cui si assume che sul corpo non agisca alcuna forza (configurazione indeformata).

La meccanica dei continui Introduzione

2

R. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Meccanica dei continui

Uni ver sità del Salento

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Da un punto di vista fisico, la configurazione deformata di un corpo può essere più o meno diversa dalla configurazione indeformata, a seconda dell’entità dei carichi applicati e delle caratteristiche proprie del materiale.

A seconda dell’entità delle deformazioni, i fenomeni possono essere descritti da due teorie:

- modello lineare di Eulero o teoria delle piccole deformazioni - modello non lineare di Cauchy o teoria delle grandi deformazioni

La teoria delle piccole deformazioni di Eulero può essere considerata un caso particolare della seconda

Nella stragrande maggioranza delle applicazioni strutturali si ricade nel campo del modello lineare

La meccanica dei continui Introduzione

3

Uni ver sità del Salento

(4)

Assegnato un corpo continuo di volume V, definiamo una funzione vettoriale spostamento u, che rappresenta lo spostamento subito dal generico punto P tra due diverse configurazioni geometriche del corpo di volume V.

Facendo riferimento ad un sistema di riferimento Oxyz, il vettore u sarà definito dalla conoscenza delle sue tre componenti u, v, w:

Deformazione

Funzione spostamento

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Uni ver sità del Salento

𝑢 𝑃 = 𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 + 𝑤𝑘

x y

P'

P

u

v

(5)

Partendo dalla definizione di u, è possibile definire il tensore del gradiente di spostamento:

Deformazione

Gradiente di spostamento

5

Uni ver sità del Salento

𝑢 𝑃 = 𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 + 𝑤𝑘

x y

P'

P

u

v

𝐷𝑢 =

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜕𝑤

𝜕𝑧

(6)

Consideriamo a questo punto un elemento infinitesimo in corrispondenza del punto P.

A seguito dell’applicazione dei carichi, l’elemento infinitesimo subirà una rototraslazione e una variazione di forma.

Deformazione

Deformazioni infinitesime

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Uni ver sità del Salento

x y

P'

dx

dy

P

?v

?u

?xy/2

(7)

Tralasciando il moto di rototraslazione, che rappresenta un moto di corpo rigido, le grandezze caratteristiche che esprimono la variazione di forma intervenuta sono rappresentate dai seguenti parametri:

- deformazioni estensionali - deformazioni di scorrimento

angolare

Deformazione

Deformazioni infinitesime

7

Uni ver sità del Salento

x y

P'

dx

dy

P

?v

?u

?xy/2

(8)

- deformazioni estensionali

Deformazione

Deformazioni infinitesime

8

Uni ver sità del Salento

x y

P'

dx

dy

P

?v

?u

?xy/2

𝜀_𝑥𝑥 = 𝑑𝑥^′ − 𝑑𝑥

𝑑𝑥 = 𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜀_𝑦𝑦 = 𝑑𝑦^′ − 𝑑𝑦

𝑑𝑦 = 𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜀_𝑧𝑧 = 𝑑𝑧^′ − 𝑑𝑧

𝑑𝑧 = 𝜕𝑤

𝜕𝑧

(9)

- deformazioni di scorrimento angolare

Deformazione

Deformazioni infinitesime

9

Uni ver sità del Salento

x y

P'

dx

dy

P

?v

?u

?xy/2

𝜀_𝑥𝑦 = 1 2

𝜕𝑢

𝜕𝑦 +𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜀_𝑦𝑧 = 1 2

𝜕𝑣

𝜕𝑧 +𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝜀_𝑧𝑥 = 1 2

𝜕𝑤

𝜕𝑥 +𝜕𝑢

𝜕𝑧

(10)

In termini matematici tutti i parametri deformativi vengono raccolti in un tensore di deformazione E, che può essere espresso in funzione del tensore gradiente di spostamento Du e del suo trasposto Du^T:

Deformazione

Tensore di deformazione E

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Uni ver sità del Salento

𝐸 =

𝜀_𝑥𝑥 𝜀_𝑥𝑦 𝜀_𝑥𝑧 𝜀_𝑦𝑥 𝜀_𝑦𝑦 𝜀_𝑦𝑧 𝜀_𝑧𝑥 𝜀_𝑧𝑦 𝜀_𝑧𝑧 =

𝜕𝑢

𝜕𝑥

1 2

𝜕𝑢

𝜕𝑦 +𝜕𝑣

𝜕𝑥

1 2

𝜕𝑢

𝜕𝑧 + 𝜕𝑤

𝜕𝑥 1

2

𝜕𝑣

𝜕𝑥 +𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑦

1 2

𝜕𝑣

𝜕𝑧 +𝜕𝑤

𝜕𝑦 1

2

𝜕𝑤

𝜕𝑥 +𝜕𝑢

𝜕𝑧

1 2

𝜕𝑤

𝜕𝑦 +𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝐸 = 1

2 𝐷𝑢 + 𝐷𝑢^𝑇

(11)

