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Appendice B:
Formule di trasformazione di bipoli reattivi
Si prenda un bipolo reattivo, composto da una resistenza ed un’induttanza in serie, di seguito sono esposte le espressioni dell’impedenza e dell’ammettenza del bipolo considerato, Ls jX s R s Z = + , Ls jX s R s Y + = 1 .Moltiplicando il numeratore ed il denominatore di Y per s Rs − jXLs si ottiene:
2 2 2 2 Ls X s R Ls X j Ls X s R s R s Y + − + = .
Si suppone di voler disporre di un bipolo equivalente composto da una resistenza ed un’induttanza in parallelo (figura 2-2) che abbia la stessa impedenza (quindi la
stessa ammettenza) del bipolo di partenza.
Figura B-1 Trasformazione serie parallelo di un bipolo R-L.
Si osserva che, Lpe X j pe R Lpe jB pe G Ys = + = 1 − 1 .
- Pag 74 - Da cui si ottiene: s R Ls X s R pe R 2 2 + = , Ls X Ls X s R Lpe X 2 2 + = .
Si ricorda che tale analisi vale solo per una particolare frequenza. Procedendo in maniera analoga si ricavano le formule di conversione parallelo-serie per un bipolo R-L. 2 2 2 Lp X p R Lp X p R se R + = , 2 2 2 Lp X p R Lp X p R Lse X + = .
Di seguito si riportano le espressioni dei fattori di qualità valide rispettivamente per bipoli R-L (ed R-C) serie, R-L (ed R-C) parallelo:
s R s X s Q = , p X p R p Q = .
Si ricorda che il fattore di qualità rappresenta la quantità di parte reale associata ad un elemento reattivo di un determinato circuito.
Si ottengono quindi le formule di trasformazione serie-parallelo e parallelo-serie, del bipolo R-L considerato, in funzione del fattore di qualità, come segue:
) 1 ( 2 s Q s R pe R = + , + = 2 2 1 s Q s Q Ls X Lpe X , 2 1 p Q p R se R + = , + = 1 2 2 p Q p Q Lp X Lse X .
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Procedendo in modo analogo è possibile ricavare le formule di conversione bipoli R-C.
Si osserva che, per fattori di qualità ≥10
s
Q e ≥10
p
Q è possibile utilizzare le formule approssimate che sono riportate nelle tabelle B-1, B-2.
Si nota come
pe
R sia più grande di
s
R , mentre il valore della reattanza equivalente
resta invariato. Ricordando che:
p C Cp X
ω
1 = , s C Cs X ω 1 = , p L Lp X =ω
, s L Ls X =ω .Le seguenti tabelle contengono le formule di conversione per bipoli reattivi rispettivamente R-C ed R-L.
Tabella B-1 Formule di conversione per bipoli R-C
Conversione serie-parallelo R-C Conversione parallelo-serie R-C ) 1 ( 2 s Q s R pe R = + 2 1 p Q p R se R + = + = 2 2 1 s Q s Q Cs X Cpe X + = 1 2 2 p Q p Q Cp X Cse X + = 1 2 2 s Q s Q s C pe C + = 2 2 1 p Q p Q p C se C Formule approssimate ( ≥10 s Q ) Formule approssimate ( ≥10 p Q ) 2 s Q s R pe R ≈ 2 p Q p R Rse ≈ Cs X Cpe X ≈ Cp X Cse X ≈ s C pe C ≈ p C se C ≈
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Tabella B-2 Formule di conversione per bipoli R-L
Conversione serie parallelo R-L Conversione parallelo serie R-L ) 1 ( 2 s Q s R pe R = + 2 1 p Q p R se R + = + = 2 2 1 s Q s Q Ls X Lpe X + = 1 2 2 p Q p Q Lp X Lse X + = 2 2 1 s Q s Q s L pe L + = 1 2 2 p Q p Q p C se C Formule approssimate ( ≥10 s Q ) Formule approssimate ( ≥10 p Q ) 2 s Q s R pe R ≈ 2 p Q p R se R ≈ Ls X Lpe X ≈ Lp X Lse X ≈ s L pe L ≈ p L se L ≈
