Corso di Elettrotecnica

Corso di Elettrotecnica

(Allievi aerospaziali)

Reti Elettriche Parte II

Revisione aggiornata al 31 marzo 2012

(www.elettrotecnica.unina.it)

Circuiti in regime lentamente

variabile

Bipoli elementari lineari

Bipoli resistenza e induttanza

Ri

v  ^{v   Ri}

dt L di v 

dt L di v  

In regime stazionario equivale ad un corto circuito ideale

Bipoli capacità e generatori ideali di tensione e di corrente

dt C dv i 

dt C dv i  

) (t e

v  i  j (t )

Flusso di autoinduzuine

La corrente i crea B(t) e il flusso di autoinduzione



concatenato con la spira orientata γ. Se γ è immersa in un mezzo lineare:



=f(i)=Li

L è il coefficiente di

autoinduzione [Henry].Se il verso di γ è concorde con il verso di i, per i>0



>0 e per i<0 

<0 → L= 

/i>0



) (i f dS

n

S

B  

 



i>0

 0

 n

B

Esempi di realizzazione del bipolo induttanza

LKT fornisce: v+e=Ri Trascurando R:



dt d

e   

/

0 / 

 d dt v 

dt

L di

v 

Esempi di realizzazione del bipolo induttanza

dt L di v 

S

Esempio di realizzazione del bipolo capacità

Dato il condensatore piano C la LKT fornisce:

v-v

=Ri≈0

q=cv

v=v

dt C dv dt

i  dq 

dt C dv i 

v(t)

C

Realizzazione di generatori di tensione sinusoidale



  ^{   t}













S

t BS

S B

dS n

B ( cos ) cos

t dt BS

e d 

 

 sin









γ

Richiami sulle funzioni periodiche

Si dice periodica una

funzione del tempo y=f(t) che assume valori che si ripetono a "intervalli"

regolari T. Si ha:

Si dice periodo il valore minimo di T (se esiste) che soddisfa tale

relazione.

) (

)

( t f t kT

f  

%

Richiami sulle funzioni periodiche

La frequenza è il numero di cicli in un secondo:

f=1/T [Hertz]

La pulsazione è la quantità:

ω=2πf=2π/T [Rad/sec]

Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità:

indipendente da t

. Se F

=0, f(t) si dice alternata o alternativa. Si dice valore efficace di f:





T t

t

dt t T f

F

0

0

) 1

(

(valore quadratico medio)





T t

t m

o

dt t T f

F

0

) 1 (

Funzioni periodiche: significato fisico del valore efficace

Regime periodico Regime stazionario

p=vi=Ri² P=VI=RI²

Energia assorbita nell’intervallo T



 ^T

P Ri t dt

W

0

2( ) ^{WS  T}



0

2 2

I 2 regimi sono equivalenti se W_P=W_S ^{ t}



t

dt t T i

I

0

0

) 1 2(

Circuiti in regime lentamente variabile

Analisi dei circuiti in regime

sinusoidale

Grandezze sinusoidali



 /





 /

A

ampiezza α fase

Valore efficace:

) 2 (

1

sin

0

2

2 M

T t

t

M

dt A t

T A

A  

^  ^ 

Se f=50 Hz, T=20 ms, ω=100π rad/s

) sin(

2 )

( t  A  t   a

) sin(

)

(t  A t 

a _M

Richiami sui numeri complessi

Rappresentazione algebrica z=x+jy

dove j è l’unità immaginaria definita da j²=-1.

x è la parte reale di z y la parte immaginaria

z è indicato anche come (x ,y). P è l’immagine di z. Gli assi x (asse reale) e y (asse immaginario) contengono le immagini di tutti i numeri reali e puramente immaginari.

Rappresentazione geometrica nel piano complesso

z è l’affissa complessa di P

%

Richiami sui numeri complessi

z*=x-jy Modulo di z:

Argomento di z (anomalia del vettore OP)

ρ e θ sono le coordinate polari di z che si può indicare anche come z=[ρ, θ]

Rappresentazione vettoriale di z sul piano complesso

) ( x

y

OP

z     

) / ( )

arg( z    arctg y x





%

Richiami sui numeri complessi

Rappresentazione

trigonometrica di z=x+jy:

z=ρ(cosθ+jsin θ)

Per la formula di Eulero e

=cosθ+jsinθ

si ha la formulazione

esponenziale complessa di z:

z=[ρ, θ]= ρ e

 



 cos

 x



 sin



y

Operazioni sui numeri complessi

2

1

z

z z  

SOMMA

1 1

1

x jy

z  

2 2

2

x jy

z  

jy x

y y

j x

x z

z

z 



 (



)  (



)  

