• Il metodo di Gauss-Jordan per sistemi non-omogenei.

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LeLing3: Sistemi lineari non-omogenei.

A ¯ rgomenti svolti:

• Sistemi lineari non-omogenei.

• Il metodo di Gauss-Jordan per sistemi non-omogenei.

• Scrittura della soluzione generale.

• Soluzione generale = soluzioni del sistema omogeneo associato + soluzione particolare.

• Interpretazione geometrica delle soluzioni.

E ¯ sercizi consigliati: Geoling 3, Geoling 5.

1 Definizione di sistema lineare non-omogeneo.

Un sistema di equazioni della forma:

S =



 



 



a _{1 1} x ₁ + a _{1 2} x ₂ + · · · + a _{1 n} x _n = b ₁ a _{2 1} x ₁ + a _{2 2} x ₂ + · · · + a _{2 n} x _n = b ₂ a 3 1 x 1 + a 3 2 x 2 + · · · + a 3 n x n = b 3

. . . . a _{m 1} x ₁ + a _{m 2} x ₂ + · · · + a _{m n} x _n = b _m

dove almeno uno dei b _j e’ non nullo si chiama sistema d’equazioni lineari non- omogeneo con n incognite ed m equazioni.

Notare che la colonna nulla 0 =





 0 0 0 .. . 0 0







non e’ mai soluzione di un sistema non-

omogeneo.

Esempio 1.1. Ecco due esempi:

A = x − y = 1

x + y = 0 B = 3x ₁ − x ₂ + x ₄ = 3

x 5 − x 6 = −2

E’ facile ricordare il sistema tramite la matrice completa :

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Geometria Lingotto.







a _{1 1} a _{1 2} · · · a _{1 n} a 2 1 a 2 2 · · · a 2 n

a _{3 1} a _{3 2} · · · a _{3 n} .. . .. . .. . .. . a _{m 1} a _{m 2} · · · a _{m n}

b ₁ b 2

b ₃ .. . b _m





 La matrice seguente A si chiama matrice dei coefficienti:







a _{1 1} a _{1 2} · · · a _{1 n} a _{2 1} a _{2 2} · · · a _{2 n} a _{3 1} a _{3 2} · · · a _{3 n} .. . .. . .. . .. . a _{m 1} a _{m 2} · · · a _{m n}







e la colonna B =





 b 1

b ₂ b ₃ .. . b _m







si chiama colonna dei termini noti.

La notazione (A|B) si usa per denotare la matrice completa di un sistema non- omogeneo dove A e’ la matrice dei coefficienti e B la colonna dei termini noti.

Esempio 1.2. Ecco le due matrici complete corrispondenti agli esempi precedenti:

1 −1 1 1

1 0

3 −1 0 1 0 0

0 0 0 0 1 −1

3 −2

Notare il collegamento tra la incognita x ₁ e la prima colonna della matrice A, tra la incognita x 2 e la seconda colonna della matrice A, etc. Inoltre notare il collegamento tra le equazioni del sistema S e le righe della matrice A.

Osservazione 1.3. Si deve fare molta attenzione nel passagio dal sistema alla matrice per evitare errori gravi. Ad esempio la matrice del sistema 3x + y = 0

3y + x = 2 non e’

3 1 3 1

0 2

.

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1.1 Concetto di soluzione.

La differenza piu’ importante tra i sistemi omogenei e i sistemi non omogenei e quella della esistenza di almeno una soluzione (la colonna nulla 0 non e’ mai soluzione di un sistema non omogeneo per definizione!!). Cioe’ i sistemi non omogenei possono non averne soluzioni. Ecco un esempio abbastanza semplice di sistema senza soluzioni:

I = x = 0 x = 1 .

Si tratta dunque di un sistema di 1 equazione con 1 incognita chiaramente senza soluzioni. Ecco la matrice di questo sistema: 1

1 0 1

Definizione 1.4. Un sistema lineare si chiama incompatibile se non ammette nessuna soluzione. Altrimenti il sistema si chiama compatibile o risolubile.

