ALGEBRA 1 — 2009/2010 prof. Elisabetta Strickland Secondo esonero — 22 Gennaio 2010
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N.B.: compilare il compito in modo sintetico ma esauriente, spiegando chiaramente quanto si fa, e scrivendo in corsivo con grafia leggibile.
· · · · ∗ · · · ·
[1] — Si consideri l’insieme A :=
½µ0 a 0 b
¶ ¯¯
¯¯ a, b ∈ R
¾
(a) Provare che A `e un sottoanello di M2(R) . (b) Sia I := ©
M ∈ A¯
¯ M2 = 0ª
. Provare che I `e un ideale di A . (c) Provare che A±
I `e isomorfo ad R .
[2] — Si provi che la corrispondenza che in un gruppo G associa ad ogni elemento il suo inverso `e un automorfismo se e soltanto se G `e abeliano.
[3] — Si provi che il gruppo moltiplicativo delle matrici 2 × 2 non singolari a coefficienti in Z2 `e isomorfo al gruppo S3 delle permutazioni su tre elementi.
[4] — Dimostrare che se H ≤ G e se per un certo a ∈ G si ha che ar, as ∈ H con M.C.D.(r, s) = 1 , allora a ∈ H .
