Osservatorio Astronomico Valle del Seveso
By Stefano Mandelli (MST,MQL)
Variazioni di periodo nelle binarie ad eclisse dovuti ad effetti di LTE
Bollettino N°2
Seveso(MI) 02/12/2006 Revisione del 14/01/2007 in collaborazione con Gianni Roselli
XY Leo, UW Vir, AB Cas
Abstract: Nel seguente articolo si analizzeranno i diagrammi O-C di alcune variabili ad eclisse la cui modulazione oscillatoria è da attribuirsi a interazioni gravitazionali di un terzo corpo appartenente al sistema. Lo scopo delle metodologie usate, non è solo quello di stilare una semplice effemeride per prevedere la caduta dei minimi, bensì è quello di ricavare i parametri orbitali del terzo corpo. Tramite l’applicazione delle formule di Irwin, e del metodo di Kopal potremmo giungere a calcolare, con una ragionevole precisione, semiasse maggiore ed Eccentricità dell’orbita del terzo corpo. L’errore sui coefficienti dei termini oscillatori è dato dalla risoluzione dell’equazione, secondo il metodo di Marquard-Levenberg. Le stelle analizzate sono le seguenti: XY Leo, UW Uma, AB Cas. Del primo sistema, conosciamo già in modo preciso tutti gli elementi orbitali del terzo corpo, quindi lo studio di questa stella ci servirà come confronto per il metodo usato. Successivamente, verranno calcolati i parametri orbitali di UW Uma, ed AB Cas che invece sono tutt’ora sconosciuti.
Introduzione:
Nel seguente articolo sui comportamenti oscillatori dei digrammi O-C, dovute alle interazioni
gravitazionali con un terzo corpo, si cercherà di spiegare il fenomeno in modo matematico e si
cercherà di estrapolare dalla modulazione, i parametri orbitali di un probabile terzo corpo, che con le sue interazioni gravitazionali potrebbe creare quella determinata oscillazione
I parametri sopra descritti sono ricavabili applicando le Formule di Irwin (1959) e il metodo di Kopal.
La causa di un andamento oscillatorio di un diagramma O-C, non è solamente attribuibile alla presenza di un terzo corpo, bensì ci sono diverse cause:
a) Presenza su una delle componenti di attività magnetiche ciclice (di tipo solare)
b) Apsidal Motion
c) Presenza di un terzo corpo.
Modulazioni oscillatorie la cui causa è dovuta agli effetti descritti nel punto a) e nel punto b) danno origine a oscillazioni STRETTAMENTE sinusoidali, quindi sono delle onde perfette. Nel primo caso, la curva di luce B-V presenta una tendenza del colore del sistema a diventare più blu, al massimo della luminosità (Applegate 1992). Nel secondo caso, una modulazione oscillatoria del periodo, causata dalla precessione secolare del periastro, si verifica solo nei sistemi binari in cui l’orbita (delle componenti eclissanti) è significativamente eccentrica, quindi si origina un diagramma O-C in cui l’andamento dei punti ricavati, con i minimi primari e quelli ricavati con i minimi secondari, hanno due andamenti
differenti, più precisamene, l’entità della modulazione è la stessa, cambia la fase di oscillazione iniziale. Nel caso c), invece, la modulazione non è quasi mai un’oscillazione perfetta. Tali asimmetrie sono
strettamente legate all’eccentricità dell’orbita del terzo corpo.
In tutti i campioni stellari studiati in questo articolo, la forma della modulazione non è perfettamente sinusoidale, e l’eccentricità dell’orbita delle componenti binarie è prossima a zero, quindi possiamo dire con buona sicurezza, che la
modulazione in questione è causata dall’effetto di un terzo corpo.
Dei sistemi stellari analizzati, solo di XY Leo si conoscono in modo preciso i parametri dell’effetto di LTE. Questi verranno usati come confronto. Si compareranno le misure ottenute in questo articolo, con quelle ricavate da fonti precedenti, se i risultati saranno uguali in modo statistico, allora il metodo usato è corretto, e potremo applicarlo anche ai rimanenti sistemi di cui non si conosce l’entità dell’effetto LTE.