Piu’ avanti si risolvera’ il problema di decidere quando un sistema e’ compatibile e quando non lo e’.

Come per i sistemi omogenei durante questo corso per soluzione di un sistema S si intende una colonna R = (r i ) tale che, se il numero r i si sostituisce all’incognita x i , tutte le equazioni di S sono soddisfatte. Dunque le soluzioni si scrivono come colonne.

1.2 Sistemi equivalenti e operazioni elementari.

Come con i sistemi omogenei due sistemi S e S ⁰ si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Le operazioni elementari OPE1, OPE2 e OPE3 si possono usare per produrre dei sistemi equivalenti iniziando da un sistema dato. Come nel caso omogeneo si lavora sulla matrice del sistema.

Cos´ı, usando le operazioni elementari possiamo cercare di ottenere un sistema facile

da risolvere o gia’ risolto in modo analogo al caso omogeneo.

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1.3 Il metodo di Gauss-Jordan. Geometria Lingotto.

1.3 Il metodo di Gauss-Jordan.

Il metodo di Gauss-Jordan si puo adattare per risolvere i sistemi non-omogenei. Sem- plicemente si opera sulla matrice completa come se si tratasse di un sistema omogeneo con l’unica differenza di terminare la tappa di Gauss limitandosi alla matrice dei coefficienti A.

Esempio 1.5. Ecco come si risolve il sistema la cui matrice completa e’ 1 −1 1 1

1 0

. Allora

1 −1 1 1

1 0

R

2

−R

₁

=⇒ 1 −1 0 2

1 −1

R

2

/2

=⇒ 1 −1 0 1

1 −1/2

Qui termina la tappa Gauss e inizia la tappa Jordan. Dunque

1 −1 0 1

1 −1/2

R

1

+R

2

=⇒ 1 0 0 1

1/2

−1/2

Finita la tappa Jordan risulta x = 1/2 e y = −1/2, cioe’ la soluzione e’ la colonna

1/2

−1/2

.

Notare che la sbarra che separa la matrice dei coefficenti con la colonna dei termini noti serve come indicatore per finire la tappa di Gauss.

Puo’ capitare che si abbia bisogno di risolvere un sistema per diversi termini noti. In questo caso si possono aggiungere le colonne dei termini noti una dietro l’altra dopo la sbarra e cos´ı risolvere contemporaneamente i sistemi. Ecco un esempio:

Esempio 1.6. I sistemi

3x ₁ − x ₂ + x ₄ + 3x ₅ = 1 x ₅ − x ₆ = −1

3x ₁ − x ₂ + x ₄ + 3x ₅ = 4 x ₅ − x ₆ = 7

hanno la stessa matrice dei coefficenti. Dunque possiamo risolverli contemporaneamente tramite la matrice:

3 −1 0 1 3 0

0 0 0 0 1 −1

1 4

−1 7

Facendo R ₁ /3 risulta 1 −1/3 0 1/3 1 0

0 0 0 0 1 −1

1/3 4/3

−1 7

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Cosa che termina la tappa di Gauss. Facendo R ₁ − R ₂ si ottiene

1 −1/3 0 1/3 0 1

0 0 0 0 1 −1

4/3 −17/3

−1 7

cosa che termina la tappa di Jordan. Ecco i sistemi equivalenti ottenuti:

x ₁ − 1/3x ₂ + 1/3x ₄ + x ₆ = 4/3 x ₅ − x ₆ = −1

x ₁ − 1/3x ₂ + 1/3x ₄ + x ₆ = −17/3 x ₅ − x ₆ = 7

Dunque tutte le soluzioni si trovano assegnando a x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₆ qualsiasi valore e

ricavando i valori di x ₁ , x ₅ tramite il sistema, cioe’







x

2

3 − ^x ₃

⁴

− x ₆ + ⁴ ₃ x ₂

x ₃ x ₄ x ₆ − 1

x ₆







per il primo

sistema e







x

2

3 − ^x ₃

⁴

− x 6 − ¹⁷ ₃ x ₂

x ₃ x 4

x ₆ + 7 x ₆







per il secondo.

