Metodo degli Elementi finiti: Introduzione all analisi strutturale

1 Metodo degli Elementi finiti: Introduzione all’analisi strutturale

2 Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali

sforzo normale in campo lineare

Definizione: Una struttura linear- mente elastica è una struttura in cui tutti gli spostamenti ed i carichi interni sono funzioni lineari del ca- rico applicato

f F

f

F

F = k*f

f = 1/k F = α*F

F è la forza generalizzata f è lo spostamento gene- ralizzato

K coef. di rigidezza

α coef. di deformabilità

k

3

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali sforzo normale

Elemento tipo trave a 2 nodi

Def.: il coefficiente di rigidezza

k

rappresenta lo sforzo i-esimo

che si ha nel nodo i per effetto

della j-esima deformazione uni-

taria agente nel nodo j della

struttura e solo quella

4

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali sforzo di flessione

Elemento tipo trave a 2 nodi

E’ opportuno precisare che in questa analisi, la trattazione dell’elemento tra- ve viene basata sulla teoria classica di Eulero e Bernoulli che ipotizza trascu- rabili gli spostamenti conseguenti alle deformazioni di taglio.

Le ipotesi su cui si basa sono le seguenti:

- Sezioni normali alla linea media della trave nella sua configura- zione indeformata, rimangono piane e normali alla linea media an- che nella condizione deformata.

- Spostamenti piccoli rispetto alle dimensioni della sezione e pic- cole rotazioni.

- Tensioni dirette perpendicolarmente all’asse della trave di entità

trascurabile.

5

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali Sforzo di flessione

6

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali sforzo normale e flessione

Ordine della matrice = 6x6

7 Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali

Esempio con un solo elemento GIp

F dx

df_{ϕ ϕ}

= dx

GI df F

l

p l

⋅

=

∫

∫

0 3

4 0

3

4 = ⋅ = − ⋅ =











 ⋅

=

− _x

p l

x p l

p

GI x x F

GI x F

GI f F

f ^ϕ

Imponendo f₃ = 1 e f₄ = 0 si trova

GI l F

p

⋅

=

−1 ⁴

43 3

4 4

1 k

f F F

l GI_p

−

=

−

− =

= l

GI f

F f

k = F = − = ^p

3 4 3

3

33 l

k₄₃ = −GI^p

Imponendo f₃ = 0 e f₄ = 1 si trova

GI l F

p

⋅

= ⁴ 1

44 4

4 4

1 k

f F F

l GI_p

=

=

=

l GI f

F f

k = F = − =− ^p

4 4 4

3

34

[ ] _



 





−

= −

1 1

1 1

l K GI^p

f₃

f₄

y z x

1

2

8

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali Risoluzione di casi semplici

9

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali Risoluzione di casi semplici

10

Metodo degli Elementi finiti: metodo degli spsotamenti Risoluzione di casi semplici

11

Metodo degli Elementi finiti: metodo delle forze Risoluzione di casi semplici

Definizione: Il coefficiente di deformabilità α

potrà essere definito co-

me lo spostamento i-esimo che si ha nel nodo i della struttura quando

essa è assoggettata nel nodo j alla forza j-esima unitaria e solo

12

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali Risoluzione di casi con più elementi

13

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali Risoluzione di casi con più elementi

Ricordando che per ogni elemento

vale la relazione

14

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali Risoluzione di casi con più elementi

15

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali Risoluzione di casi con più elementi

N = numero di elementi

n = gradi di libertà per elemento

M = numero di nodi di struttura

m = gradi di libertà per nodo

16

1

2

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali Risoluzione di casi con più elementi

17

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali Risoluzione di casi con più elementi

18

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali Risoluzione di casi con più elementi

19

Metodo degli Elementi finiti: Matrice [T]

f

- -

f

20

Metodo degli Elementi finiti: Matrice [T]

21

Schema di struttura completa

Liberare da carichi Liberare da vincoli

Numerare nodi ed elementi

Fissare sistema di riferimento globale

Numerare frecce o forze possibili per lo stato di sollecitazione complessivo

Separare i singoli elementi nel loro orientamento

Fissare sistema di riferimento locale e Numerare frecce o forze possibili per ogni elemento

Attribuire dati di rigidezza per ogni elelmento

(E,G,A,J)

Costruire matrice di rigidezza per ogni elemento

in coordinate locali

Matrice T per ogni elemento

Matrice d’elemento in coordinate di struttura per

ogni elemento

Matrice A Matrice assemblata di

struttura

Diagramma riepilogativo

22

Matrice assemblata di struttura

Forze esterne Condizioni di vincolo

Riduzione della matrice assemblata

Inversione della matrice ridotta

Calcolo spostamenti Calcolo reazioni

vincolari

23

Metodo degli Elementi finiti: Flessione con più elementi

24

A* =

Metodo degli Elementi finiti: Flessione con più elementi

25

Metodo degli Elementi finiti: Flessione con più elementi



 