L’applicazione del metodo:
Per ricavare i parametri orbitali sopra descritti, si è operato in questo modo:
Eccentricità, semiasse maggiore e funzione di massa del terzo corpo, secondo il formulario di Kopal, sono così definiti:
2 2
2 2
2 2 2
1 1
a b
e
a b
= ⋅ +
+
2 2
1 1
sin( )
a⋅ i = ⋅c a +b fm3=42a3sin3i
GP2
Le quattro incognite che compaiono nelle formule:
(a b a b1; ;1 2; 2), sono direttamente legate alla
modulazione del diagramma O-C, infatti i loro valori
dipendono dalla forma del diagramma. Per ricavare questi parametri si usa
Il metodo della Trasformazione Discreta di Fourier (DFT)
2 ( )
1
1 [ sin( ) sin( )]
lite 2 o i i
i
O C a a i Eω b i Eω
=
− = +
∑
+Dalla risoluzione con i minimi quadrati , è possibile ricavare tutti i parametri necessari per calcolare semiasse maggiore ed eccentricità dell’orbita di un probabile terzo corpo.
I coefficienti dei termini oscillatori, hanno un loro significato analitico che può essere espresso in questo modo:
(a b1; 1) = Danno un’indicazione sull’intensità dell’effetto di LTE in questione, quindi ci danno un’informazione sulla distanza del terzo corpo e sulla sua funzione di massa.
(a b2; 2)= Danno indicazioni sulla simmetria della curva. Se la modulazione oscillatoria dell’O-C è perfettamente simmetrica (quindi segue l’andamento di una perfetta oscillazione) allora a b2; 2 sanno entrambi uguali a zero e l’eccentricità risulterà anch’essa essere zero, quindi, vorrà dire che il terzo corpo si muove su un orbita ( che in prima
approssimazione ) è circolare. Solitamente, anche avendo O-C molto precisi e omogeneamente distribuiti nel tempo, la precisione sull’eccentricità rimane sempre nell’ordine di ± 0.002
Se a b2; 2 sono entrambi diversi da zero, allora ciò sta a significare che, la modulazione dell’O-C non è perfettamente simmetrica, e quindi otterremo un valore di eccentricità
0 < e < 1
ANALISI DEL DIAGRAMMA O-C:
La determinazione dei coefficienti dei termini oscillatori è sicuramente il passaggio più delicato di tutta l’analisi.
La riduzione della DFT è stata eseguita con il software Data Master 2003 che è basato sull’algoritmo di Marquardt-Levenberg.
La risoluzione dell’equazione deve avvenire per gradi:
1) Prima si interpola il diagramma O-C con la sinusoide di frequenza fondamentale ωo, e si iniziano a ricavare i valori di ao, a1 e ωo. Il valore della frequenza, ci indica con quale periodo si presentano le modulazioni sul diagramma O-C.
2) Si bloccano i parametri della sinusoide
precedentemente calcolata (quindi i parametri ao, a1 e ωo) e sulla base di quelli, si calcola,
il valore del parametro b1 in modo tale che la nuova oscillazione, sommata alla precedente, dia come risultato una migliore interpolazione del diagramma O-C, che viene valutata con un test Chi².
3) Risolti i primi due termini oscillatori,
possiamo passare al termine oscillatorio della seconda armonica (quindi quella con
frequenza doppia). Sulla base dei due termini oscillatori, precedentemente calcolati, si vanno a ricavare, prima il parametro a2 ,
successivamente il parametro b2, sempre con l’intento di ottenere una miglior
interpolazione del diagramma O-C , la cui valutazione avviene sempre con un test Chi² Tutta l’operazione, quindi, consiste nel ricavare ogni termine della DFT, in funzione di quello precedente, in modo da ottenere una miglior interpolazione del diagramma O-C (Il principio di funzionamento della DFT, è lo stesso di una serie di Fouriè, solo che sfrutta solo due armoniche, per questo motivo è anche definita come Trasformata Finita di Fouriè o meglio conosciuta come Trasformata Discreta di Fouriè). Per capire meglio come avviene la
risoluzione possiamo scrivere la DFT in tutta la sua estensione :
1 1
2 2
1 sin( ) sin( ) ...