2

1

x

x x  

2

1

y

y

y  

Prodotto di numeri complessi

Rappresentazione algebrica

1 1

1 x jy

z  

2 2

2 x jy

z  

) (

)

(

2

1

z x x y y j x y x y

z

z     

Rappresentazione polare

1 1

1 1

1 [







z  

z

 [ 

, 

]  

e

]

, [ )

(

2

1

  

 

  

 z z e

e

z   



2 1

z

z

z 

Divisione di numeri complessi

Rappresentazione algebrica

1 1

1 x jy

z   ^z₂ ^{ x}₂ ^{ jy}₂

2 2 2

2

2 1 2 1

y x

y y x

x x



 

2 2 2

2

2 1 1 2

y x

y x y y x



 

Rappresentazione polare

jy y x

x

y x y x j y

y x

x jy

x jy x

jy x

jy x

jy x

jy x

z

z z  







 







 



 

 ₂

2 2

2

2 1 1 2 2

1 2 1 2

2 2 2

2 2

1 1

2 2

1 1

2

1 ( ) ( )

) )(

(

) )(

(

1 1

1 1

1 [ , ]  e ^j

z   ^z₂ ^{ [}₂^,₂^{]  }₂^{e j2}

] , [ )

/ (

/

1

  

 

  

 z z e

e

z

I vettori rotanti

La grandezza sinusoid.

è compiutamente

identificata da A, α e ω, come la grandezza:

Si ha quindi una

corrispondenza biunivoca tra le a(t) e le . Si ha:

) sin(

2 )

( t  A  t   a

)

)

( t  Ae

a

)]

( Im[

2 )

( t a t

a 

) (t a

) (t a

2 ) (t a

I fasori

Fissata ω,

è compiutamente

identificata da A e α, come il fasore definito da:

Si ha quindi una

corrispondenza biunivoca tra le a(t) nel dominio del tempo ed i fasori nel campo complesso.

) sin(

2 )

(t  A t  a



Ae

A 

A

A

α

)]

(

[

 a t

A _{A  A}





 2 sin( )

)

( t A  t 

a

] Im[

2 ]

Im[

2 Ae

 A e



Le operazioni sulle grandezze sinusoidali: la somma

Date

) sin(

2 )

(t  A





) sin(

2 )

(t  B t   b



A

 B

C









 ( ) ( ) 2 Im[ ] 2 Im[ ] )

( t a t b t A e

B e

c

] Im[

2 ]

) Im[(

2 A B e ^jt  Ce ^jt



O



Ae

A 



Bej

B 

dove:

j

Ce B

A

C   

) sin(

2 )

( t  C  t   c

B A C

t b t

a t

c

B t

b

A t

a















) ( )

( )

( ) (

) (

Applicazione dei fasori nello studio delle reti in regime sinusoidale (Esercizio 1)

Date i₁(t), i₂(t) e i₃(t) calcolare i(t).

) 45 sin(

12 )

1

( t  t  

i 

) 27 cos(

5 , 4 2 )

3(t  t  

i 

) 45 sin(

) 6 2 ( 2 )

45 sin(

12 )

1

( t  t    t  

i  

6 6

6 2 ⁴⁵

1 e j

I  ^{j }  

) 90 sin(

8 2 )

cos(

8 2 )

2(t  t  t  

i   I² 8e^J90  j8

) 63 sin(

5 , 4 2 )

27 cos(

5 , 4 2 )

3(t  t    t  

i  

4 2

5 ,

4 ⁶³

3 e j

I  ^{j }   i(t)  i₁(t)i₂(t) i₃(t)











 I

I

I

8 j 6 10 e

I

) 37 sin(

10 2 )

(t  t  

i 

 

t F Fe^j

F t

f ( )  2 sin(  )  

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali

) sin(

2 )

( t  A  t   a

) sin(

2 )

( t  B  t   b

 0



 



b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad a(t) dell’angolo φ

) sin(

2 )

( t  B  t    

b

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali

) sin(

2 )

( t  A  t   a

) sin(

2 )

( t  B  t   b

 0



 



b(t) è sfasata in anticipo rispetto a a(t) dell’angolo │φ│

 0



  



) sin(

2 )

( t  B  t    

b

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali

) sin(

2 )

( t  A  t   a





 2 sin( )

)

( t B  t 

b

 0



  



