Processi stocastici

(1)

Processi stocastici

1

(2)

Processi stocastici

Anno Accademico 2017/2018

1

(3)

Processi stocastici

Anno Accademico 2017/2018

1.

1

(4)

1 Qualche richiamo di teoria della misura

2

(5)

(1.1) Definizione Sia Ω un insieme. Diciamo che una famiglia U di sottoinsiemi di Ω `e una σ−algebra in Ω, se le seguenti propriet`a sono soddisfatte:

(a) ∅ ∈ U;

(b) per ogni A ∈ U si ha Ω \ A ∈ U;

(c) se (A_h) `e una successione in U, risulta

∞

S

h=0

A_h ∈ U.

2

(6)

(a) ∅ ∈ U;

∞

S

h=0

A_h ∈ U.

Un sottoinsieme A di Ω si dice U−misurabile (o, pi`u semplicemente, misurabile), se A ∈ U.

2

(7)

(a) ∅ ∈ U;

∞

S

h=0

A_h ∈ U.

Un sottoinsieme A di Ω si dice U−misurabile (o, pi`u semplicemente, misurabile), se A ∈ U.

(1.2) Definizione Uno spazio misurabile è una coppia (Ω, U), in cui Ω è un insieme e U è una σ−algebra in Ω.

2

(8)

(1.3) Proposizione Sia (Ω, U) uno spazio misurabile.

3

(9)

(1.3) Proposizione Sia (Ω, U) uno spazio misurabile.

Valgono allora i seguenti fatti:

(a) Ω ∈ U;

(b) se (A_h) `e una successione in U, risulta

∞

T

h=0

A_h ∈ U;

(c) se {A_h : 0 ≤ h ≤ k} `e una famiglia finita con A_h ∈ U per ogni h = 0, . . . , k, si ha

k

[

h=0

A_h ∈ U ,

k

\

h=0

A_h ∈ U ; (d) se A₁, A₂ ∈ U, si ha A₂ \ A₁ ∈ U.

3

(10)

(1.4) Proposizione Sia U_j : j ∈ J una collezione non vuota di σ−algebre in un insieme Ω.

4

(11)

Allora T

j∈J

U_j `e una σ−algebra in Ω.

4

(12)

Allora T

j∈J

(1.5) Definizione Sia F una famiglia di sottoinsiemi di un insieme Ω. Poiché P (Ω) è una σ−algebra in Ω, la collezione di tutte le σ−algebre in Ω contenenti F non è vuota. L’intersezione di ta- li σ−algebre si chiama σ−algebra generata da F. Si tratta della più piccola σ−algebra in Ω contenente F.

4

(13)

Allora T

j∈J

(1.6) Definizione Sia Y uno spazio metrico. Denotiamo con B (Y ) la σ−algebra in Y generata dalla famiglia degli aperti di Y . Gli elementi di B (Y ) si chiamano sottoinsiemi boreliani di Y .

4

(14)

Allora T

j∈J

(1.6) Definizione Sia Y uno spazio metrico. Denotiamo con B (Y ) la σ−algebra in Y generata dalla famiglia degli aperti di Y . Gli elementi di B (Y ) si chiamano sottoinsiemi boreliani di Y .

Evidentemente ogni aperto ed ogni chiuso in Y `e un boreliano in Y . 4

(15)

(1.7) Definizione Siano U₁ e U₂ due σ−algebre in Ω₁ e Ω₂, rispettivamente.

Si denota con U₁ ⊗ U₂ la σ−algebra in Ω₁ × Ω₂ generata dai sottoinsiemi della forma A₁ × A₂ con A₁ ∈ U₁ e A₂ ∈ U₂.

5

(16)

(1.8) Definizione Sia (Ω, U) uno spazio misurabile. Diciamo che una funzione µ : U → [0, +∞] `e una misura su U, se valgono i seguenti fatti:

(a) µ(∅) = 0;

(b) se (A_h) `e una successione in U costituita da insiemi a due a due disgiunti, si ha

µ





∞

[

h=0

A_h



 =

∞

X

h=0

µ(A_h) .

