Propagazione degli errori di misura

Propagazione degli errori di misura

Covarianza e correlazione

Sia q(x,y) una grandezza fisica misurata indirettamente a partire dalle grandezze x e y misurate direttamente. Le distribuzioni di probabilità delle variabili x e y siano qualsiasi.

Siano stati estratti i campioni x_i e y_i non necessariamente aventi la stessa numerosità e si calcolino, mediante la formula di definizione q = q(x,y) tutti i possibili valori q_ij= q(x_i ,y_j)

Ricordiamo che per un campione di N misure x_i si definisce valor medio x = ∑x_i /N e varianza ²_x = ∑(x_i-x)²/N

e per un campione di M misure y_j

valor medio y = ∑y_i /M e varianza ²_y = ∑(y_i-y)²/M Calcoliamo per gli NM valori q(x_i,y_j) = q_ij

valor medio q = ∑_ijq_ij /NM e varianza  ²_q = ∑(q_ij-q)²/NM

Per quanto il risultato non dipenda dalla numerosità N ed M, si considera, per la dimostrazione che segue, il caso particolare in cui si presentino N coppie di dati x_i e y_i per cui q_i = q(x_i ,y_i ) e le definizioni dei valor medi e delle varianze sono

x = ∑x_i/N e varianza ²_x = ∑(x_i-x)²/N y = ∑y_i/N e varianza ²_y = ∑(y_i-y)²/N q = ∑_iq_i/N e varianza  ²_q = ∑(q_i-q)²/N

Si supponga che gli errori degli x_i e y_i siano piccoli e sia quindi possibile lo sviluppo in serie di Taylor nell'intorno dei valori medi x ed y

ovvero q(x,y) = q(x, y) + (∂q/∂x)_x,y(x-x) + (∂q/∂y)_x,y(y-y)

Dimostriamo che:

a) il valor medio q = ∑_iq_i/N si calcola sostituendo nella formula di definizione q = q(x,y) a x e y i rispettivi valori medi x e y

q = q(x,y)

b) la varianza _q² della variabile q si calcola mediante la formula

_q² = (∂q/∂x)_x,y² ²_x + (∂q/∂y)_x,y² ²_y+ 2(∂q/∂x)_x,y(∂q /∂y)_x,y² _xy essendo _xy = (1/N) (x_i - x)(y_i - y) detta

covarianza (calcolata dalle misure)

Dimostrazione della formula della propagazione degli errori

Si ponga, per comodità di scrittura , la

q(x,y) = q(x, y)+ (∂q/∂x)_x,y(x-x) + (∂q/∂y)_x,y(y-y) nella forma q(x,y) = a x +b y + c dove si sono raccolti in a, b e c i termini che sono costanti ovvero

a = (∂q/∂x)_x,y ; b = (∂q/∂y)_x,y ; c = q(x, y) + (∂q/∂x)_x,y(-x) + (∂q/∂y)_x,y(-y)

Calcolo

a) il valor medio q = ∑_iq_i/N = ∑_i(a x_i +b y_i +c )/N = a∑x_i/N + b∑y_i/N + c = = ax + by c = q(x,y)

b) la varianza di q

 ²_q = ∑(q_i-q)²/N = (1/N)∑(a x_i + by_i + c- ax by +c)²=

=1/N∑(a (x_i – x) + b(y_i -y ))²= 1/N∑a²(x_i – x)² + 1/N∑b²(y_i -y )² + (2/N)ab∑(x_i – x)(y_i -y) = a²²_x + b²²_y + 2ab_xy

Propagazione degli errori

per misure ripetute e indipendenti

Esempio :

Si calcoli g dalla formula g = 4²L/T² e siano L_i le N misure della lunghezza del pendolo e T_j le M misure del periodo di oscillazione.

E' così giustificato che il valor medio di g si calcola sostituendo nella formula a L il valor medio L e a T il valor medio T calcolati dai dati.

ovvero g = 4²L/T²

Supponendo che le due serie di misure siano indipendenti si calcoli

²_g dalla formula

²_g = (∂g/∂L)_L,T²²_L + (∂g/∂T)_L,T²2T = (4²/T²)²²_L + (-8 ²L/T³)²²_T