Appunti del corso Processi stocastici

Appunti del corso Processi stocastici

Marco Frego, Marco Pizzato,

Luca Tasin,

Luciano Tubaro

Indice

1 Introduzione ai Processi Stocastici 5

1 . . . 5

2 . . . 5

3 . . . 5

4 . . . 5

5 . . . 5

2 Processi Stocastici 7 1 Processi Gaussiani . . . 7

2 Processi di Markov . . . 8

3 Relazione di Chapman-Kolmogorov per Processi di Markov . . . 9

4 Processo di Wiener . . . 9

5 Brownian Bridge . . . 9

6 Martingale . . . 9

3 Equazioni Differeziali Stocastiche 11 1 . . . 11

2 . . . 11

3 . . . 11

4 Semigruppo e Integrale 13 1 . . . 13

2 . . . 13

3 . . . 13

4 . . . 13

Capitolo 1

Introduzione ai Processi Stocastici

1

2

3

4

5

Capitolo 2

Processi Stocastici

1 Processi Gaussiani

I Processi Stocastici Gaussiani sono caratterizzati dalla propriet`a che tutte le misure finito dimensionali µ ∈M sono distribuzioni normali, in cui `e tradizione indicare la media con la funzione m(t) := E(Xt) e la funzione di covarianza con ϕ(s, t) := E((Xt− m(t))(X_s− m(s))). Dunque secondo questa definizione, l’n-esima misura finito dimensionale si scrive cos`ı:

µ_t1,...,tn(B) :=

Z

B

 1

√2π

n

1

pdet(A)e^{−12hA−1(x−mt1,...,tn),x−mt1,...,tni}dx dove x ∈ Rⁿ, m_t1,...,tn = (m(t₁), . . . , m(t_n)), A = a_ij = ϕ(t_i, t_j) ∀i, j = 1 . . . n.

La matrice di covarianza A deve avere rango massimo in questa notazione, altrimenti non risulterebbe invertibile. Per evitare questo problema si preferisce usare la funzione caratteristica

φ_t1,...,tn(z) = Z

Rⁿ

e^{i hz,xi µt1,...,tn}dx = e^{i hmt1,...,tn,zi−12hAz,zi}

In questa maniera non si ha pi`u la dipendenza da A⁻¹ e non serve dunque richiedere che sia non degenere.

Esempio 1. Calcolare E((Xt− X_s)²).

Soluzione. Risulta

E((X^t− Xs)²) = ϕ(t, t) − 2ϕ(s, t) + (m(t) − m(s))². Infatti

(X_t− X_s)² = (X_t− m(t) + m(t) − (X_s− m(s)) − m(s))² chiamando Y_t = X_t− m(t), Y_s= X_s− m(s) e sostituendo si ricava

(Y_t− Y_s+ m(t) − m(s))² = (Y_t− Y_s)²+ 2(m(t) − m(s))(Y_t− Y_s) + (m(t) − m(s))² Ora, poich`e

E(Y^t− Ys) = E(Y^t) − E(Y^s) = m(t) − m(t) − m(s) + m(s) = 0

rimane solamente

E((Xt− X_s)²) = E((Yt− Y_s)²) + 0 + (m(t) − m(s))² =

E(Yt²− 2YtYs+ X_s²) + (m(t) − m(s))² = ϕ(t, t) − 2ϕ(s, t) + (m(t) − m(s))².

2 Processi di Markov

Definizione 2.1. Un processo di Markov `e un processo stocastico (X<sub>t</sub>) e una famiglia di probabilit`a di transizione p(s, x; t, I) tali che siano verificate le seguenti condizioni:

1. (s, x, t) → p(s, x; t, I) sia una funzione misurabile, 2. I → p(s, x; t, I) sia una misura di probabilit`a, 3. valga la seguente relazione di Chapman-Kolmogorov

p(s, x; t, I) = Z

R

p(s, x; r, dz) p(r, z; t, I),

4. p(s, x; s, I) = δ_x(I)

5. E (1I(X_t)|Fs) = p(s, X_s; t, I) (= E (1I(X_t)|X_s)), ove Ft= σ{X_u : u ≤ t}.

img07.pdf

Figura 2.1: Propriet`a di transizione

L’ultima propriet`a della definizione `e sostanzialmente equivalente alla nota condizione P(Xt ∈ I|X_s = x, X_s1 = x₁, . . . , X_sn = x_n) = P(Xt ∈ I|X_s = x) che il lettore trover`a pi`u consueta.

5. E (1I(X_t)|Fs) = P (Xt ∈ I)|Fs) = P (Xt∈ I)|X_s) = p(s, X_s; t, I) = E (1I(X_t)|X_s)

Si pu`o inoltre notare come nella definizione di processo di Markov non sia considerata la famigliaM di misure finito-dimensionali, che caratterizza (per il primo teorema di Kol- mogorov) il processo stocastico. Vediamo quindi, a titolo esplicativo, come sia possibile sfruttare la conoscenza delle probabilit`a di transizione per ricavare M .

µt1,t2,...,tn(I1× · · · × In) =

Processi stocastici 9

= P ((Xt1, . . . , X_tn) ∈ I₁× · · · × I_n)

= P (Xt1, . . . , X_tn−1) ∈ I₁× · · · × I_n−1, X_tn ∈ I_n

=

Z

I1×···×I_n−1

P(X^tn ∈ I_n|X_tn−1 = x_n−1, . . . , X_t1 = x₁)P(Xt1 ∈ dx₁, . . . , X_tn−1 ∈ dx_n−1)

=

Z

I1×···×In−1

p(t_n−1, x_n−1; t_n, I_n)P(Xt1 ∈ dx₁, . . . , X_tn−1 ∈ dx_n−1)

= Z

I1×···×I_n−1

p(t_n−1, x_n−1; t_n, I_n)p(t_n−2, x_n−2; t_n−1, dx_n−1)P(Xt1 ∈ dx₁, . . . , X_tn−2 ∈ dx_n−2)

Reiterando lo stesso procedimento otteniamo alla fine la seguente espressione:

µt1,t2,...,tn(I1× · · · × In) =

= Z

R

Z

I

P(X⁰ ∈ dx₀)p(0, x₀; t₁, dx₁)p(t₁, x₁; t₂, dx₂) . . . p(t_n−1, x_n−1; t_n, I_n)

= Z

R

Z

I×In

P(X0 ∈ dx₀)p(0, x₀; t₁, dx₁)p(t₁, x₁; t₂, dx₂) . . . p(t_n−1, x_n−1; t_n, dx_n) ove I = I1× · · · × In−1 e P(X⁰ ∈ dx0) `e la distribuzione iniziale.

3 Relazione di Chapman-Kolmogorov per Processi di Markov

4 Processo di Wiener

5 Brownian Bridge

Capitolo 3

Equazioni Differeziali Stocastiche

1

2

3

Capitolo 4

Semigruppo e Integrale

1

2

3

4

Bibliografia

[1] P. Baldi, Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni, Pitagora Editrice

[2] I. Karatzas, S.E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer Verlag

[3] W. Feller, Introduction to probability theory and its applications, vol.1, Wiley

[4] W. Feller, Introduction to probability theory and its applications, vol.2, Wiley

funzione di covarianza, 7 processo stocastico

di Markov, 8 gaussiano, 7

relazione di Chapman - Kolmogorov, 8

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