) sin(

2   

 B t

Prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante

Date:

ed una costante reale k>0,

) sin(

2 )

( t  A  t  

a  _{A  Ae}

) sin(

2 )

( )

( t  ka t  kA  t   c

A k kAe

C t

c ( )  



A

C α

A k C

t ka t

c

A t

a









) ( )

(

)

(

Prodotto di un fasore per un numero complesso



Ae

A  ^{ a ( t )  2 A sin(  t   )}



De

D   dove D  D 





 j

i

C Ce

Ae D

A

D   

 



Ce

C  ^ c ( t )  2 C sin(  t   )

A D

C       

) ( ) (

t c A

D

t a A







Prodotto di un fasore per l’unità immaginaria j



Ae

A  ^{ a ( t )  2 A sin(  t   )}

j j

e

 cos(  / 2 )  sin(  / 2 ) 

) 2 / (

2

/   







 j A e

Ae

Ae

C

j fattore di rotazione di /2

2 ) sin(

2 )

( t  A  t     c

) (

) (

t c A

j

t a A





Derivata temporale di una grandezza sinusoidale

Data

) sin(

2 )

( t  A  t  

a  ^{A  Ae}

A

C

α

A j dt C

t da c

A t

a









 ) (

) (







 2 cos( )

)

( A t 

dt t da c

2 ) sin(

2      

 A t







)

( t C A  e

c

A j 



Prodotto di grandezze sinusoidali

) sin(

2 )

( t  A  t   a

) sin(

2 )

( t  B  t   b

) sin(

2 ) sin(

2 )

( ) ( )

( t  a t b t  A  t   B  t   c

 ^{cos( ) cos( )} 

2 sin 1

sin x y  x  y  x  y

 ^{        } 

 AB t

t

c ( ) cos( ) cos( 2

Bipolo resistenza in regime sinusoidale

Dominio del tempo

Ri v 

) sin(

2 )

(t  V t  v

Dominio dei fasori



Ve

V  I  Ie

I

R

V 

R

I  V

  0

I R z   V 

impedenza







 2 sin( )

)

(t I t  

i

) sin(

2  

 I t

Bipolo induttanza in regime sinusoidale

dt L di v 

Dominio dei fasori



Ve

V 

I L j V  

) (

 Ie

I

2) ( 





 



 





 e^j

L V L

j I V

1 2 j

e j  

X V L

I  V 

 2

   Dominio del tempo

) sin(

2 )

(t  V t 

v _{j L}

I

z  V  

impedenza

L X 



Reattanza







 2 sin( )

)

(t I t  

i

2) sin(

2    

 I t

L dt j

L d  

Bipolo capacità in regime sinusoidale

dt C dv i 

Dominio dei fasori



Ve

V 

V C j

I   ¹

j

e j  

) ( 

 Ie

I

2) (

/ 1

 



 



 



  e^j

C I V

X V C

I  V 

 /

1 2

   Dominio del tempo

) sin(

2 )

(t  V t  v

j C I

z V



 1



 

Impedenza

X C



 1

Reattanza







 2 sin( )

)

(t I t  

i

2) sin(

2    

 I t

C dt j

C d 



Bipolo R-L

in regime sinusoidale

) sin(

2 )

( t  V  t   v

 0



 v

v

LKT

v v

 Ri

Dominio del tempo

dt L di v_L  dt i

L d dt R

L di Ri

v 



 

 







Dominio dei fasori



Ve

V t

v ( )   i ( t )  I  Ie

I

L j R

V  (   )

) sin(

2 )

( t  I  t     i



ze

z   ^z   ^{z  R}

^{ ( L  )}



 



 

 R

arctg L

z 

 arg( )

%

) (



 e

z V z

I V

 ^{  }

jX R

L j I R

z_  V  



z

I  V

Bipolo R-L

in regime sinusoidale

) P (z

Dominio del tempo

i(t) costituisce un integrale particolare dell’equazione differenziale

dt L di Ri

v  

φ=arctg(ωL/R)

z





) sin 2 (

)

( 2 2 t arctg L R

L R

t V

i   

 ^{ }

 

Bipolo R-L in regime

transitorio (v (t) sinusoidale)

L’integrale generale dell’equazione differenziale:

dt L di Ri

v  

è

i ( t )  ke

 i

( t )

radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0

T L

R   1



  (T=L/R costante di tempo)

T

ke

%

0

lim

ke







) sin 2 (

)

( 2 2

/ t arctg L R

L R

ke V t

i ^{t T}   

 ^{ }

 

 ^

Bipolo R-L in regime

transitorio (v (t) sinusoidale)

Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω,

per f=50 Hz ω=100π rad/s, L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms;

dopo circa 16 ms il termine transitorio ke

è

trascurabile.

