Il Taglio
Taglio (Jourawsky)
• Tuttavia, anche se il momento varia sezione per sezione, è ancora lecito utilizzare la formula di Navier per il calcolo delle sollecitazioni flessionali perché la presenza del taglio non modifica la distribuzione degli sforzi normali σ
• La presenza di azioni di taglio aggiunge una ulteriore distribuzione di sforzi che agiscono tangenzialmente alla sezione, detti appunto di scorrimento o di taglio.
• La distribuzione degli sforzi di taglio dipende essenzialmente dalla forma della sezione e, in generale, non è di facile determinazione.
quindi se M= costante, T=0
• La trattazione relativa al calcolo delle sollecitazioni flessionali, è stata basata sull’ipotesi che la struttura fosse soggetta unicamente a momento flettente costante.
• Questo è un caso abbastanza particolare perché si caratterizza per l’assenza di azione tagliante. Come accennato in precedenza trattando delle azioni interne:
=
Taglio (Jourawsky)
Ricordiamo la relazione tra taglio e momento flettente. Consideriamo la
struttura rappresentata in figura ed isoliamo un elementino di lunghezza dz, esplicitando le forze agenti su di esso.
+ − + = 0
+ +
+ − − +
2 = 0
= − = 0
=
=
=
Facendo l’equilibrio dei momenti delle tau rispetto all’asse x, si trova
Taglio (Jourawsky)
Ricordiamo inoltre…
consideriamo un elementino - parallelepipedo di lati dx, dy,dz, sulle cui facce agiscono delle sollecitazioni tangenziali, come rappresentato in figura.
( ) = ( )
F
F
F M
T
=
z
y
Navier
1) La formula di Navier per la distribuzione delle sigma è ottenuta sotto l’ipotesi che la deformata sia un arco di
circonferenza.
2) Nella dimostrazione della formula di Navier non viene preso in considerazione il taglio.
Tuttavia, la formula è valida anche in presenza del taglio se le facce delle sezioni si deformano tutte alla stessa maniera.
La formula di Navier è valida se il taglio è costante.
Se il taglio non è costante o se il momento d’inerzia non è costante la formula è da considerarsi solo approssimata.
Taglio (Jourawsky)
Consideriamo la struttura
rappresentata in figura caricata con la forza F. Consideriamo una porzione compresa tra la
posizione z e z +dz. Sulle facce normali a z agiscono sia azioni di taglio che momento flettente.
+ +
Il momento flettente causa l’insorgere di una distribuzione di sollecitazioni normali σz, secondo la formula di Navier (flessione).
La presenza del taglio provocherà l’insorgere di una distribuzione di sollecitazioni tangenziali τ.
Si vuole vedere come sono distribuite sulla sezione.
Taglio (Jourawsky)
La distribuzione delle σz, ha andamento lineare.
σ σ
Ipotizziamo di operare una sezione
dell’elemento con un piano parallelo al piano x-z, e facciamo l’equilibrio alla traslazione lungo z della porzione inferiore, in grigio.
Oltre alle σz sulla faccia normale z agirà una distribuzione di τ. Si fa l’ipotesi che la τ non vari con x, ovvero che sia costante lungo la corda identificata dall’intersezione del piano di sezione con la faccia normale all’asse z. Poiché τzy = τyz, sulla faccia superiore della sezione agirà τyz costante lungo la corda, e che darà un contributo lungo z nel computo dell’equilibrio.
Taglio (Jourawsky)
( + ) = ( + )
∗
( ) =
∗
( ) ( + )
+ − + = 0
∗
+ − ( + )
∗
= 0
Consideriamo la porzione evidenziata in figura ed evidenziamo le forze agenti in direzione orizzontale. Sono presenti i
contributi delle sigma in direzione z e della tau sulla faccia superiore. Il contorno è scarico.
Sulla faccia superiore agisce la forza b = lunghezza della corda
Taglio (Jourawsky)
L’equazione di equilibrio lungo la direzione z si può scrivere come:
( ) ( + )
∗
+ − ( + )
∗
= 0
∗
+ − +
∗
= 0
=
∗
=
∗
= 1
∗
= 1 ∗
= ( )
Taglio (Jourawsky)
Si noti che si è sfruttata la formula di Navier, il
momento statico è calcolato rispetto all’asse neutro
= ( )
( ) è il momento statico rispetto all’asse x della quotaparte di sezione delimitata dalla quota y
Vediamo alcuni esempi dell’andamento di ( ) per alcune sezioni.
Sezione rettangolare:
x y
ℎ
= ∗ ∗
y*
A*
y y
∗ = + 1
2 ℎ
2 − = 1
2 ℎ 2 +
∗ = ℎ
2 −
= 1 2
ℎ
2 + ℎ
2 −
= 2 ℎ
4 −
Il momento statico ( ) (e quindi anche le tau) ha un andamento parabolico con y.
