Molto grandezze fisiche hanno direzione e verso

Vettori

Molto grandezze fisiche hanno direzione e verso

Non possono essere descritte da un solo numero, ma da due nel piano e tre nello spazio

Pi` u in generale posso indicare come vettori gli oggetti che descrivono queste grandezze

I vettori hanno operazioni particolari tra loro, alcune simile a quelle

degli scalari (somma e differenza), altre no (prodotto scalare e

prodotto vettore)

Vettori

Definizione

si chiamano vettori delle grandezze dotate di modulo (lunghezza o norma) direzione e verso

posso considerare lo spostamento come il prototipo dei vettori

se mi sposto da A a B, quindi da B a C, l’effetto ` e lo stesso che se mi fossi spostato direttamente da A a C

il vettore ~ AC pu` o essere quindi considerato come la somma dei vettori ABe ~ ~ BC

La somma di due vettori si fa quindi mettendo la coda del secondo

vettore sulla punta del primo, e tracciando il vettore dalla coda del

primo alla punta del secondo.

Vettori

Algebra

La somma di due vettori ` e ancora un vettore

Il prodotto di un vettore per un numero positivo ` e ancora un vettore Esiste l’opposto di ogni vettore, che si ottiene scambiando la punta con la coda. L’opposto ha uguale lunghezza e direzione, ma verso opposto

Posso definire il prodotto scalare di due vettori: ` e uno scalare e vale

~a · ~b = ab cos(θ)

Due vettore perpendicolari hanno θ = π/2 e quindi cos(θ) = 0: il loro prodotto scalare ` e perci` o nullo

Due vettore paralleli ed equiversi hanno θ = 0 e quindi cos(θ) = 1: il

loro prodotto scalare ` e quindi il prodotto dei moduli ab

Prodotto vettore

Posso definire il prodotto vettore di due vettori: ` e un vettore il cui modulo vale

|~a × ~b| = ab sin(θ)

e che ha direzione perpendicolare ad ~a e a ~ b, e verso determinato dalla regola della mano destra

il prodotto vettore di vettori paralleli o antiparalleli ` e nullo

il prodotto scalare e il prodotto vettore hanno la propriet` a distributiva

~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c

~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c

il prodotto scalare ` e simmetrico il prodotto vettore ` e antisimmetrico

~a · ~b = ~b · ~a ~a × ~b = −~b × ~a

Versori

si chiamano versori dei vettori di lunghezza unitaria

i versori degli assi x , y e z si indicano con ~i, ~j e ~ k oppure con ~e _x , ~e _y ed ~e _z

dalla definizione si capisce facilmente che

~i ·~j = ~j · ~k = ~k ·~i = 0 ~i ·~i = ~j ·~j = ~k · ~k = 1

~i ×~j = ~k ~j × ~k = ~i ~k ×~i = ~j ~i ×~i = 0 ~j ×~j = ~ k × ~ k = 0

Componenti

Ogni vettore ~a si pu` o scrivere come la somma di tre vettori diretti come gli assi x , y , e z, positivi o negativi Ognuno di questi vettori ` e proporzionale ad una dei versori la costante di proporzionalit` a si chiama la componenente del vettore lungo quell’asse

Le componenti si indicano col nome

del vettore e con il nome dell’asse a

pedice: a x , a y e a z

Componenti

e operazioni tra vettori

~a = a _x ~i + a y ~j + a z ~ k posso quindi sfruttare la propriet` a distributiva e trovo

~a · ~b =



a x ~i + a y ~j + a z ~ k



· 

b x ~i + b y ~j + b z ~ k



= a _x b _x ~i ·~i + a _x b _y ~i ·~j + a _x b _z ~i · ~k + lo stesso per a _y e a _z Gli unici prodotti scalari che sopravvivono sono quelli con versori uguali

~a · ~b = a x b x + a y b y + a z b z



~a × ~b



x = a y b z − a _z b y



~a × ~b



y = a z b x − a _x b z



~a × ~b



z = a x b y − a _y b x

I vettori nel piano possono essere descritti da coordinate polari.