Bipolo R-C

in regime sinusoidale

Dominio del tempo

LKT

v  v

 v

 0 ^v

 ^Ri

dt C dv i 

C

C

v

dt RC dv

v  

) sin(

2 )

( t  V  t  

v i ⁽ t ⁾  ² I ^sin(  t     ⁾

Dominio dei fasori



Ve

V t

v ( )   i ( t )  I  Ie

v

Ri v  

V

I R

V   ^{I  j  C V}

C I j

V



 1



j C R

V 



 

 

 

1

R jX

j C I R

z  V    



 1



ze

z  

^

%

Bipolo R-C

in regime sinusoidale

C 1

Dominio del tempo

z

)]

/ 1 ( ) sin[

/(

2 1 )

( 2 2 t arctg RC

C R

t V

i   

 ^{ }

 

] 2 / )

/ 1 ( sin[

2 )

(    

 ^{  }

 t arctg RC

Cz t V

v_C

) (



 e

z V z

I V

   

z

I  V

Bipoli R-L e R-C in regime stazionario

v(t)=V (costante) v_R=V v_L=0

i=V/R

v(t)=V (costante) v_R=0 v_C=V

i=0

Bipoli R,L,C

in regime sinusoidale

jB I A

z   V  

B=0

R=A

B>0

B L 



B<0

C   B

 1

 0



 0

  _{ 0}

R=A R=A

Ammettenza di un bipolo

z ^{V z}

y I

 1 





jS R

z   

jB S G

R j S S

R R jS

y R  

 

 

  1



Corrispondenza tra regime

stazionario e regime sinusoidale

Regime stazionario Regime sinusoidale

I R V 

z

I z V  

GV

I  I  y  V

Corrispondenza tra regime

stazionario e regime sinusoidale

Regime stazionario Regime sinusoidale



^{ E}

^ 

^{ R}

^I

1 1

) ( )

(



^{ I}

^{ } 

^{ J}

1 1

) ( )

(

LKC



^{ I}

^{ } 

^{ J}

1 1

) ( )

(



^{ E}

^ 

^{ z}

^I

1 1

) ( )

( 

LKT

LKC

Corrispondenza tra regime

stazionario e regime sinusoidale

Regime stazionario Regime sinusoidale

Millmann



 

i n

i i AB

y y E V

1 1











i n

i i AB

G G E V

1

1 Millmann

Corrispondenza tra regime

stazionario e regime sinusoidale

Bipolo di Thévenin in regime stazionario

Bipolo di Thévenin in regime sinusoidale

z

RI E

V   V  E  z  I

Corrispondenza tra regime

stazionario e regime sinusoidale

Bipolo di Norton in regime stazionario

Bipolo di Norton in regime sinusoidale

) ( J I R

V  

z

) ( J I z

V   

Impedenze in serie

z

z

z





V

V

1

I z V

 

I z z

I

V  

 



1





eq

z

z

1





z

Impedenze in parallelo

z

z

z





I

I

1

V z y

I V

k

k



 

 I V y y

V

n

k



   

1

I z V  

 



eq k eq

y y z

1

1 1

 



z





k eq

z z

1

1 1





Bipolo R-L-C e risonanza Impedenza

L’impedenza del bipolo è:

il bipolo è in risonanza se:

ω

pulsazione di risonanza.

 

 



 



 R j L C

z _   ¹

C LC

L 1

1 0

0









  

 

2

2

1

 

 



 





 z R L C

z _  

Bipolo R-L-C e risonanza Corrente

Se ^{V  Ve}

) (



 Ie

z

I V



2

2

1

 

 



 







L C R

V z

I V

 

Valore efficace della corrente

Il valore massimo di I si ha per ω=ω₀ ed è pari a V/R

Bipolo R-L-C e risonanza. Fase

Lo sfasamento φ:















 



 R

L C arctg

z

 



1 arg( )

φ<0 per ω<ω₀ il bipolo è equivalente a un bipolo R-C

φ=0 per ω=ω₀ il bipolo è equivalente al bipolo R

Φ>0 per ω>ω₀ il bipolo è equivalente ad un bipolo R-L

Bipolo R-L-C e risonanza Fattore di merito

Per ω=ω

si ha :

ω=ω₀

R I  V

I L j

V

 

_I

j C V

0

1

 



R V V

_ 

L

CR V V

0

1

 

C

L

V

V 

CR R

Q L

0

0

1



 



V V V

Q  V



Bipolo R-L-C e risonanza Selettività

La potenza massima

assorbita dal bipolo si ha in ω=ω

:

P

=RI

In A e B la potenza P=P

/2.

