(a) Provare che |Q( √

ESERCIZI TEORIA DI GALOIS FOGLIO 2

(1) Sia α = √ 2 + √

3.

(a) Provare che |Q( √

2) : Q| = |Q( √

3) : Q| = 2 (estensioni quadratiche).

(b) Dedurre che |Q(α) : Q||4.

(c) Provare che tale grado vale esattamente 4.

(d) Dedurre che Q( √ 2, √

3) = Q(α) (estensione semplice).

(e) Calcolare il polinomio minimo di α su Q e su Q( √ 2).

(2) Sia p un primo e F = F p il campo con p elementi e K = F p

. (a) Mostrare che ℘ : a 7→ a ^p − a definisce un mappa F -lineare da

K in s´ e.

(b) Determinare ker ℘ e dedurre che ℘ non ` e suriettiva.

(c) Mostrare che f := x ^p − x + 1 `e irriducibile in F [x]

(d) Provare f ammette una radice α ∈ K e che f (x) = Q

i∈F (x − α − i) in K[x].

(3) Sia F = F q , q = p ^a , p primo e φ l’automorfismo di Frobenius f ^φ = f ^p (a) Provare che φ si estende in modo unico ad un automorfismo di

F [x] imponendo x ^φ = x.

(b) Mostrare che ( Q

u∈U (x − u)) ^φ = Q

u∈U (x − u ^φ ).

(c) Dedurre che m(x) = Q

0≤i≤a−1 (x − u ^p

) coincide con m(x) ^φ e quindi m(x) ∈ F p [x].

(d) Dedurre che Aut(F ) = hφi.

(4) Trovare due estensioni L _i /F tali che |L ₁ L ₂ : F | < |L ₁ : F ||L ₂ : F | (possibilmente distinte).

(5) Provare che Q( √

2) e Q( √

3) non sono isomorfi come campi ma lo sono come Q-spazi vettoriali.

(6) Con l’ausilio di Magma determinare il reticolo dei sottocampi di K = Q(α 1 , . . . , α ₃ ), dove x ³ −2 = Q

i (x−α _i ). Determinare A =Aut(K) e il reticolo dei suoi sottogruppi. Provare che tutti i sottocampi e sottogruppi sono chiusi e costruire esplicitamente la corrispondenza di Galois tra essi.

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Andrea Previtali. c

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