• Non ci sono risultati.

Si calcoli la fattorizzatione P A = LU della matrice dei coecienti del sistema

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Si calcoli la fattorizzatione P A = LU della matrice dei coecienti del sistema"

Copied!
2
0
0

Testo completo

(1)

Nome e matricola: . . . . Corso di studi: . . . .

Prova scritta di Matematica Applicata 21 settembre 2017

1. Si calcoli la fattorizzatione P A = LU della matrice dei coecienti del sistema









−x1− x2− x4 = 1

−4x1 = 3

x1+ x2− x3+ x4 = −1 2x1+ x3+ 2x4 = 1

e la si usi per risolvere il sistema e calcolare il determinante della matrice.

Soluzione

L =

1 0 0 0

1/4 1 0 0

−1/4 −1 1 0

−1/2 −1 0 1

, U =

−4 0 0 0

0 −1 0 −1

0 0 −1 0

0 0 0 2

, P =

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

 ,

x = (−3/4, −3/2, 0, 5/4)T, det(A) = 8.

2. Assegnati

A =

β 2 0 4 β 4 0 2 β

, b =

 1 1 1

,

dire per quali valori del parametro reale β A è invertibile e per quali valori il metodo di Jacobi risulta convergente se applicati al sistema Ax = b. Assegnato β = 8, calcolare le prime due iterate del metodo di Jacobi, a partire dal vettore iniziale x(0) = (0, 0, 1)T.

Soluzione. Invertibile ∀β 6= 0, ±4. Jacobi converge per β < −4 oppure β > 4.

Iterazioni di Jacobi: x(1) = (1/8, −3/8, 1/8)T, x(2) = (7/32, 0, 7/32)T. 3. Si consideri il seguente problema di Cauchy

(y0 = y − 1, x ∈ [1, ∞) y(1) = 0,

e si approssimi la soluzione in x = 2 mediante il seguente metodo

ηk+1 = ηk+ h



f (xk, ηk) + 2f



xk+ h

4, ηk+h

4f (xk, ηk)



(2)

con passo h = 12. Soluzione. η1 = −13

8 , η2 = −377 64 .

4. Sviluppare in serie di Fourier la funzione

f (x) =

(2, −2 ≤ x < 0 3x + 2, 0 ≤ x ≤ 2 Soluzione

Sf(x) = 7 2 +

X

k=1

6

(kπ)2((−1)k− 1)) cos kπ 2 x



− 6

kπ(−1)ksin kπ 2 x

 .

5. Risolvere ricorrendo alla trasformata di Fourier, la seguente equazione dierenziale in R

3y00− 4y = H(x + 1) − H(x − 4).

Soluzione

y(x) =











 e2/

3x

8 (e−8/

3− e2/

3), x < −1, 1

8(e−2/

3(x+1)+ e2/

3(x−4)) − 1

4, x ∈ [−1, 4],

−e−2/

3x

8 (e8/

3− e−2/

3), x > 4.

Riferimenti

Documenti correlati

PROVA SCRITTA 21/06/2007 ANALISI MATEMATICA. CORSO DI LAUREA IN

Appello di Sistemi Dinamici Prova scritta del 22 settembre

Prova scritta di Sistemi Dinamici Appello dell’8 settembre 20171. Si trovino le posizioni di equilibrio del modello e se ne discuta la stabilit` a al variare

Corso

(2) Si studi ulteriormente il sistema meccanico in presenza dell’ulteriore vincolo descritto al precedente punto (1), limitatamente al sotto-caso in cui alcuni valori dei parametri

L’anello `e perfetta- mente rigido, di spessore infinitesimo, di massa M , di raggio R e di densit` a di massa omogenea al suo interno; esso ha il suo centro costantemente sovrap-

Si determini l’equazione polinomiale P 1 (¯ x) = 0 , la quale deve essere soddisfatta dall’ascissa iniziale, affinch´e il moto del punto P (che fa seguito proprio alle

L’anello `e di raggio R e di massa M ; inoltre, esso `e tale che la densit` a di massa al suo interno `e omogenea ed `e vincolato in modo da rimanere sempre parallelo al piano Oxy ,