E-school di Arrigo Amadori
Tutorial di matematica
Funzioni
01 – Funzioni.
Una relazione fra due insiemi e si dice che è una funzione se soddisfa le seguenti due condizioni :
cioè il dominio della relazione deve essere uguale al primo insieme
cioè ogni elemento del dominio deve avere un solo elemento corrispondente (detto anche immagine) nel codominio.
Le funzioni sono quindi dei particolari tipi di relazione, cioè una funzione è una relazione mentre una relazione non è in generale una funzione. Per esserlo, una relazione, deve soddisfare le due condizioni precedenti.
Esempi (diamo direttamente i grafici cartesiani delle relazioni) : - 1 -
la relazione indicata nel grafico non è una funzione perché il dominio di non è uguale ad . - 2 -
anche in questo caso la relazione non è una funzione perché l'elemento di ha due immagini.
- 3 -
la relazione è in questo caso una funzione.
Le funzioni sono fra gli oggetti più importanti di tutta la matematica (così come della fisica).
02 - Esempi di funzioni numeriche.
Anche se ancora non abbiamo studiato sistematicamente i numeri, possiamo iniziare a fare alcuni esempi di funzioni numeriche visto che tutti noi abbiamo di essi (dei numeri) almeno una idea intuitiva.
Con i numeri si fanno principalmente le quattro operazioni e l'elevamento a potenza. Non sempre, però, queste operazioni hanno un risultato.
Non hanno risultato le seguenti operazioni : la divisione di qualunque numero per cioè :
la potenza : (anche se in alcuni contesti viene posto per definizione ) mentre bisogna ricordare che ogni altro numero elevato alla dà , cioè :
.
Si ricordi anche che .
Ritorneremo su queste "questioni" molte volte ed in particolare quando studieremo a fondo i numeri e le loro proprietà.
Per il momento, possiamo affermare che tutti i numeri, da meno infinito a più infinito, si chiamano numeri reali e che essi si possono porre su di una retta orientata (dotata di una freccia) :
Una generica funzione numerica si indica con la scrittura :
dove è la variabile indipendente, appartenente al dominio della funzione, ed è la variabile dipendente, appartenente al codominio della funzione.
Il simbolo significa che se si dà un valore alla , facendo i calcoli indicati dalla funzione stessa, si ottiene un valore (uno solo !) della .
Una funzione può "contenere" altre funzioni quali la radice quadrata, il seno, il coseno, la tangente, il logaritmo, l'esponenziale ecc. Tutte funzioni "preconfezionate" importantissime che studieremo a fondo.
Data una qualunque funzione numerica è di fondamentale importanza disegnarne il grafico cartesiano.
La funzione, così come è scritta in termini simbolici, ci "dice" molto poco. Il suo grafico, invece, ci dà in maniera visiva e sintetica tutte le informazioni di cui abbiamo bisogno.
Ecco allora che lo studio di funzione, il disegnarne il grafico, costituisce uno dei capitoli centrali di tutta la matematica. In questo corso impareremo come studiare ogni tipo di funzione e questo sarà l'argomento più importante che costituirà la base di tutti gli altri.
Riportiamo qui come esempio i grafici di alcuni funzioni numeriche.
- 1 – Le funzioni
Si tratta di rette parallele all'asse delle , perché dando alla qualsiasi valore, si ottiene sempre una costante. Si noti che la funzione coincide con l'asse delle .
- 2 – La funzione
La funzione rappresenta la retta bisettrice del I e del III quadrante.
- 3 – La funzione
La funzione rappresenta la retta bisettrice del II e del IV quadrante.
- 4 – Le funzioni
Sono tutte rette che passano per l'origine . Si noti che la "pendenza" della retta è maggiore di quella della retta . In generale, la pendenza è maggiore quanto più è grande in valore assoluto (cioè privato del segno) il numero (coefficiente) che moltiplica la .
- 5 – La funzione
Possiamo affermare allora che ogni funzione del tipo , dove è un numero qualunque, rappresenta una retta che passa per l'origine. Viceversa, ogni retta che passa per l'origine è rappresentata da una funzione del tipo . Questa seconda affermazione è vera con una sola eccezione :
la retta che coincide con l'asse delle non è rappresentabile da una funzione di quel tipo, anzi non è neppure una funzione, perché al valore corrispondono infinite immagini (per cui cade uno dei due presupposti perché una relazione sia una funzione).
Il fatto che la retta (l'asse delle ordinate) non è una funzione lo si può dedurre anche considerando che la retta ha una pendenza che cresce al crescere del valore di . Per valori di sempre più
grandi, la retta tenderà a diventare verticale senza però mai esserlo veramente. Solo se avesse valore infinito, allora la retta diverrebbe esattamente verticale, quindi coincidente con l'asse delle , ma l'infinito non è un numero, per cui nessuna funzione del tipo può rappresentare una tale retta (verticale).
