ReRetttete aaffffiinnii ddii RR22 AlAllliineneaammeennttoo PiPiaannii aaffffiinnii ddii RR33 ESERCITAZIONE N.5
2 aprile 2008
ESERCIZIO 1.
Rette affini di R2 a) Trovare delle equazioni parametriche per la retta A di
R2 passante per i punti A(2,-8) e B(-2,5).
b) Esprimere i pti di A nella forma u+S, con S sottospa- zio di R2 , u∈R2.
c) Trovare le equazioni cartesiane di A.
a)
AB = (b1-a1, b2-a2) con A(a1,a2), B(b1,b2)
(def. di vettore applicato in A con pto finale B)
Allora: AB = (-2-2,5-(-8))=(-4,13) P(x,y) ∈ A ⇔AP =tAB
⇔ (x-2,y+8)=t(-4,13)
⎧x −2= −4t
O
A
P B
A
P∈ A ⇔AP =tAB con t∈R (def. di prodotto di un vettore per uno scalare)
⎩⎨⎧
+
−
=
−
=
t y
t x
13 8
4 2
t∈R
b) (x,y)= (2,-8) + (-4t,13t) = (2,-8) +t(-4,13)
Ogni pto P della retta A per A,B si ottiene come somma di u=OB e di un vettore sulla ′giacitura′ S (retta passante per O e parallela alla retta A).
AB vettore direzionale di A A pto di A
u S=<(-4,13)>
B
A
P O
S
A = OB + S
Rappresentazione parametrica di A
c)
⎩⎨⎧
+
−
=
−
=
t y
t x
13 8
4 2
⇔
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
+ = + =
−
y t x t 13
8 4
2
⇔
13
8 4
2 = + +
−x y
⇔
13x+4y+6=0
equazione cartesiana di A
ESERCIZIO 2.
Allineamento di punti Stabilire se i seguenti pti sono allineati e in ciascun caso determinare equazioni parametriche e cartesiane di un insieme affine che contiene i pti:
a) A(2,3,-4), B(3,7,2), C(4,11,8) b) A(1,-1,-10), B(2,4,-5), C(3,8,3).
a)
ρ ⎜⎜⎝⎛21 84 126⎟⎟⎠⎞=1 sì ! A,B,C sono allineati, un insieme affine contenente A,B,C è ad. es. la retta affine passante per A, B :
X= A+tAB con X=(x,y,z), u=A(2,3,-4),AB = (1,4,6)
A : A + S = A+<(1,4,6)> = {(x,y,z)∈R3|
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
−
= +
= +
= t z
t y
t x
6 4
4 3 2
, t∈R}
B C
A
A(a1, a1, a1), B(b1, b2, b3),C(c1, c2, c3) A,B,C allineati ⇔AB =tAC , t∈R
⇔ρ 1
3 3 2 2 1 1
3 3 2 2 1
1 ⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
a c a c a c
a b a b a b
Osservare che:
t= 0 A , t= 1 B , t= 2 C
(un altro modo di verificare che A,B,C sono allineati:
determinare la retta r per A e B e verificare poi che C∈r : metodo molto laborioso !).
Ora determiniamo la forma cartesiana della retta A1 Troviamo prima la forma cartesiana della giacitura della nostra retta r, ossia la retta per l’origine parallela ad A1.
ρ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
6 4 1
z y
x =1 . Quindi con Kronecker :
4 0 1 y =
x e 1x 6z =0
⇒ ⎩⎨⎧
=
−
=
− 0 6
0 4
z x
y
x : rappr. cartes. di S, giacitura di A1
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
= −
1 0 6
0 1
A 4 ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟ −
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
−
4 3 2 1 0 6
0 1
4 = ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 16
5
⇒ ⎩⎨⎧64xx −−zy ==165 è la forma cartesiana di A1.
Precisiamo i calcoli precedenti.
Il teorema seguente spiega la corrispondenza biunivoca sistemi lineari insiemi affini
OA
TEOREMA FONDAMENTALE
Sia dato il sistema lineare AX=b di m eq.ni ed n incognite ,
con A matrice mxn, X=
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
xn
x x
. .
2 1
, b=
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
bm
b b
. . .
2 1
.
• Se il sistema ammette soluzioni, allora l’insieme di tutte le soluzioni è del tipo
u+S, con u soluzione di AX=b, S insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato AX=0.
Ossia le soluzioni di AX=b formano un sottoinsieme affine A di Rn , t.c. u∈ A è soluzione particolare di AX=b, e la giacitura di A è l’insieme delle soluzioni di AX=0.
• E viceversa il sottoinsieme affine A di Rn è l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare AX=b.
Nel ns. caso ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
= −
1 0 6
0 1
A 4 X=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ z y x
,
AX=0 ⇔ ⎟⎟⎟=⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
−
0 0 1
0 6
0 1 4
z y x
⇔ ⎩⎨⎧64xx −−zy ==00
Le soluzioni di AX=0 sono la giacitura di A1.
Ora occorre determinare la matrice b dei termini noti di AX=b, sapendo che una soluzione particolare di AX=b è u = OA =
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− 4 3 2
.
Dunque Au=b ⇔ ⎟⎟⎟=⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟ −
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
−
2 1
4 3 2 1 0 6
0 1 4
b b
⇒ ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
2 1
16 5
b
b colonna dei termini noti di AX=b
⇒ ⎟⎟⎟=⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
−
16 5 1
0 6
0 1 4
z y x
⇒
⎩⎨
⎧
=
−
=
− 16 6
5 4
z x
y
x sistema AX=b
Ritrovato e spiegato! questa è la forma cartesiana di A1
b) A(1,-1,-10), B(2,4,-5), C(3,8,3).
AB = (1,5,5), AC = (2,9,13)
ρ⎜⎜⎝⎛21 59 135⎟⎟⎠⎞=2 (AB ,AC sono L.I. ) ⇒ A,B,C non sono allineati
A prescindere dai valori numerici delle coordinate dei pti dati, la situazione è quella della figura:
- il vettore parallelo ad AB e passante per l’origine è B
O ′ (=AB in termini di equipollenza: stesse componenti) - il vettore parallelo ad AC e passante per l’origine è
C
O ′ (=AC )
• u= OB′ , v= OC′ generano il piano S=<u,v>
• il piano affine A2 passante per A,B,C è {OA+S}
C′
B′
O
C
B A
♦ Per ottenere una sua rappr. param. si pone:
(x,y,z)=(1,-1,-10)+ r(1,5,5)+t(2,9,13)
⇒ A1:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+ +
−
=
+ +
−
= + +
=
t r z
t r y
t r x
13 5 10
9 5 1
2 1
al variare di r,t in R
♦ Per ottenere la sua rappr. cartesiana determi- niamo prima S : 0
13 9 2
5 5
1 =
z y x
⇒ S: 20x-3y-z=0
⇔ (20 -3 -1) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ z y x
= 0
Ora calcoliamo ( come in a))
(20 -3 -1) ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
− 10
1 1
= 20+3+10=33
⇒ Il piano affine A2 passante per A,B,C ha la rappresentazione cartesiana :
20x-3y-z=33