2
... sin(2 ) sin(2 )
O C ao a E b E
a E b E
ω ω
ω ω
− = + + +
+ +
Come si può vedere, ogni termine oscillatorio va calcolato in funzione del precedente, in modo da ottenere da un Chi² 1 ≈
Una volta ricavati i quattro parametri, con gli errori ad essi associati, si vanno a calcolare gli elementi orbitali del terzo corpo.
Analisi e interpretazioni oscillatorie:
Studio su XY Leo
XY Leo, è un sistema stellare di cui si conoscono già precisamente tutti i parametri orbitali dell’orbita del terzo corpo. Infatti ricordiamo gli studi effettuati da Gehlich et al. (1972) , Pan & Cao (1998) e da Yakut , Ibanoglu, Kalomeni e Degirmenci (2003). In questo articolo, sfrutteremo i risultati precedentemente esposti per valorizzare il metodo usato (BH96). Infatti verranno calcolati gli stessi parametri e poi comparati con i risultati precedenti. Se i valori risulteranno statisticamente uguali, allora il metodo usato è corretto.
ANALISI
Analizzando a priori il diagramma O-C di XY Leo possiamo, con sufficiente sicurezza, affermare che la modulazione in questione è causata da un terzo corpo, perché punti di O-C calcolati con i minimi primari e con minimi secondari, seguono lo stesso andamento ( si preclude la precessione secolare del periastro e i relativi effetti di apsidal motion). Il sistema ha classe spettrale (KO+KO) quindi si escludono attività magnetiche cicliche di tipo solare.
Diagramma O-C di XY Leo
Qui sopra è presentato il diagramma O-C di XY Leo, calcolato con i 363 minimi contenuti nel database dell’O-C Gateway di BRNO. L’effemeride di riferimento del diagramma O-C è la seguente:
Min(I) = 0,2841 d *E + 2435484,0158838 HJD Come si può ben notare, presenta una caratteristica forma oscillatoria, però sembra esserci implicita una seconda modulazione di tipo parabolica :
Dall’analisi parabolica del diagramma O-C, secondo il metodo di Marquardt- Levenberg è risultata una consistente modulazione parabolica:
I parametri della parabola di equazione generale : O-C = A*E² + B*E + C sono i seguenti:
Parametri Valori Errore A 3,34E-11 +0,3383E-11
B - 2,60E-06 +0,2199E-6
C 4,66E-02 +0,31435E-1
Sottraendo la seguente modulazione parabolica, otteniamo i residui oscillatori:
O-C dei residui oscillatori:
Una volta sottratto l’andamento parabolico, possiamo interpolare i residui oscillatori con il metodo della DFT :
2 ( )
1
1 [ sin( ) sin( )]
lite 2 o i i
i
O C a a i Eω b i Eω
=
− = +
∑
+In questo modo, dalla risoluzione dell’equazione con i minimi quadrati, possiamo ricavare i coefficienti dei termini oscillatori per calcolare i parametri orbitali richiesti:
Interpolazione dei residui:
La risoluzione dello sviluppo in serie ha dato i seguenti risultati:
Parametri Valori Errore ao - 6.83E-04 1.11E-07
a1 2.29E-02 1.55E-07 ω 2.75E-04 1.67E-10
b1 2.10E-07 1.61E-10
a2 - 2.13E-03 1.53E-05
b2 - 4.88E-12 1.46E-11
Il parametro ci da indicazioni sulla periodicità della modulazione O-C che in questo caso risulta essere di:
2 22827, 27751 6485, 29631 6485, 2931
17, 76 365, 25
cicli
JD cicli
anni
T cicli
T T P JD
giorni
T anni
giorni anno π
= ω =
= ⋅ =
= =
Ora conoscendo i parametri dei termini oscillatori, possiamo calcolarci i parametri orbitali, facendo riferimento al metodo di Kopal:
Tali parametri saranno comparati con quelli precedentemente calcolati da altre fonti, in questo modo, si potrà constatare la veridicità del metodo usato:
FONTE a*sin(i) [km] e'
Gehlich (1972) 6, 69 10⋅ 8±0,18 10 km⋅ 8 0,13 ± 0,01
Pan & Cao 1998 5, 86 10⋅ 8±0, 09 10 km⋅ 8 0,17 ± 0,03
University of EGE6,108 10⋅ 8±0, 008 10 km⋅ 8 0,12 ± 0,01 Questo articolo 5, 92 10⋅ 8±0, 233 10 km⋅ 8 0,180 ± 0,003
FONTE fm3[Msol] Gehlich (1972) 0,257 ± ?