Il tensore di deformazione E gode della proprietà di:

- Simmetria

Deformazione

Tensore di deformazione E

11

Uni ver sità del Salento

𝐸 =

𝜀_𝑥𝑥 𝜀_𝑥𝑦 𝜀_𝑥𝑧 𝜀_𝑦𝑥 𝜀_𝑦𝑦 𝜀_𝑦𝑧 𝜀_𝑧𝑥 𝜀_𝑦𝑧 𝜀_𝑧𝑧 =

𝜕𝑢

𝜕𝑥

1 2

𝜕𝑢

𝜕𝑦 +𝜕𝑣

𝜕𝑥

1 2

𝜕𝑢

𝜕𝑧 + 𝜕𝑤

𝜕𝑥 1

2

𝜕𝑣

𝜕𝑥 +𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑦

1 2

𝜕𝑣

𝜕𝑧 +𝜕𝑤

𝜕𝑦 1

2

𝜕𝑤

𝜕𝑥 +𝜕𝑢

𝜕𝑧

1 2

𝜕𝑤

𝜕𝑦 +𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝐸 = 1

2 𝐷𝑢 + 𝐷𝑢^𝑇

(12)

Il tensore di deformazione E può essere espresso in funzione delle deformazioni principali (autovalori) in corrispondenza delle direzioni principali di deformazione (autovettori)

Deformazione

Tensore di deformazione E

12

Uni ver sità del Salento

_{𝐸 =} ^𝜀¹ ⁰ ⁰₀ _𝜀₂ ₀

0 0 𝜀₃

Secondo le direzioni principali di deformazione, il corpo subisce esclusivamente deformazioni estensionali.

Secondo tali direzioni, le deformazioni assumono il valore massimo assoluto (ε₁) e minimo assoluto (ε₂)

(13)

La traccia del tensore E è un invariante del tensore di deformazione e fisicamente rappresenta la variazione di volume specifica subita dall’elemento infinitesimo:

Deformazione

Tensore di deformazione E

13

Uni ver sità del Salento

^{𝑡𝑟 𝐸 = 𝜀}^𝑥𝑥 ^{+ 𝜀}^𝑦𝑦 ^{+ 𝜀}^𝑧𝑧 ⁼ ^∆𝑉_𝑉

(14)

Sfruttando la simmetria del tensore E e facendo riferimento al significato fisico degli scorrimenti angolari, lo stato di deformazione può essere descritto da un vettore di deformazione:

Deformazione

Notazione alternativa

14

Uni ver sità del Salento

𝜀 =

𝜀_𝑥𝑥 𝜀_𝑦𝑦 𝜀_𝑧𝑧 𝛾_𝑥𝑦 𝛾_𝑦𝑧 𝛾_𝑧𝑥

=

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝜕𝑢

𝜕𝑦 + 𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑦 + 𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜕𝑢

𝜕𝑧 + 𝜕𝑤

𝜕𝑥 x

y

P'

dx

dy

P

?v

?u

?xy/2

(15)

Assegnato un campo di spostamento u è sempre possibile definire un tensore di deformazione E. Le condizioni matematiche che rendono possibile il passaggio inverso, ovvero assegnato un campo di deformazione ricavare un campo di spostamento u univoco, prende il nome di problema di compatibilità.

Tali condizioni sono espresse dalle equazioni di congruenza interna:

Deformazione Congruenza interna

15

Uni ver sità del Salento

𝜕²𝜀_𝑥𝑥

𝜕𝑦² + 𝜕²𝜀_𝑦𝑦

𝜕𝑥² = 𝜕²𝛾_𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕²𝜀_𝑦𝑦

𝜕𝑧² +𝜕²𝜀_𝑧𝑧

𝜕𝑦² = 𝜕²𝛾_𝑦𝑧

𝜕𝑦𝜕𝑧

𝜕²𝜀_𝑧𝑧

𝜕𝑥² +𝜕²𝜀_𝑥𝑥

𝜕𝑧² = 𝜕²𝛾_𝑧𝑥

𝜕𝑧𝜕𝑥

2𝜕²𝜀_𝑥𝑥

𝜕𝑦𝜕𝑧 = 𝜕

𝜕𝑥 −𝜕𝛾_𝑦𝑧

𝜕𝑥 + 𝜕𝛾_𝑧𝑥

𝜕𝑦 + 𝜕𝛾_𝑥𝑦

𝜕𝑧

2𝜕²𝜀_𝑦𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑧 = 𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝛾_𝑦𝑧

𝜕𝑥 − 𝜕𝛾_𝑧𝑥

𝜕𝑦 +𝜕𝛾_𝑥𝑦

𝜕𝑧

2𝜕²𝜀_𝑧𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕

𝜕𝑧

𝜕𝛾_𝑦𝑧

𝜕𝑥 +𝜕𝛾_𝑧𝑥

𝜕𝑦 − 𝜕𝛾_𝑥𝑦

𝜕𝑧