Esercizio 1 Trovare le due soluzioni dell’equazione differenziale

Corso di ANALISI I (2008/09) - Foglio 8 del 8/05/09.

Esercizi sulle equazioni differenziali

Esercizio 1 Trovare le due soluzioni dell’equazione differenziale

y ⁰ + x y ² − 1 y = 0

che soddisfano rispettivamente le condizioni iniziali y(1) = 2 e y(1) = 1.

Esercizio 2 Trovare la soluzione del problema di Cauchy

 yy ⁰ = x ² y(0) = 1 .

Esercizio 3 Si consideri l’equazione differenziale y ⁰ = arctan y ;

senza risolverla dimostrare che le soluzioni positive di questa equazione sono strettamente crescenti tra 0 e +∞ e concave.

Esercizio 4 Si consideri l’equazione differenziale y ⁰ = y sin x;

senza risolverla dimostrare:

i) che le soluzioni non possono cambiare segno;

ii) che quelle non nulle ammettono infiniti punti di massimo, di minimo e di flesso.

Determinare poi la soluzione tale che y(0) = 1.

Esercizio 5 Si calcoli l’integrale generale dell’equazione differenziale y ⁰ + xy = x ³ .

1

Esercizio 6 Trovare almeno due soluzioni diverse del problema di Cauchy

 y ⁰ = ³ ₂ √

y y(0) = 0 .

Esercizio 7 Determinare tutte le soluzioni in (0, π) dell’equazione differenziale y ⁰ sin x + y cos x = 1 .

Dimostrare che solo una di queste ha limite finito per x → 0 ⁺ e un’altra per x → π ⁻ .

Esercizio 8 Data una funzione crescente y(x) passante per l’origine (y(0) = 0), si traccino le due rette passanti per un un punto arbitrario (x, y(x)) del primo quadrante e parallele agli assi. Si determini y(x) in modo che il rettangolo con due lati sugli assi co` si individuato resti diviso dalla curva in due regioni A e B, una delle quali di area pari a n volte quella dell’altra.

2