Pan & Cao 1998 0,161 ± 0,001
University of EGE 0,177 ± 0,002 Questo articolo 0,198 ± 0,012
Calcolo dei residui:
Sapendo che il diagramma O-C è sottoposto ad una modulazione sia parabolica che oscillatoria,
calcoliamo il grafico dei residui, sottraendo entrambe le modulazioni. Se i residui saranno omogeneamente distribuiti intorno allo zero, vorrà dire che il lavoro di analisi, è stato condotto in modo corretto e preciso.
RESIDUI:
I residui risultano mediamente, ben distribuiti intorno allo zero, indici di una discreta precisione di analisi.
Discussione sui risultati raggiunti:
Come è possibile notare dalla tabella comparativa, esposta precedentemente, i valori ricavati sono in linea con quelli precedentemente calcolati dagli astronomi professionisti. Il valore di semiasse maggiore si discosta solo dalla Fonte 1, mentre, rispetto alle Fonti 2 e 3 gli intervalli di confidenza si sovrappongono perfettamente.
Il valore di eccentricità, nonostante sia in linea con i valori precedenti, risulta essere molto vicino solo al valore ricavato dalla Fonte 2, mentre si discosta leggermente dalle Fonti 1 e 3.
La cause di imprecisione sull’eccentricità sono molteplici, alcune fra le più importanti possono essere:
-) Imprecisione dei digrammi O-C
-) Una non perfetta copertura temporale da parte dei punti osservativi
Anche la funzione di massa del terzo corpo, è in linea con i valori precedentemente calcolati.
Sulla base dei risultati ottenuti, possiamo continuare la nostra analisi delle rimanenti due stelle i cui parametri orbitali non sono ancora noti.
STUDIO SU AB Cas
AB Cas è un binaria ad eclisse di tipo EA, le cui componenti hanno classe spettrale (A3+K). Questo indizio preclude già la possibilità di trovare
oscillazioni del periodo dovute ad attività magnetiche cicliche come quelle solari (classe spettrale G).I punti di O-C calcolati con i minimi primari e con i minimi secondari seguono perfettamente lo stesso
andamento, escludendo sicuramente, cambiamenti di periodo causati da Apsidal Motion. Il diagramma O-C di questa stella presenta anch’esso due modulazioni, una parabolica e una oscillatoria. In questo articolo, si considererà l’ipotesi che il sistema AB Cas sia
costituito da 3 componenti e si ricaveranno i parametri dell’ipotetico terzo corpo che potrebbe causare tali modulazioni oscillatorie.
O-C di AB Cas:
Nel database dell’O-C Gateway di BRNO sono contenuti ben 528 tempi di minimo che sono serviti per costruire il diagramma O-C della stella:
L’effemeride lineare di riferimento è la seguente:
Min(I) = 1,36688 * E + 2446849,27 Hjd
O-C risultante:
come si può ben notare l’O-C segue un andamento tipicamente parabolico:
La parabola di equazione generica
O-C = Ax² + Bx + C ha i parametri che valgono:
Parametri Valore
A 6,31E-10
B 2,67E-06
C 8,98E-03
Sottraendo la modulazione parabolica possiamo notare che i residui seguono un andamento oscillatorio. Interpoliamo l’oscillazione con la seguente successione:
2 ( )
1
1 [ sin( ) sin( )]
lite 2 o i i
i
O C a a i Eω b i Eω
=
− = +
∑
+e otteniamo che :
Parametri Valore Ao - 8,46E-04
A1 - 7,35E-03 6,18E-04
B1 - 3,75E-03
A2 1,55E-04
B2 9,69E-04
A2 e B2 sono diversi da zero, questo, rafforza l’ipotesi di un terzo corpo.