6

(17)

(1.8) Definizione Sia (Ω, U) uno spazio misurabile. Diciamo che una funzione µ : U → [0, +∞] `e una misura su U, se valgono i seguenti fatti:

(a) µ(∅) = 0;

(b) se (A_h) `e una successione in U costituita da insiemi a due a due disgiunti, si ha

µ





∞

[

h=0

A_h



 =

∞

X

h=0

µ(A_h) .

Combinando la (a) e la (b), si deduce che, per ogni famiglia finita {A_h : 0 ≤ h ≤ k} ⊆ U costituita da insiemi a due a due disgiunti, si ha

µ





k

[

h=0

A_h



 =

k

X

h=0

µ(A_h) . 6

(18)

(1.9) Definizione Uno spazio di misura (o spazio mensurale) `e una terna (Ω, U, µ), in cui Ω `e un insieme, U una σ−algebra in Ω e µ una misura su U.

7

(19)

(1.10) Proposizione Sia (Ω, U, µ) uno spazio di misura.

8

(20)

(1.10) Proposizione Sia (Ω, U, µ) uno spazio di misura.

(a) se A₁, A₂ ∈ U ed A₁ ⊆ A₂, si ha µ(A₁) ≤ µ(A₂); se in pi`u µ(A₁) < +∞, risulta

µ(A₂ \ A₁) = µ(A₂) − µ(A₁) ; (b) se (A_h) `e una successione in U, si ha

µ





∞

[

h=0

A_h



 ≤

∞

X

h=0

µ(A_h) ;

(c) se (A_h) `e una successione crescente in U, si ha µ





∞

[

h=0

A_h



 = lim

h µ(A_h) ; 8

(21)

(d) se (A_h) `e una successione decrescente in U con limh µ(A_h) < +∞ ,

si ha

µ





∞

\

h=0

A_h



 = lim

h µ(A_h) .

9

(22)

(1.11) Definizione Siano (Ω, U) uno spazio misurabile e Y uno spazio metrico. Un’applicazione f : Ω → Y si dice U−misurabile (o, pi`u semplicemente, misurabile), se per ogni aperto A in Y l’insieme f⁻¹(A) `e U−misurabile.

10

(23)

(1.11) Definizione Siano (Ω, U) uno spazio misurabile e Y uno spazio metrico. Un’applicazione f : Ω → Y si dice U−misurabile (o, pi`u semplicemente, misurabile), se per ogni aperto A in Y l’insieme f⁻¹(A) `e U−misurabile.

(1.12) Proposizione Sono fatti equivalenti:

(a) f `e U−misurabile;

(b) per ogni chiuso C in Y l’insieme f⁻¹(C) `e U−misurabile;

(c) per ogni boreliano B in Y l’insieme f⁻¹(B) `e U−misurabile.

10

(24)

(1.13) Proposizione Sia f : Ω → R una funzione.

11

(25)

Allora sono fatti equivalenti:

(b) per ogni c ∈ R l’insieme f⁻¹(]c, +∞]) `e U−misurabile;

(c) per ogni c ∈ R l’insieme f⁻¹([c, +∞]) `e U−misurabile;

(d) per ogni c ∈ R l’insieme f⁻¹([−∞, c[) `e U−misurabile;

(e) per ogni c ∈ R l’insieme f⁻¹([−∞, c]) `e U−misurabile.

11

(26)

(1.14) Corollario Sia f : Ω → R una funzione U−misurabile.

11

(27)

(1.14) Corollario Sia f : Ω → R una funzione U−misurabile.

Allora per ogni a, b ∈ R gli insiemi f⁻¹(]a, b[), f⁻¹([a, b]), f⁻¹(]a, b]) e f⁻¹([a, b[) sono U−misurabili.

11

(28)

(1.15) Definizione Siano Y₁ ed Y₂ due spazi metrici. Un’applicazione g : Y₁ → Y₂ si dice boreliana, se `e B (Y₁) −misurabile.

12

(29)

(1.16) Teorema Siano Y₁, Y₂ due spazi metrici e sia g : Y₁ → Y₂ un’applicazione continua.

12

(30)

Allora g `e boreliana.

