Laboratorio d'Analisi Numerica
• Introduzione
L’analisi numerica è quel ramo della matematica che s'interessa a creare, formulare e sviluppare metodi che permettono, a partire da certi dati, di ottenerne altri di cui si sappia valutare l’attendibilità e la precisione.
Inversamente, noti certi dati e fissato il grado di precisione dei risultati, ci si può chiedere con quale approssimazione si devono prendere quei dati perché si ottenga la fissata precisione nei risultati.
Algoritmo è l’insieme delle procedure che dai dati assegnati fa giungere al risultato.
La ricerca di risultati approssimati di problemi e d'equazioni è presente in ogni periodo della storia della matematica: i Babilonesi, molti secoli prima dell’era volgare, misero a punto un efficace procedimento iterativo per l’estrazione approssimata della radice quadrata; ma l’attenta distinzione tra risultati esatti e risultati approssimati, nonché il controllo del grado di approssimazione sono da considerare conquiste importanti, e per alcuni versi relativamente recenti, della mente umana.
Nel tentativo di approssimare la radice quadrata di un numero assegnato, Bombelli (1526- 1572) e Castaldi (1552-1626) giunsero all’introduzione delle frazioni continue. Anche il grande Newton (1642-1727) si occupò con successo della possibilità di risolvere le equazioni con un procedimento approssimato iterativo.
I nomi di Taylor (1685-1731) e di MacLaurin (1698-1746) sono collegati ai celebri risultati riguardanti lo sviluppo in serie di potenze di una funzione. Ma si può dire che la maggior parte dei matematici hanno avuto occasione di cimentarsi con i metodi numerici e con i procedimenti d'approssimazione: risultati particolarmente significativi furono ottenuti tra il XVIII e il XIX secolo da Euler (1707-1783), da Simpson (1710-1761), da Bezout (1739-1783), da Gauss (1777-1855) e da Hermite (1822-1901).
Il perfezionamento degli strumenti di calcolo ha favorito la rapida estensione del campo della matematica, basti pensare che la costruzione degli elaboratori a programma ha permesso di aumentare, in meno di trent’anni la velocità da 0,1 operazioni al secondo (a mano) a oltre 30.000.000 al secondo (con il calcolatore).
ERRORI
Nei problemi concreti capita sovente che i dati iniziali siano numeri affetti da errori perché, ad esempio, ottenuti da processi di misura, oppure perché già valori approssimati a un certo numero finito di cifre decimali, o perché valori approssimati di numeri irrazionali.
In un procedimento di calcolo, quest'inesattezza dei dati iniziali (dati in ingresso) comporta necessariamente inesattezza nei risultati (dati in uscita); inoltre, a causa del procedimento stesso, gli errori iniziali vengono a propagarsi.
Fra i diversi procedimenti che risolvono un dato problema, è opportuno preferire quello che, oltre a raggiunge la soluzione nel modo più rapido, contestualmente minimizza gli errori dovuti alla procedura stessa.
A fondamento dell’A.N. vi è la Teoria degli Errori, ossia la disciplina che si occupa della valutazione degli errori e ne studia la propagazione.
Elementi di Teoria degli Errori
Considerato un numero reale x, siano noti due numeri reali a e b tali che:
a £ x £ b.
• L’intervallo chiuso [a, b] si dice intervallo di approssimazione di x;
• Il numero εx = b - a si dice ampiezza dell’intervallo di approssimazione;
• Il numero a si dice valore approssimato per difetto a meno di εx ;
• Il numero b si dice valore approssimato per eccesso a meno di εx .
Se di un numero x si conosce la sua rappresentazione decimale g esatta fino alla r-esima cifra dopo la virgola, g si chiama valore di x troncato (ottenuto per troncamento) alla r-esima cifra decimale.
Aumentando di 1 l’ r-esima cifra decimale di g, si ottiene un numero g’ tale che:
g < x < g’.
Poiché g’ -g = 10-r
• g Si dice valore di x approssimato per difetto a meno di 10-r;
• g’ si dice valore di x arrotondato alla r-esima cifra decimale; se l’ ( r + 1)-esima cifra di g è una delle cifre 5, 6, 7, 8, 9, arrotondando l’ r-esima cifra si commette un errore non superiore a
½
*10-r.• Di un numero x si conosca un valore approssimato x’.
Si dice errore assoluto del numero x il valore assoluto della differenza x – x’.
dx = | x – x’ |
In effetti, non sempre si riesce ad avere un valore esatto dell’errore assoluto dx in quanto non si conosce il valore assoluto di x.
Supponiamo sia noto l’intervallo di approssimazione [a, b] tale che: a £ x £ b.
Poiché il valore approssimato x’ del numero x può essere un qualsiasi numero appartenente all’intervallo [a, b], si chiama errore massimo assoluto di x il maggiore dei due numeri x’– a , b - x’, ossia
Dx = max (x’– a , b - x’ ).
Si dice che x’ è un valore approssimato di x, a meno di Dx.
In particolare l’errore massimo assoluto può essere preso uguale all’ampiezza dell’intervallo di approssimazione:
Dx = b - a = εx.