(per semplicità abbiamo disegnato solo le semirette del quadrante).
- 6 – La funzione
Le funzioni di primo grado (in ) sono le funzioni più semplici. Esse sono riassumibili dalla espressione dove e sono due numeri reali qualunque.
Per esempio :
ecc.
Orbene, tutte le funzioni del tipo sono rappresentate da una retta.
Ritorneremo su questo più approfonditamente più avanti.
- 7 – La funzione
In generale, una qualunque funzione ad una sola variabile, è rappresentata da una curva del piano :
Le rette viste sopra, in matematica, sono allora delle curve, anche se ... "dritte".
03 - Funzioni a due variabili indipendenti.
Le funzioni numeriche possono avere anche due variabili indipendenti. In questo caso vengono simbolicamente indicate dall'espressione :
dove le variabili ed , le variabili indipendenti appunto, possono assumere valori qualunque mentre la variabile dipendente è ottenuta di conseguenza calcolando l'espressione matematica che caratterizza la funzione stessa.
Come si rappresentano graficamente le funzioni a due variabili indipendenti ?
Prendiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali a tre dimensioni . Diamo poi valori a caso alle variabili indipendenti ed . Otterremo diversi punti del piano . Facciamo questo in modo da ottenere una certa regione (dominio) del piano .
Abbiamo così individuato un insieme di coppie ordinate . Adesso, per ciascuna di queste coppie calcoliamo il valore . Otteniamo quindi, per ogni coppia un numero . Immaginiamo allora che questo numero sia la "quota" di ciascuna coppia . Otterremo allora una superficie dello spazio.
Ogni funzione del tipo , a due variabili numeriche indipendenti, rappresenta così una superficie dello spazio.
04 - Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
Torniamo ad una funzione ad una sola variabile indipendente che rappresenta una curva nel piano .
Consideriamo che il dominio di questa funzione sia l'insieme . Supponiamo che sia un insieme di valori della . Supponiamo che e siano due intervalli (segmenti limitati).
Si hanno allora alcuni casi di particolare importanza.
Una funzione si dice "1-1" od iniettiva se ogni immagine è immagine di un solo elemento del dominio, ovvero se non c'è nessun elemento del codominio che è immagine di più elementi del dominio :
Una funzione si dice "più a 1" se una immagine (o più) è immagine di più elementi del dominio, ovvero se più elementi del dominio hanno la stessa immagine :
Una funzione si dice "su" o suriettiva se il codominio della funzione coincide col secondo insieme (nel nostro caso ) :
Una funzione si dice "1-1 su" o biunivoca se è contemporaneamente 1-1 e su :
05 - Invertibilità di una funzione.
Una relazione può essere sempre invertita e la relazione inversa si ottiene invertendo tutte le coppie ordinate che fanno parte della relazione. Si ha allora che il dominio della relazione diventa il codominio della relazione inversa e viceversa.
Cioè se la coppia appartiene alla relazione , la coppia apparterrà alla relazione inversa .
Graficamente, per "disegnare" la relazione inversa, basta fare l'immagine speculare del grafico della relazione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante :
L'immagine speculare può essere considerata anche come una rotazione di 180° rispetto alla suddetta bisettrice.
Proviamo allora ad invertire una funzione. Supponiamo che la funzione sia più a 1. Facendo l'immagine speculare del suo grafico rispetto alla bisettrice del I e III quadrante si ha però una sorpresa "spiacevole".
la funzione che si ottiene, , non è più una funzione !!! Ad un elemento del dominio corrispondono più elementi del codominio. Cade così uno dei presupposti perché una relazione sia una funzione.
Proviamo adesso ad invertire una funzione biunivoca. In questo caso si ottiene una funzione !!!
Abbiamo così scoperto un teorema della massima importanza in matematica : "una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca".
06 - Altri esempi di funzione.
Seguono alcuni esempi di funzioni numeriche da a , dove e sono indicati nei rispettivi grafici.
Ed ora due esempi di inversione di una funzione.
07 - Funzioni composte.
Consideriamo ora la funzione da a e la funzione da a . I loro grafici cartesiani, per es empio, siano :
Se rappresentiamo le due funzioni con i diagrammi di Venn otteniamo :
(si noti che la rappresentazione con i diagrammi di Venn fornisce un altro interessante e "suggestivo"
modo di visualizzare una funzione).
A questo punto ci chiediamo : è possibile "andare" da a direttamente, senza passare da ? Basta considerare la funzione composta (detta anche funzione di funzione) :
che si ottiene sostituendo alla di il suo valore :
La funzione composta quindi fornisce una "scorciatoia" matematica che lega due funzioni, facendoci andare da direttamente a .
Con i diagrammi di Venn si ha :
Facciamo un esempio numerico di funzione composta. Supponiamo che : corrisponda a
e
corrisponda a .
La funzione composta sarà allora :
che si ottiene semplicemente sostituendo alla di la . Fine.
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