12

(31)

(1.17) Teorema Siano Y₁, Y₂ due spazi metrici, f : Ω → Y₁ un’applicazione U−misurabile e g : Y₁ → Y₂ un’applicazione boreliana.

12

(32)

(1.17) Teorema Siano Y₁, Y₂ due spazi metrici, f : Ω → Y₁ un’applicazione U−misurabile e g : Y₁ → Y₂ un’applicazione boreliana.

Allora (g ◦ f ) `e U−misurabile.

12

(33)

(1.18) Proposizione Valgono i seguenti fatti:

13

(34)

(a) se B ⊆ Rⁿ `e boreliano, allora B `e Lⁿ−misurabile;

13

(35)

(b) se f : Rⁿ → R `e boreliana, allora f `e Lⁿ−misurabile;

13

(36)

(c) se f : R^m × Rⁿ → R `e boreliana, allora la funzione R^m −→ R

x 7→ f (x, y)

`e boreliana per ogni y ∈ Rⁿ e la funzione Rⁿ −→ R

y 7→ f (x, y)

`e boreliana per ogni x ∈ R^m.

13

(37)

x 7→ f (x, y)

y 7→ f (x, y)

(1.19) Teorema Siano Y uno spazio metrico e f : Ω → Y un’applicazione costante.

13

(38)

x 7→ f (x, y)

y 7→ f (x, y)

(1.19) Teorema Siano Y uno spazio metrico e f : Ω → Y un’applicazione costante.

Allora f `e U−misurabile.

13

(39)

(1.20) Definizione Sia (f_h) una successione di funzioni da Ω in R.

Definiamo le funzioni sup

h

f_h, inf

h f_h, lim sup

h

f_h, lim inf

h f_h da Ω in R ponendo per ogni ω ∈ Ω:

sup

h

f_h

(ω) := sup

h

f_h(ω) ,

infh f_h

(ω) := inf

h f_h(ω) ,

lim sup

h

f_h

(ω) := lim sup

h

f_h(ω) ,

lim inf

h f_h

(ω) := lim inf

h f_h(ω) .

14

(40)

h

f_h, inf

h f_h, lim sup

h

f_h, lim inf

sup

h

f_h

(ω) := sup

h

f_h(ω) ,

infh f_h

(ω) := inf

h f_h(ω) ,

lim sup

h

f_h

(ω) := lim sup

h

f_h(ω) ,

lim inf

h f_h

(ω) := lim inf

h f_h(ω) .

(1.21) Teorema Sia (f_h) una successione di funzioni U−misurabili da Ω in R.

14

(41)

h

f_h, inf

h f_h, lim sup

h

f_h, lim inf

sup

h

f_h

(ω) := sup

h

f_h(ω) ,

infh f_h

(ω) := inf

h f_h(ω) ,

lim sup

h

f_h

(ω) := lim sup

h

f_h(ω) ,

lim inf

h f_h

(ω) := lim inf

h f_h(ω) .

(1.21) Teorema Sia (f_h) una successione di funzioni U−misurabili da Ω in R.

Allora le funzioni sup

h

f_h, inf

h f_h, lim sup

h

f_h e lim inf

h f_h sono U−misurabili.

14

(42)

(1.22) Teorema Siano f, g : Ω → R due funzioni U−misurabili.

14

(43)

(1.22) Teorema Siano f, g : Ω → R due funzioni U−misurabili.

Allora valgono i seguenti fatti:

(a) le funzioni max{f, g} e min{f, g} sono U−misurabili;

(b) esiste una funzione U−misurabile s : Ω → R tale che s(ω) = f (ω) + g(ω)

in ogni ω ∈ Ω in cui la somma f (ω) + g(ω) `e definita;

(c) la funzione f g `e U−misurabile;

(d) le funzioni f⁺ := max{f, 0} e f⁻ := max{−f, 0} sono U−misurabili;

(e) la funzione |f | `e U−misurabile.

14

(44)

(1.23) Teorema Siano Y uno spazio normato su K di dimensione finita, {e₁, . . . , e_n} una base in Y , f : Ω → Y un’applicazione e f⁽¹⁾, . . . , f⁽ⁿ⁾ le componenti di f rispetto a tale base.