 



⋅

 







 







 =

 





 



⋅

 







 







=

 



 





 



 



 −

6 4 2

6 4 2

2 2

2 2

2

2 2

2 3 2

2 1 0

1 4 1

0 1 2 2

4 2

0

2 8

2

0 2

4

12 0 12

f f f l

EJ f

f f

l l

l l

l

l l

l EJ ql

ql

26

Metodo degli Elementi finiti: Flessione con più elementi

[ ]

1 1

2 1 0

1 4 1

0 1

2

−

 







 







r

=

K [ ] [ ]

[ ]

r K

K K agg

det

1 =

−

[ ] ^{2 1 2 7 2 12}

det K

= A

+ A

= ⋅ − =

 



 





 



 



 −

 







 







 =

 





 



12 0

12 2

1 0

1 4 1

0 1 2

2

2 1

6 4 2

ql ql

EJ l f

f f

27

28

Metodo degli Elementi finiti: Approccio fisico

29

Metodo degli Elementi finiti: Approccio fisico

[ ] K

= [ ] K

30

• Come si è notato la matrice di rigi- dezza è simmetrica rispetto alla diagonale principale, come acca- de per tutti i sistemi lineari. Vale a dire che k

= k

(teorema di reciprocità)

• Altra caratteristica della matrice di rigidezza è che, se la struttura è stabile e vincolata sufficientemen- te perché moti di corpo rigido non siano possibili, è sempre semi- definita positiva. Vale a dire è sempre non negativa la forma

quadratica ad essa associata

Uguagliando i lavori e dividendo per f

f

≠0

Proprietà della matrice di rigidezza

31

32 Def. Per forma quadratica Q associata ad una matrice quadrata [A] di ordine n, si intende l’espressione omogenea di secondo grado che si ottiene post-moltiplicando la matrice [A] per un generico vettore {y} e pre-moltiplicandola per il trasposto del medesimo vettore

Def. La matrice quadrata [A] di ordine n si dice definita o semi-definita (positiva o negativa) secondo che lo sia la forma quadratica ad essa associata.

Def. Una forma quadratica Q, associata ad una matrice quadrata e sim- metrica di ordine n, si dice definita positiva (negativa) se assume valori positivi (negativi), qualunque siano gli elementi del vettore {y}, e si an- nulla se sono nulli tutti gli elementi dello stesso vettore.

Def. La predetta forma quadratica Q è detta, invece, semi-definita po- sitiva (negativa) se, pur assumendo valori non negativi (non positivi) per qualunque valore degli elementi del vettore {y}, si annulla per alcuni va- lori non nulli degli elementi dello stesso vettore.

{ } [ ] { }

i n

j

i ij

T A y a y y

y

Q = ⋅ ⋅ =

∑∑

=1 =1

Proprietà della matrice di rigidezza

Si può dimostrare che secondo che una forma quadratica Q sia definita o semi-definita positiva, la matrice quadrata e simmetrica [A] ad essa as- sociata è non singolare o singolare attraverso i seguenti teoremi, di cui si rilascia solo l’enunciato, e definendo minore principale di ordine k della matrice [A] quadrata (k < n) la sottomatrice di [A] ottenuta con le prime k righe e le prime k colonne.

Teorema 1: Se [A] è simmetrica, la forma quadratica Q è definita positiva se e solo se det [A_k] > 0 per ogni minore principale [A_k], con k = 1,….. , n.

Teorema 2: Se [A] è simmetrica, la forma quadratica Q è semi-definita positiva se e solo se det [A_k] ≥ 0 per ogni minore principale [Ak],k =1,.., n.

Esempio

[ ]



 



= 

1 0

0

A 2

{ }







= 

2 1

y y y

{ } { }

0 2

2 1

0 0 2

2 2 2

1

2 1 2

1 2

1 2

1

>

+

=

 =

 

 

⋅ 

 =

 

 

⋅ 

 

 



⋅ 

=

y y

y y y

y y y y

y Q

Matrice [A] definita positiva

Esempio

[ ]



 



= 

4 2

2

A 1

{ }







= 

2 1

y y y

{ } { }

0 4

4 4

2 2

4 2

2 4

2 2 1

2 2 2

1 2

1 2

2 2

1 2

1 2

1

2 1

2 1

2 1

2 1 2

1

≥ +

+

= +

+ +

=

 =

 

 



+

⋅ +

 =

 

 

⋅ 

 

 



⋅ 

=

y y

y y

y y

y y

y y

y y

y y y

y y y y

y Q

Matrice [A] è semi-definita positiva

[ ]



 



= −

1 0

0 A 2

{ } { }

0 2

2 1

0

0 2

2 2 2

1

2 1 2

1 2

1 2

1

≠ +

−

=

 =

 

 

⋅ −

 =

 

 

⋅ 

 

 



⋅ −

=

y y

y y y

y y y y

y Q

Matrice [A] non definita