• Si dice errore relativo del numero x il rapporto tra l’errore assoluto e il valore assoluto di x.
Si scrive ha = | x - x’ | | x |
Poiché, in generale, si conosce un valore approssimato x’ del numero x, si ha:
hx £ Dx |x’ |
• Il rapporto Dx si chiama errore massimo relativo di x.
|x’ |
• L’errore assoluto e quello relativo di un dato numero sono collegati dalle relazioni:
dx = | x | . hx ossia dx @ | x’ | . hx
Riepilogando:
x Valore esatto
x’ Valore approssimato
dx = |x − x’| Errore assoluto
Dx = max (x’– a , b - x’ ) Errore massimo assoluto
hx = |x − x’|/ |x | Errore relativo Dx / |x’ | Errore massimo relativo
Classificazione degli errori
Nella valutazione della misura di una grandezza si incorre inevitabilmente a delle imprecisioni.
Ad esempio, nel caso di rilevazione strumentale della misura di una grandezza, gli errori in cui si incorre si distinguono in:
• Errori sistematici, legati alla classe di precisione dello strumento;
• Errori accidentali, legati a condizioni ambientali o al modo in cui l’operatore usa lo strumento.
Gli errori di valutazione dei numeri si classificano in:
• Errori di troncamento
Il numero x’ si dice valore troncato o abbreviato di x alla ka cifra decimale se
x = x’ + θ.10-k con 0 £ θ < 1
• Errori di arrotondamento
Il numero x’ si dice valore arrotondato di x alla ka cifra decimale con verso indeterminato se
x = x’ + θ.10-k con - 0,5 £ θ < 0,5.
Inoltre si indicano con errori di troncamento anche quelli in cui si incorre quando si
“tronca” un processo infinito di calcolo, si pensi alle serie.
Elementi di calcolo approssimato
• Propagazione degli errori di approssimazione
Supponiamo di volere calcolare il valore y di una certa funzione f (x1, x2, x3, …..) in corrispondenza di assegnati valori per x1, x2, x3, …..
Occorre innanzi tutto fare le seguenti osservazioni:
1) I valori di x1, x2, x3, ….., costituiscono i dati (input), e sono generalmente assegnati con un troncamento o un arrotondamento;
2) Se nella funzione f (x1, x2, x3, …..) figurano un numero infinito di operazioni da eseguire, allora si sostituisce ad essa una funzione f 1 con un numero finito di operazioni.
L’errore commesso, sostituendo f1 ad f si chiama errore di troncamento.
• Eseguendo sulle variabili x1, x2, x3, ….., le operazioni che entrano nella espressione della funzione stessa per arrivare al risultato y richiesto (output), quest’ultimo risulterà affetto da un errore.
In relazione all’errore finale dell’output, due sono i problemi fondamentali che si presentano:
- noto l’errore massimo assoluto per ciascuna delle variabili x1, x2, x3, ….., e l’eventuale errore di troncamento della funzione, determinare l’errore massimo assoluto del valore a della funzione;
(problema diretto)
- noto l’errore massimo assoluto col quale si vuole calcolare il valore di y, determinare gli errori
massimi assoluti dell’input e l’eventuale errore di troncamento della funzione. (problema inverso)
In relazione ad essi è fondamentale la seguente formula:
Da =
∂ f
Dx1 +
∂ f
Dx2 +
∂ f
Dx3 +………..+ ET∂ x1 ∂ x2 ∂ x3
valida nel caso che la f (x1, x2, x3, …..) ammetta derivate parziali prime, e nella quale ET
rappresenta l’errore massimo assoluto di troncamento della funzione.
La formula si basa sull’ipotesi che gli errori massimi assoluti D x1, D x2 , D x3
…..siano tali per cui si possono trascurare le potenze n-esime.
Propagazione degli errori nelle operazioni elementari
valore esatto valore approssimato errore
x1
x1’
d1
x2
x2’
d2
Si dimostra che nelle operazioni elementari gli errori si propaga secondo il seguente schema:
Addizione e sottrazione
d = d1 + d2
Moltiplicazione d < I x1’ d2 + d1 x2’ I
Divisione
d < I x1’ d2+d1 x2’ I / x2’ 2
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Esercizi proposti:
1) Si vuole calcolare la somma delle radici quadrate dei primi n numeri naturali, con quale approssimazione si devono assumere i dati iniziali affinché l’errore d di approssimazione del risultato sia inferiore a un valore prefissato, ad esempio d < 10−3?.
2) Dati i numeri Ö3 e Ö2, i cui valori sono arrotondati alla terza cifra decimale, eseguire le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione valutando per ogni operazione l’ordine dell’errore del risultato.
3) Si calcoli il valore approssimato di a = f (e, π, Ö2) = π + eÖ2 essendo: e ≅ 2,7182 , π ≅ 3,1415 , Ö2≅ 1,4142.
4) Si calcoli un valore approssimato di
+¥
sen x =
Σ
n (-1)n x 2n+1 = x – x 3 + x 5 - x 7 + …o
(2n+1)! 3 ! 5 ! 7 ! per x = 1, limitando il procedimento fino al terzo termine.