15

(45)

(b) ogni componente f^(j) : Ω → K `e U−misurabile.

15

(46)

(1.24) Corollario Sia f : Ω → C una funzione.

15

(47)

Allora f `e U−misurabile se e solo se Re f ed Im f sono entrambe U−misurabili.

15

(48)

(1.25) Corollario Siano Y uno spazio normato su K di dimensione finita e λ : Ω → K e f, g : Ω → Y delle applicazioni U−misurabili.

15

(49)

(1.25) Corollario Siano Y uno spazio normato su K di dimensione finita e λ : Ω → K e f, g : Ω → Y delle applicazioni U−misurabili.

Allora le applicazioni (f + g), λf e kf k sono U−misurabili.

15

(50)

(1.26) Corollario Siano Y uno spazio normato su K di dimensione finita e (f_h) una successione di applicazioni U−misurabili da Ω in Y . Supponiamo che la successione (f_h) converga puntualmente ad un’applicazione f : Ω → Y .

16

(51)

16

(52)

(1.27) Definizione Sia A ⊆ Ω. Si chiama funzione indicatrice di A la funzione χ_A : Ω → R definita da

χ_A(ω) =

( 1 se ω ∈ A,

0 se ω ∈ Ω \ A.

16

(53)

(1.27) Definizione Sia A ⊆ Ω. Si chiama funzione indicatrice di A la funzione χ_A : Ω → R definita da

χ_A(ω) =

( 1 se ω ∈ A,

0 se ω ∈ Ω \ A.

(1.28) Proposizione Sia A ⊆ Ω. Allora la funzione χ_A `e U−misurabile se e solo se l’insieme A `e U−misurabile.

16

(54)

(1.29) Definizione Siano (Ω, U, µ) uno spazio di misura e Y uno spazio normato su K di dimensione finita.

17

(55)

Un’applicazione f : Ω → Y si dice µ−sommabile, se `e µ−misurabile e

Z

Ω

kf (ω)k dµ(ω) < +∞ .

17

(56)

Z

Ω

kf (ω)k dµ(ω) < +∞ . Se f : Ω → Y `e µ−sommabile, risulta definito

Z

Ω

f (ω) dµ(ω) = Z

Ω

f dµ ∈ Y .

17

(57)

Z

Ω

kf (ω)k dµ(ω) < +∞ . Se f : Ω → Y `e µ−sommabile, risulta definito

Z

Ω

f (ω) dµ(ω) = Z

Ω

f dµ ∈ Y .

Se inoltre {e₁, . . . , e_n} `e una base in Y e f⁽¹⁾, . . . , f⁽ⁿ⁾ sono le componenti di f rispetto a tale base, risulta

Z

Ω

f dµ =

Z

Ω

f⁽¹⁾ dµ

e₁ + · · · +

Z

Ω

f⁽ⁿ⁾ dµ

e_n .

17

(58)

2 Richiami di calcolo delle probabilit`a

18

(59)

(2.1) Definizione Uno spazio di probabilit`a `e uno spazio di misura (Ω, U, P ) tale che P (Ω) = 1.

18

(60)

L’insieme Ω si chiama spazio campionario, mentre gli elementi ω di Ω si chiamano eventi elementari. Gli elementi A di U si chiamano eventi, mentre P (A) `e la probabilit`a dell’evento A.

18

(61)

Un evento A ∈ U con P (A) = 0 si dice quasi impossibile, mentre un evento A ∈ U con P (A) = 1 si dice quasi certo.

18

(62)

Un evento A ∈ U con P (A) = 0 si dice quasi impossibile, mentre un evento A ∈ U con P (A) = 1 si dice quasi certo.

Da ora in poi supponiamo che sia dato uno spazio di probabilit`a (Ω, U, P ).

18

(63)

(2.2) Osservazione Valgono i seguenti fatti:

(a) se A₁, A₂ ∈ U ed A₁ ⊆ A₂, risulta

P (A₂ \ A₁) = P (A₂) − P (A₁) ; (b) se (A_h) `e una successione decrescente in U, si ha

P





∞

\

h=0

A_h



 = lim

h P (A_h) .