Il parametro ci da indicazioni sulla periodicità della modulazione O-C che in questo caso risulta essere di:
[ ]
[ ]
2 10166, 97
13897, 02 365, 25 38
cicli
JD cicli
day anni
day year
T cicli
T T P JD
T T anni
π ω
=
= =
= ⋅ =
= =
La modulazione oscillatoria si ripete con una periodicità di 38,0266 anni.
Ora ricaviamo i dati orbitali del terzo corpo, applicando le formule di Kopal otteniamo che :
a*sin(i) [km] e fm3[Msol] 2,14 10 km⋅ 8 0,24 0,002
Per controllare l’operato vediamo se l’andamento dei residui è omogeneamente distribuito intorno allo zero:
Nonostante i residui siano notevolmente dispersi, sembrano approssimarsi bene a zero, quindi abbiamo operato in modo soddisfacentemente corretto e preciso.
STUDIO SU UW Vir:
UW Vir è catalogata dal GCVS come una binaria ad eclisse di tipo EA di classe spettrale (M6+?). Di questa stella, si conoscono solo dei dati
approssimativi. Si sa che la modulazione dell’O-C è causata dall’interazione gravitazionale di un terzo corpo, infatti le altre due ipotesi preliminari si possono scartare a priori, basandoci sulla classe spettrale e sull’andamento dello stesso diagramma O- C. Dall’analisi effettuata da Qian Shengbang, su questa variabile, è stato approssimativamente
calcolato che il terzo corpo deve giacere su un’ orbita quasi circolare. Nell’articolo del 2000, però non viene esplicitato nessun valore di eccentricità e semiasse maggiore, bensì vengono formulate delle conclusioni, solamente in relazione al “quasi” annullamento dei parametri della seconda armonica, della successione utilizzata per interpolare il diagramma O-C. In questo articolo cercheremo di fornire un indicazione
sull’entità dei parametri richiesti. Naturalmente ci aspettiamo che il valore dell’eccentricità sia notevolmente basso.
DIAGRAMMA O-C DI UW Vir:
I minimi utilizzati sono stati quelli presenti nell’
“Eclipsing Minimum Database”
(www.oa.uj.edu.pl/ktt/ktt.html)
Il diagramma O-C è stato calcolato con la seguente effemeride:
Min(I) = 1,810776*E + 2444345,41Hjd
I punti sembrano (si veda il punto in alto a sinistra) avere una modulazione parabolica.
Analizzando con l’algoritmo M-L il diagramma O-C è stato possibile rilevare una modulazione parabolica :
I coefficienti della parabola interpolante di equazione generale:
O-C = Ax² + Bx + C hanno questi valori:
Parametri Valore A 4,47E-09 B - 1,48E-05 C - 1,03E-02
Sottraendo la modulazione parabolica otteniamo i seguenti residui oscillatori che sono stati
successivamente interpolati con la ben nota successione:
I coefficienti dei parametri oscillatori, ricavati, con il metodo dei minimi quadrati, secondo l’algoritmo M-L, hanno il seguente valore:
Parametri Valori Ao - 1,53E-03
A1 1,99E-02
1,03E-03
B1 2,32E-07
A2 - 1,00E-03
B2 2,36E-09
Il parametro ci da indicazioni sulla periodicità dell’effetto LTE:
[ ]
[ ]
2 6100,18
11046, 06 30, 24 365, 25
cicli
JD cicli
day anni
day year
T cicli
T T P JD
T T anni
π ω
=
= =
= ⋅ =
= =
Dai seguenti parametri possiamo ricavare semiasse maggiore ed eccentricità dell’orbita del terzo corpo:
a*sin(i)[km] e fm3[Msol] 5,14 10 km⋅ 8 0,10 0,045 Come avevamo previsto, in accordo con gli studi effettuati da Qian Shangbang, l’eccentricità del sistema è risultata essere abbastanza contenuta.