Il modulo (lunghezza) R del vettore ` e una coordinata L’altra ` e l’angolo θ che il vettore fa con l’asse x

Componenti e coordinate polari sono convertibili uno nell’altro x = R cos(θ) y = R sin(θ) R = p

x ² + y ² tan(θ) = y /x

Velocit` a

Posso osservare il moto di un oggetto valutando la sua posizione a tempi diversi t 0 e t e misurando le posizioni x 0 e x

la velocit` a media lungo l’asse x ` e definita da hv _x i = x − x ₀

t − t 0

= ∆x

∆t e analoghe definizioni per y e z

Se ora l’intervallo di tempo ` e molto piccolo, ottengo la velocit` a istantanea

v x (t) = lim

∆t−>0

∆x

∆t = dx (t) dt In forma vettoriale posso scrivere

~ v = v x ~i + v y ~j + v z ~ k = dx dt ~i + dy

dt ~j + dz

dt ~ k = d~ x

dt

Posso anche definire una velocit` a (scalare) come rapporto tra la

distanza percorsa e il tempo impiegato. Questa sar` a v = <sup>ds</sup> <sub>dt</sub> ed ` e la

velocit` a segnata dal tachimetro in automobile

Accelerazione

E definita come la variazione di velocit` ` a divisa per la variazione del tempo

Posso definire una accelerazione media, ma mi interessa soprattutto quella istantanea.

L’accelerazione istantanea ` e definita come a x (t) = lim

∆t−>0

∆v x

∆t = dv x (t) dt In forma vettoriale posso scrivere

~a = dv _x

dt ~i + dv y

dt ~j + dv _z

dt ~ k = d ² x

dt ² ~i + d ² y

dt ² ~j + d ² z

dt ² ~ k = d~ v

dt = d ² ~ x

dt ²

velocit` a e accelerazione sono vettori

Moto rettilineo uniforme

E il moto di una particella con accelerazione nulla su di una retta (di ` solito scelta come asse x )

la velocit` a deve essere quindi costante

la velocit` a media ` e uguale alla velocit` a iniziale v _0x , quindi (ponendo t ₀ = 0)

x (t) = x ₀ + v _0x t v _x (t) = v _0x

Per il moto in pi` u di una dimensione, con asse anche diverso da x

~ x (t) = ~ x 0 + ~ v 0 t ~ v (t) = ~ v 0

Moto uniformemente accelerato

E il moto di una particella con accelerazione costante ` La velocit` a deve essere costante, quindi trovo

a = v x (t) − v 0

t ⇒ v _x (t) − v ₀ = at ⇒ v _x (t) = v _0x + at Per trovare lo spostamento considero il fatto che la velocit` a varia linearmente, quindi

hv _x i = 1

2 (v x (t) + v 0x ) e, allo stesso tempo, dalla definizione

hv _x i = x − x 0

t Uguagliando le due espressioni trovo che

x = x ₀ + v _0x t + 1

2 at ²

Moto circolare uniforme

E il moto di una particella che ` percorre una circonferenza con velocit` a costante in modulo Lo spazio percorso quando ` e stato coperto un angolo θ vale s = Rθ. Derivando questa equazione ottengo

ds

dt = v = R d θ dt = ωR dove ω ` e la velocit` a angolare Osservando la particella a due tempi e in due posizioni successive, si possono costruire due triangoli, uno sulle velocit` a e una sui raggi, per dimostrare che l’accelerazione ` e diretta verso il centro e vale

a _c = v ² /R = ω ² R

Trovo la posizione proiettando sugli assi x e y al tempo t.

x (t) = R cos(ωt) y (t) = R sin(ωt) Le derivate prime sono le componenti della velocit` a

v _x (t) = −ωR sin(ωt) v _y (t) = ωR cos(ωt) Le derivate seconde danno l’accelerazione

a x (t) = −ω ² R cos(ωt) a y (t) = −ω ² R sin(ωt)

Si vede che l’aceclerazione ` e opposta al raggio e che il suo modulo

vale ω ² R

Esercizi

un campione di formula 1 taglia il traguardo dopo due ore dalla partenza, avendo percorso 300 km. Quali sono le sue velocit` a medie scalare e vettoriale?