19

(64)

(2.2) Osservazione Valgono i seguenti fatti:

(a) se A₁, A₂ ∈ U ed A₁ ⊆ A₂, risulta

P (A₂ \ A₁) = P (A₂) − P (A₁) ; (b) se (A_h) `e una successione decrescente in U, si ha

P





∞

\

h=0

A_h



 = lim

h P (A_h) .

(2.3) Definizione Diciamo che X `e una variabile aleatoria (n−di- mensionale), se X `e un’applicazione U−misurabile da Ω in Rⁿ.

19

(65)

(2.4) Definizione Sia X : Ω → Rⁿ una variabile aleatoria P −sommabile.

20

(66)

Si chiama valore atteso di X, e si denota con E(X), l’elemento di Rⁿ E(X) =

Z

Ω

X(ω) dP (ω) = Z

Ω

X dP .

20

(67)

Z

Ω

X(ω) dP (ω) = Z

Ω

X dP .

Si chiama inoltre varianza di X, e si denota con V (X), l’elemento di [0, +∞]

V (X) = Z

Ω

|X(ω) − E(X)|² dP (ω) = Z

Ω

|X − E(X)|² dP .

20

(68)

Z

Ω

X(ω) dP (ω) = Z

Ω

X dP .

Si chiama inoltre varianza di X, e si denota con V (X), l’elemento di [0, +∞]

V (X) = Z

Ω

|X(ω) − E(X)|² dP (ω) = Z

Ω

|X − E(X)|² dP . Risulta

V (X) = Z

Ω

|X|² dP − |E(X)|² .

20

(69)

(2.5) Definizione Sia X : Ω → Rⁿ una variabile aleatoria.

21

(70)

Definiamo una funzione

F_X : Rⁿ → [0, 1]

ponendo

F_X(x) = P

n

ω ∈ Ω : X⁽¹⁾(ω) ≤ x⁽¹⁾, . . . , X⁽ⁿ⁾(ω) ≤ x⁽ⁿ⁾ o

.

21

(71)

Definiamo una funzione

F_X : Rⁿ → [0, 1]

ponendo

F_X(x) = P

n

ω ∈ Ω : X⁽¹⁾(ω) ≤ x⁽¹⁾, . . . , X⁽ⁿ⁾(ω) ≤ x⁽ⁿ⁾ o

. La funzione F_X si chiama funzione di ripartizione di X.

21

(72)

Se una funzione boreliana e Lⁿ−sommabile f_X : Rⁿ → [0, +∞[

soddisfa

F_X(x) = Z

]−∞,x⁽¹⁾]×···×]−∞,x⁽ⁿ⁾]

f_X dLⁿ per ogni x ∈ Rⁿ, diciamo che f_X `e una densit`a per X.

22

(73)

soddisfa

F_X(x) = Z

]−∞,x⁽¹⁾]×···×]−∞,x⁽ⁿ⁾]

Risulta

Z

Rⁿ

f_X dLⁿ = 1 .

22

(74)

soddisfa

F_X(x) = Z

]−∞,x⁽¹⁾]×···×]−∞,x⁽ⁿ⁾]

Risulta

Z

Rⁿ

f_X dLⁿ = 1 . Se

f_X, ˆf_X : Rⁿ → [0, +∞[

sono due densit`a per X, si ha f_X(x) = ˆf_X(x) per Lⁿ−q.o. x ∈ Rⁿ.

22

(75)

(2.6) Teorema Sia X : Ω → Rⁿ una variabile aleatoria che ammette densit`a f_X.

