Algebra 2
Esercizi 8 - 4 dicembre 2020
Qui trovate 12 esercizi, divisi in tre categorie. Vi chiedo di formare tra di voi dei gruppetti di 3, 4 persone. Ogni gruppo deve scegliere e risolvere almeno un esercizio nella categoria 1, almeno uno nella categoria 2 e almeno 1 nella categoria 3. Nel corso della lezione di luned`ı 14 dicembre chiedo ad ogni gruppo di studenti di presentare e discutere le soluzioni.
Caterogia 1
1. Provare che l’ideale (x + 1, y + 2) ⊆ Z7[x, y] `e un ideale massimale.
2. Provare che l’ideale (x2+ 4, y2+ 4) ⊆ Q[x, y] non `e un ideale massimale.
Trovare tutti gli ideali massimali che lo congengono.
3. Provare che l’ideale (x + 1, y2+ 3) ⊆ Q[x, y, z] `e un ideale primo ma non massimale.
4. Provare che Q[√
3] ⊆ R `e un campo. Osservare che gli elementi di Q[√ 3]
sono tutti della forma a + b√
3 (con a, b ∈ Q). Dato allora a + b√ 3 6= 0, trovare una formula per il suo inverso.
Categoria 2
1. Trovare il polinomio minimo su Q dei seguenti numeri reali:
q 5 + 2√
5, q
11 + 6√ 2.
2. Provare che vale:
Q h√
2,√ 3i
= Qh√
2 +√ 3i
.
3. Quali sono i possibili gradi dei polinomi minimi su R di elementi di C?
4. Fissato n ∈ N \ {0}, trovare un numero reale an che ha polinomio minimo su Q di grado n.
Categoria 3
1. Si supponga che il polinomio minimo su Q di un numero complesso a sia f (x) ∈ Q[x]. Sia poi b un’altra radice in C dell’equazione f (x) = 0. Qual
`e il polinomio minimo su Q di b?
2. Trovare il polinomio minimo dip 2 +√
3 sul campo Q[√ 3].
3. Sia K = Z3[t]/(t2+ 1). Provare che K `e un campo che contiene come sottocampo Z3. Sia a = [t + 1] ∈ K. Trovare il polinomio minimo di a su Z3.
4. Sia K un campo e L il campo delle frazioni dell’anello di polinomi K[t].
Provare che t `e trascendente su K.