Jourawsky
Taglio (Jourawsky)
• Quindi l’andamento delle è parabolico con massimo in corrispondenza dell’asse baricentrico e sollecitazioni nulle agli estremi dove y=h/2
Il valore massimo (ottenuto per y=0) è dato da:
nella quale A=bh, area della sezione rettangolare
• Da questa relazione si può osservare come, nel caso della sezione rettangolare, esista una differenza rilevante tra il valore massimo degli sforzi e quello medio dato da T/A (50%) e ricordando che:
Taglio (Jourawsky)
= ℎ2 8
= ℎ3 12
= 3
2
Sezione circolare:
x y
= ∗ ∗
y*
A* y
∗ = ⋯
∗ = ⋯
= ⋯
= ⋯
Il momento statico ( ) (e quindi anche le τ) ha un andamento parabolico con y.
Taglio (Jourawsky)
In realtà, per la sezione circolare (e per tutte le sezioni con il profilo non
verticale), la soluzione è approssimata, in quanto non vale l’ipotesi di τ costante lungo la corda.
= 4
3
Sezione Triangolare:
x y
ℎ
= ∗ ∗
y*
A* y y
∗ = ⋯
∗ = ⋯
= ⋯
Il momento statico ( ) (e quindi anche le tau) ha un andamento parabolico con y.
Per la sezione triangolare si dimostra che il valore del taglio massimo non è in corrispondenza
dell’asse baricentrico [y(τmax)=h/2].
Taglio (Jourawsky)
= 3 ℎ
Taglio per sezioni non rettangolari
Quando si analizzano sezioni aventi geometria differente da quella rettangolare, emerge la difficoltà legata al fatto che gli sforzi non sempre sono tangenti al bordo della sezione
Infatti per le proprietà di uguaglianza degli sforzi di taglio coniugati, e poiché le facce esterne del solido sono scariche, sulle facce laterali della trave non possono esistere componenti di perpendicolari al bordo. Gli sforzi di taglio devono quindi sempre essere tangenti al bordo Per esempio, in una sezione circolare questa proprietà è garantita solo in corrispondenza del diametro da una distribuzione costante e diretta come il taglio. Qualunque altra corda non rispetta questa condizione.
Tuttavia la formula di Jourawski riesce ancora a fornire con sufficiente precisione il valore dello sforzo di taglio laddove è massimo, ossia sul diametro perpendicolare alla forza di taglio dove è lecito considerare una distribuzione di sforzi costante e allineata con il taglio T
=
4
4
= 4
3 2 = 4
= 2 3
=
2
2
4 3
=
Taglio per sezioni non rettangolari
Nel caso più generale, la determinazione degli sforzi tangenziali, richiederebbe di sommare alle τyxcalcolate con la formula di Jourawsky una distribuzione di τzx tale da soddisfare la condizione di tangenza ai bordi della sezione.
Taglio
Poiché gli sforzi tangenziali variano lungo la sezione (con legge parabolica nel caso delle geometrie esaminate) anche le deformazioni non saranno costanti
Nel caso delle sollecitazioni di taglio le deformazioni (dette “di scorrimento” o “scorrimenti” si indicano con la lettera greca γ
Il modo in cui si deforma un elementino di materiale sottoposto a sforzi di taglio prevede che cambino gli angoli (inizialmente retti) formati dalle facce
Per i materiali a comportamento lineare elastico la legge di Hooke per il taglio esprime una proporzionalità tra e γ per mezzo della costante G detta modulo di elasticità tangenziale
G è legato al modulo di elasticità E attraverso la relazione
Queste relazioni mostrano come per un materiale lineare omogeneo e isotropo i valori delle costanti E, G e
non sono indipendenti tra loro
= =
2(1 + )
Taglio (Jourawsky)
Non essendo questi angoli γ uguali in tutti i punti, la sezione, in origine piana, dopo la deformazione presenta un ingobbamento caratterizzato dalla presenza di un punto di flesso in
corrispondenza dello sforzo di taglio massimo, mentre alle estremità, essendo γ=0, il profilo della deformata resta
perpendicolare alle superfici superiore ed inferiore del solido Lo spostamento relativo dη tra due sezioni adiacenti può essere valutato per mezzo della deformazione media γmed come segue:
La deformazione media si può esprimere in generale come:
Dove χ è una costante detta fattore di taglio che dipende dalla forma della sezione
In una sezione rettangolare di un solido soggetto a taglio, quindi, le deformazioni γ seguono l’andamento delle τ, dovendo valere:
=
= dz
=
=
Fattore di taglio χ
Sezione χ
rettangolare 6
5
circolare 10
9 circolare cava sottile 2
a «I» o scatolata
Rapporto σ
max/τ
max( ) = Navier
F z y
= 3
2 = 3
2 ℎ
= ( )
Jourawsky
Consideriamo una trave incastrata lunga L e soggetta all’azione della forza F.
La sezione della trave è rettangolare, di area A = b⋅h
= =
ℎ3 12
ℎ
2 = 6
ℎ2
= 6
ℎ2
2 ℎ
3 = 4 ℎ
Se la trave è snella (L ≫ h), il rapporto L/h è molto alto. In tal caso è lecito trascurare l’effetto del taglio ai fini dell’analisi delle sollecitazioni.