23

(76)

(a) per ogni g : Rⁿ → R boreliana, risulta che g ◦ X `e P −sommabile se e solo se gf_X `e Lⁿ−sommabile, nel qual caso

E(g ◦ X) = Z

Rⁿ

gf_X dLⁿ ;

23

(77)

(a) per ogni g : Rⁿ → R boreliana, risulta che g ◦ X `e P −sommabile se e solo se gf_X `e Lⁿ−sommabile, nel qual caso

E(g ◦ X) = Z

Rⁿ

gf_X dLⁿ ; in particolare, risulta

P ({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B}) = Z

B

f_X dLⁿ per ogni boreliano B in Rⁿ;

23

(78)

(b) X `e P −sommabile se e solo se

Rⁿ −→ Rⁿ x 7→ f_X(x)x

`e Lⁿ−sommabile, nel qual caso E(X) =

Z

Rⁿ

f_X(x)x dLⁿ(x) ;

24

(79)

(b) X `e P −sommabile se e solo se

Rⁿ −→ Rⁿ x 7→ f_X(x)x

`e Lⁿ−sommabile, nel qual caso E(X) =

Z

Rⁿ

f_X(x)x dLⁿ(x) ; (c) se X `e P −sommabile, risulta

V (X) = Z

Rⁿ

|x − E(X)|²f_X(x) dLⁿ(x) .

24

(80)

(2.7) Definizione Siano m ∈ R e σ > 0. Una variabile aleatoria X : Ω → R si dice normale di tipo N (m, σ²), se ammette densità e tale densità è la funzione

f_X(x) =

exp

−^|x−m|²

2σ²

√

2πσ² .

25

(81)

f_X(x) =

exp

−^|x−m|²

2σ²

√

2πσ² .

Se X : Ω → R `e una variabile aleatoria normale di tipo N (m, σ²), risulta E(X) = m , V (X) = σ² .

25

(82)

f_X(x) =

exp

−^|x−m|²

2σ²

√

2πσ² .

Se X : Ω → R `e una variabile aleatoria normale di tipo N (m, σ²), risulta E(X) = m , V (X) = σ² .

(2.8) Definizione Siano m ∈ Rⁿ e C una matrice n × n simme- trica e definita positiva. Una variabile aleatoria X : Ω → Rⁿ si dice normale di tipo N (m, C), se ammette densità e tale densità è la funzione

f_X(x) =

exp

−¹₂ (x − m) · [C⁻¹(x − m)]

p(2π)ⁿ det C .

25

(83)

(2.9) Definizione Degli eventi A₁, . . . , A_m in Ω si dicono indipendenti, se

P (A_j₁ ∩ · · · ∩ A_j

k) = P (A_j₁) · · · P (A_j

k) ogniqualvolta 1 ≤ j₁ < · · · < j_k ≤ m.

26

(84)

P (A_j₁ ∩ · · · ∩ A_j

k) = P (A_j₁) · · · P (A_j

(2.10) Definizione Delle variabili aleatorie X₁, . . . , X_m : Ω → Rⁿ si dicono indipendenti, se

P ({ω ∈ Ω : X₁(ω) ∈ B₁ , . . . , X_m(ω) ∈ B_m}) =

= P ({ω ∈ Ω : X₁(ω) ∈ B₁}) · · · P ({ω ∈ Ω : X_m(ω) ∈ B_m}) comunque si scelgano B₁, . . . , B_m boreliani in Rⁿ.

26

(85)

P (A_j₁ ∩ · · · ∩ A_j

k) = P (A_j₁) · · · P (A_j

(2.10) Definizione Delle variabili aleatorie X₁, . . . , X_m : Ω → Rⁿ si dicono indipendenti, se

P ({ω ∈ Ω : X₁(ω) ∈ B₁ , . . . , X_m(ω) ∈ B_m}) =

= P ({ω ∈ Ω : X₁(ω) ∈ B₁}) · · · P ({ω ∈ Ω : X_m(ω) ∈ B_m}) comunque si scelgano B₁, . . . , B_m boreliani in Rⁿ.

(2.11) Definizione Una successione (X_m) di variabili aleatorie da Ω in Rⁿ si dice indipendente, se X₀, . . . , X_m sono indipendenti per ogni m ∈ N.

26

(86)

(2.12) Definizione Una successione (U_m) di σ−algebre in Ω con U_m ⊆ U si dice indipendente, se risulta

P (A_j₁ ∩ · · · ∩ A_j

k) = P (A_j₁) · · · P (A_j

k) ogniqualvolta A_j₁ ∈ U_j₁, . . . , A_j

k ∈ U_j

k con j₁ < · · · < j_k.

27