Δω è la larghezza di banda.

Quanto più stretta è la banda tanto più selettivo è il

bipolo. Al diminuire di R

cresce Q=ω

L/R e Δω

diminuisce.

Bipolo R-L-C e risonanza

Influenza di R

%

Un esempio numerico (Esercizio 2)

) 30 cos(

100 2 )

(t  t  

v 

f=10 Hz, R=7,32 Ω, R’=20 Ω, L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad Calcolare i(t), i’(t), i”(t)

6 , 86 50

100 )

60 sin(

100 2

)

( t t V e

j

v      

 

ω=2πf=20π rad/s, X_L=ωL=20 Ω, X_C=20 Ω.

) //(

' )

(

AB

R j X X R jX

z     





 17 , 32 10 20

AB

j e

z ^I _z ^{V 5 e}

^{4 , 33 j 2 , 5}

AB













 



 

 3,41 0,91 3,53 ¹⁵ '

' ' ^j

L

e jX j

R I R

I ^{   }

  0,91 3,41 3,53 ⁷⁵

'' ' ^j

L

L j e

jX R

I jX I

V

Ω

Ω A

A A

A

B

) 30 sin(

5 2 )

( t  t  

i 

) 15 sin(

53 , 3 2 )

(

' t  t  

i 

) 75 sin(

53 , 3 2 )

(

" t  t  

i 

Potenza nei circuiti in regime

sinusoidale

Definizioni

Se la tensione e la corrente di un bipolo sono:

Adottando per il bipolo la convenzione dell’utilizzatore per le potenze assorbite e quella del generatore per quelle erogate, si possono definire le seguenti

grandezze:

1. p(t)=v(t)i(t) potenza istantanea [W]

2. P=VIcosφ potenza attiva [W]

3. Q=VIsinφ potenza reattiva (grandezza convenzionale) [VAr]

) sin(

2 )

( t  V  t  

v i ( t )  2 I sin(  t     )

%

Definizioni

4. P_app=VI Potenza apparente (grandezza convenzionale)

5. Potenza complessa (grandezza convenzionale)

La potenza istantanea, le potenze attiva, reattiva e complessa soddisfano il principio di conservazione delle potenze.

Alle potenze non è applicabile la sovrapposizione degli effetti.

*

I

V

P  

La potenza apparente

Nel caso di reti di distribuzione dell’energia elettrica la potenza apparente può essere correlata ai costi di investimento sostenuti per la realizzazione delle reti stesse. Infatti:

P

=VI

La V è correlata ai costo relativi al sistema di isolamento.

La I è correlata alla quantità di rame impiegata.

La potenza istantanea











 ( ) ( ) 2 sin( ) 2 sin( )

)

( t v t i t V  t  I  t   p

) 2

2 cos(

cos       

 VI VI t

Potenza attiva P

Potenza fluttuante



^{ } 

^{ }

T t

t

VI t dt

VI T dt

t T p

0 0

0 0

) 2

2 1 cos(

cos )

1 (    

0







t

p t dt

VI T

P

0

) 1 (

cos 

valore medio della potenza Istantanea p(t)

%

La potenza istantanea

P=VIcosφ

Potenza attiva ed energia

Se un utilizzatore U assorbe una potenza attiva P=VIcosφ costante nell’intervallo di tempo 0-t₁>>T, l’energia assorbita è:

 ^



0^t

p ( t ) dt ( VI cos ) t

W 

p fluttuante



 ^tVI dt Pt W 0 cos

L’energia assorbita da U può essere associata alla resa economica per l’impianto che alimenta U. Pertanto la potenza attiva P può essere

correlata a tale resa economica.

Espressioni della potenza attiva

La potenza attiva P può essere espressa in funzione dei vettori ed rappresentativi della tensione e della

corrente come:

oppure:

V ^I

I V VI

P  cos    VI

I V

P  ( cos  ) 

I_a componente attiva della corrente

Potenza attiva e potenza apparente

La potenza attiva P è legata alla potenza apparente P

dalla relazione:

P=(P

)cosφ

Correlata alla resa economica

Correlata ai costi di investimento

Il cosφ è detto fattore di potenza