ANDAMNENTO DEI RESIDUI:
Ora, sottraiamo entrambe le modulazioni e vediamo se i residui risulteranno omogeneamente distribuiti intorno al valore zero:
I residui sono omogeneamente distribuiti intorno allo zero, indice di una buona approssimazione di analisi.
CONCLUSIONI Analisi del terzo corpo
L’analisi dei diagrammi O-C, secondo il metodo esposto, ci ha portati a ricavare con una precisione soddisfacente, alcuni parametri orbitali dell’ipotetico terzo corpo che, con le sue interazioni gravitazioni potrebbe causare una modulazione dell’O-C
oscillatoria. Il nostro studio, ben appunto, ha come base l’assunzione che la modulazione in questione sia causata da un possibile terzo corpo. Tale ipotesi è supportata dal fatto che dall’analisi del diagramma O- C con la seguente equazione :
2 ( )
1
1 [ sin( ) sin( )]
lite 2 o i i
i
O C a a i Eω b i Eω
=
− = +
∑
+si è potuta riscontrare una non perfetta simmetria dell’oscillazione, in questo modo delle tre ipotesi iniziali:
- Apsidal Motion;
- Macchie stellari;
- Terzo corpo;
l’unica in grado di dare modulazioni dell’O-C non simmetriche è quella del terzo corpo, mentre per le altre due ipotesi abbiamo una modulazione
strettamente sinusoidale, oltretutto, considerando la classe spettrale e la stessa distribuzione dei punti O-C calcolati con minimi primari e consari, possiamo affermare che le modulazioni oscillatorie, a cui sono soggetti tutti i diagrammi O-C studiati in questo articolo, sono causate da interazioni gravitazionali dovute alla presenza di una terza componente nel sistema.
Alla luce di ciò, i parametri orbitali del terzo corpo, ricavati sono risultati essere:
Stella a*sin(i) e P
XY Leo 5, 92 10 km⋅ 8 0,180 17,76 anni
AB Cas 2,14 10 km⋅ 8 0,24 38,03 anni
UW Vir 5,14 10 km⋅ 8 0,10 30,24 anni Stella fm3[Msol]
XY Leo 0,198
AB Cas 0,002
UW Vir 0,045
I valori di XY Leo e AB Cas sono, dato che sono stati calcolati da un diagramma O-C ben distribuito nel tempo, sono più attendibili dei parametri di UW Uma. Infatti il diagramma O-C di quest’ultima stella ha pochi punti e copre solo una piccola parte
dell’evoluzione completa dell’effetto LTE.
Analisi del sistema binario:
Come è possibile vedere, in tutti e tre i sistemi analizzati è stata riscontrata una modulazione del diagramma O-C, parabolica. Questo tipo di comportamento è solito nelle binarie ad eclisse a corto periodo. Infatti, le componenti eclissanti, essendo molto vicine, tendono a oltrepassare la loro superficie equipotenziale e quindi abbiamo fenomeni di ricaduta di materia dalla componente più massiva, alla minore, dando appunto, come effetto, un
diagramma O-C parabolico, in cui il periodo orbitale (del sistema binario) si incrementa o decresce (a seconda di dove è rivolta la concavità della parabola) in modo costante.
Reference:
[1]A.Claret,B. Willems [New results on the Apsidal Motion A&A 338, 518-530(2002)]
[2]John B. Irwin [The determination of Light-Time Orbit]
[3] Q.Shengbang [Long time Behavior of orbital period of some EA eclipsing binaries, A&A 146,377-384(2000)]
[4] Kopal Z. 1959, [ Close Binary Systems. , Chapman &
Hall, Ltd.,London, p 495]
[5] J. Kallrath, E. F. Milone, D. Terrell, A.T. Young.
[Recent improvement to a version of the W-D program]
(Marquardt-Levenberg)
[6]Software analisi dati: Data Master 2003 ed Excel.
[7] The case for third bodies as the cause of period changes in selected algol system; Hoffman, Harrison , McNamara; Vestrand; Holtzam; Barker Astronomical Journal 132:2260-2267, Dicembre 2006