1.4 Soluzione generale = soluzioni dell’omogeneo + soluzione particolare

Come abbiamo visto le soluzioni del sistema 3x ₁ − x ₂ + x ₄ + 3x ₅ = 1 x ₅ − x ₆ = −1 sono







x

2

3 − ^x ₃

⁴

− x ₆ + ⁴ ₃ x ₂

x ₃ x ₄ x ₆ − 1

x ₆





 .

Questa colonna soluzione si puo’ scrivere come la somma di due colonne, cioe’







x

2

3 − ^x ₃

⁴

− x ₆ x 2

x ₃ x ₄ x 6

x ₆





 +







4 3

0 0 0

−1 0







(6)

1.4 Soluzione generale = soluzioni dell’omogeneo + soluzione particolare Geometria Lingotto.

dove la prima colonna coinvolge i parametri o incognite libere e invece la seconda colonna non dipende delle incognite. Questa seconda colonna si chiama soluzione particolare.

Dato un sistema non-omogeneo S la cui matrice completa e’ (A|B) le si associa un sistema omogeneo nel seguente modo: semplicemente si prende la matrice A dei coefficienti come la matrice di un sistema omogeneo.

Teorema 1.7. Sia S un sistema non omogenea e sia (A|B) la sua matrice completa.

Sia X ₀ una soluzione del sistema S . Allora tutte le soluzioni del sistema S si possono esprimere come :

X 0 + Y dove Y e’ soluzione del sistema omogeneo associato.

Dunque se conosciamo in anticipo una soluzione di un sistema non omogeneo allora per trovare tutte le soluzione basta risolvere il sistema omogeneo associato.

Esempio 1.8. La colonna



 1 2 3



 e’ soluzione del sistema non omogeneo

S =

x + y + z = 6 2x − y − 3z = −9

Allora tutte le soluzioni di S si scriveno come:



 1 2 3



 +



 x y z



 con

x + y + z = 0

2x − y − 3z = 0

(7)

1.5 Interpretazione geometrica.

Una equazione lineare ax = b rappresenta il punto x = _a ^b della retta se a 6= 0.

Esempio 1.9. Il sistema 3x = 3 ha come soluzione x = 1, cioe’ un punto della retta.

Di modo analogo una equazione lineare ax + by = c con due incognite x, y rappresenta una retta del piano se almeno a 6= 0 o b 6= 0.

Esempio 1.10. Il sistema 3x + 2y = 3 ha come soluzione una retta del piano.

Dunque ciascuna equazione di un sistema con due incognite si puo’ interpretare geometricamente come una retta del piano. Se queste rette si incontrano in un punto allora il sistema e’ compatibile altrimenti il sistema e’ incompatibile.

La soluzione del sistema y − x = 1

y + 2x = 4 e’ x y

=

1 2

, cioe’ il punto d’intersezione tra le due rette.

Ecco la rappresentazione geometrica del sistema incompat- ible y − x = 1

y − x = −1 . Le due rette sono parallele, quindi non

si incontrano mai.

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1.5 Interpretazione geometrica. Geometria Lingotto.

Invece una equazione come x + y + 3z = 0, con tre incognite, rappresenta un piano dello spazio.

Ecco il sistema incompatibile z = 1

z = −1 , cioe’ senza soluzioni:

Infine ecco la retta soluzione d’un sistema compatible, cioe’

come intersezione di due piani dello spazio:

• Il metodo di Gauss-Jordan per sistemi non-omogenei.

LeLing3: Sistemi lineari non-omogenei.

A ¯ rgomenti svolti:

• Sistemi lineari non-omogenei.