Meccanica
Introduzione
Meccanica classica: sviluppata da Galileo in poi Meccanica relativistica: da Einstein in poi
Meccanica quantistica: studia la struttura della materia, sviluppata nel ’900
Meccanica quantistica relativistica La Fisica `e scienza
La teoria esatta `e determinata dagli esperimenti.
Energia
E la moneta della Fisica: si da’ energia per compiere lavoro` Si conserva nei sistemi isolati
Pu`o cambiare forma: da cinetica a potenziale, da potenziale a termica, etc.
In Termodinamica `e associata alla temperatura ed `e equivalente al calore
Forze
Sono le cause del movimento Se ne conoscono tre tipi:
gravitazionali elettromagnetiche nucleari forti
nucleari deboli (unite alle elettromagnetiche) Si possono distinguere in:
attive, se possono dare origine al moto
passive, se non possono (ma possono ostacolarlo)
Sistema di riferimento
per osservare il movimento dobbiamo fissare l’origine degli assi poi fissiamo la direzione degli assi
un sistema che fissi un’origine in moto rispetto a noi va bene quanto il nostro
Due sistemi di riferimento che abbiano velocit`a costante uno rispetto all’altro si dicono inerziali
Le leggi della Fisica devono essere le stesse per tutti i sistemi di riferimento inerziali
Vettori
Definizione
si chiamanovettori delle grandezze dotate di modulo (lunghezza o norma) direzione e verso
posso considerare lo spostamento come il prototipo dei vettori
se mi sposto da A a B, quindi da B a C, l’effetto `e lo stesso che se mi fossi spostato direttamente da A a C
il vettore ~AC pu`o essere quindi considerato come la somma dei vettori ABe ~~ BC
La somma di due vettori si fa quindi mettendo la coda del secondo vettore sullapunta del primo, e tracciando il vettore dalla coda del primo alla punta del secondo.
Vettori
Algebra
La somma di due vettori `e ancora un vettore
Il prodotto di un vettore per un numero positivo `e ancora un vettore Esiste l’opposto di ogni vettore, che si ottiene scambiando la punta con la coda. L’opposto ha uguale lunghezza e direzione, ma verso opposto
Posso definire il prodotto scalaredi due vettori: `e un numero e vale
~a · ~b = ab cos(θ)
Posso definire il prodotto vettore di due vettori: `e un vettore il cui modulo vale
|~a × ~b| = ab sin(θ)
e che ha direzione perpendicolare ad ~a e a ~b, e verso determinato dalla regola della mano destra
il prodotto scalare e il prodotto vettore hanno la propriet`a distributiva il prodotto scalare `e simmetrico il prodotto vettore `e antisimmetrico
Versori
si chiamanoversori dei vettori di lunghezza unitaria i versori degli assi x, y e z si indicano con ~i, ~j e ~k ogni vettore ~a si pu`o scrivere come
~a = ax~i + ay~j + az~k dalla definizione si capisce facilmente che
~i ·~j = ~j · ~k = ~k ·~i = 0
~i ·~i = ~j ·~j = ~k · ~k = 1
~i ×~j = ~k ~j × ~k = ~i ~k ×~i = ~j posso quindi sfruttare la propriet`a distributiva e trovo
~a · ~b = axbx+ ayby + azbz
~a × ~b
z = axby − aybx
Velocit` a
Posso osservare il moto di un oggetto valutando la sua posizione a tempi diversi t0 e t e misurando le posizioni x0 e x
la velocit`a media lungo l’asse x `e definita da hvxi =x− x0
t− t0
= ∆x
∆t e analoghe definizioni per y e z
Se ora l’intervallo di tempo `e molto piccolo, ottengo la velocit`a istantanea
vx(t) = lim
∆t−>0
∆x
∆t = dx(t) dt In forma vettoriale posso scrivere
~v = vx~i + vy~j + vz~k = dx dt~i +dy
dt~j +dz
dt~k = d~x dt Posso anche definire una velocit`a (scalare) come rapporto tra la distanza percorsa e il tempo impiegato. Questa sar`a v = dsds ed `e la velocit`a segnata dal tachimetro in automobile
Accelerazione
E definita come la variazione di velocit`` a divisa per la variazione del tempo
Posso definire una accelerazione media, ma mi interessa soprattutto quella istantanea.
L’accelerazione istantanea `e definita come ax(t) = lim
∆t−>0
∆vx
∆t = dvx(t) dt In forma vettoriale posso scrivere
~a = dvx
dt~i + dvy
dt~j +dvz
dt ~k = d2x
dt2~i +d2y
dt2~j +d2z
dt2~k = d~v
dt = d2~x dt2 velocit`a e accelerazione sono vettori
Moto rettilineo uniforme
E il moto di una particella con accelerazione nulla` la velocit`a deve essere costante, quindi ( sull’asse x) la velocit`a media `e uguale alla velocit`a iniziale v0x, quindi (ponendo t0= 0)
x(t) = x0+ v0xt vx(t) = v0x Per il moto in pi`u di una dimensione
~x(t) = ~x0+ ~v0t ~v (t) = ~v0
Moto uniformemente accelerato
E il moto di una particella con accelerazione costante` La velocit`a deve essere costante, quindi trovo
vx(t) = v0x + at
Per trovare lo spostamento considero il fatto che la velocit`a varia linearmente, quindi
hvxi = 1
2(vx+ v0x) e, allo stesso tempo, dalla definizione
hvxi = x− x0
t Uguagliando le due espressioni trovo che
x= x0+ v0xt+1 2at2
Moto circolare uniforme
E il moto di una particella che percorre una circonferenza con velocit`` a costante in modulo
Lo spazio percorso quando `e stato coperto un angolo θ vale s = Rθ.
Derivando questa equazione ottengo ds
dt = v = Rdθ dt = ωR dove ω `e lavelocit`a angolare
Osservando la particella a due tempi e in due posizioni successive, si possono costruire due triangoli, uno sulle velocit`a e una sui raggi, per dimostrare che l’accelerazione `e diretta verso il centro e vale
ac= v2/R
Trovo la posizione proiettando sugli assi x e y al tempo t.
x(t) = R cos(ωt) y (t) = R sin(ωt) da cui, facendo le derivate prima e seconda, posso trovare le espressioni precedenti per velocit`a e accelerazione
Esercizi
un campione di formula 1 taglia il traguardo dopo due ore dalla partenza, avendo percorso 300 km. Quali sono le sue velocit`a medie scalare e vettoriale?
Un oggetto percorre una circonferenza con velocit`a costante, attratto da un corpo al centro della circonferenza. Cosa succede se
l’attrazione viene meno di colpo?
Un’automobile accelera da 0 a 100 km/h in 15 secondi. Qual `e la sua accelerazione?
Un aereo, che ha un’accelerazione massima di 5 m/s2, decolla quando raggiunge la velocit`a di 200 km/h. Qual `e la lunghezza minima necessaria della pista di decollo?
Un corpo che compie un moto circolare uniforme di raggio R = 3 m `e soggetto ad un’accelerazione di 8m/s2. Calcolare la sua velocit`a.