Un oggetto percorre una circonferenza con velocit` a costante, attratto da un corpo al centro della circonferenza. Cosa succede se

l’attrazione viene meno di colpo?

Un’automobile accelera da 0 a 100 km/h in 15 secondi. Qual ` e la sua accelerazione?

Un aereo, che ha un’accelerazione massima di 5 m/s ² , decolla quando raggiunge la velocit` a di 200 km/h. Qual ` e la lunghezza minima necessaria della pista di decollo?

Un corpo che compie un moto circolare uniforme di raggio R = 3 m ` e

soggetto ad un’accelerazione di 8m/s ² . Calcolare la sua velocit` a.

Moto di un proiettile

E un moto bidimensionale, in cui le componenti x e y si evolvono ` separatamente

Lungo x non agisce alcuna forza, quindi il moto ` e rettilineo uniforme.

Lungo y agisce l’accelerazione di gravit` a, che ` e costante, quindi il

moto ` e uniformemente accelerato

Equazioni del moto

La velocit` a iniziale ` e ~ v 0 e le sue componenti sono v 0x = v 0 cos(θ) e v _0y = v ₀ sin(θ)

Le equazioni del moto lungo x sono quelle del moto rettilineo uniforme v x (t) = v 0x x (t) = x 0 + v 0x t

Le equazioni del moto lungo x sono quelle del moto uniformemente accelerato con accelerazione a = −g

v _y (t) = v _0y − g t y (t) = y ₀ + v _0y t − 1 2 g t ²

x ₀ e y ₀ sono le coordinate iniziali, che nel seguito considero nulle. Le equazioni del moto saranno quindi

x = v _0x t v _x = v _0x y = v _0y t − 1

2 gt ² v _y = v _0y − gt

Comportamento di velocit` a e accelerazione

L’accelerazione ` e diretta verso il basso (−y ) per tutto il moto La componente x della velocit` a ` e costante per tutto il moto, quindi uguale al suo valore iniziale

La componente y della velocit` a ` e dapprima positiva e poi, dopo il

punto di massimo, negativa

Altezza massima

Cerco l’altezza massima raggiunta dal proiettile y M

Prima del punto massimo, la componente y della velocit` a ` e positiva, dopo ` e negativa. Quindi nel punto massimo ` e nulla.

Il punto di massimo si trova quindi dall’equazione v y (t M ) = 0 che implica t _M = v _0y /g .

Da questo, sostituendo t _M al posto di t nelle equazioni per x e y , trovo i valori di x e y nel punto di massimo:

x _M = v _0x v _0y

g y _M = v _0y ²

2g

Gittata

La distanza percorsa dal proiettile prima di tornare a terra ` e la gittata Il proiettile ritorna a terra dopo un tempo t <sub>g</sub> , quindi y (t <sub>g</sub> ) = 0 Questa equazione ha due soluzioni: t <sub>g</sub> = 0 non ` e chiaramente, quella giusta, dato che corrisponde alla situazione iniziale

La soluzione giusta ` e quindi t _g = ^{2 v} _g

.

Lo spazio percorso lungo x , cio` e la gittata, vale quindi x g = 2 v 0x v 0y

g Scrivendo in coordinate angolari si vede che

x _g = 2 v ₀ ² sin(θ) cos(θ)

g = v ₀ ² sin(2θ) g

La gittata, a parit` a di velocit` a iniziale, ` e massima quando sin(2θ) = 1,

quindi quando l’angolo che la velocit` a iniziale fa con l’asse delle

ascisse ` e di 45 ^o