• Non ci sono risultati.

Esercizio 1. Nello spazio vettoriale R

N/A
N/A
Info
Scarica
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Esercizio 1. Nello spazio vettoriale R"

Copied!
8
0
0

Caricamento.... (Visualizza il testo completo ora)

Scarica adesso ( 8 pagine )

Testo completo

(1)

Esercizi GEOMETRIA (I modulo)

SOTTOSPAZI E SOMMA DIRETTA. FORMULA DI GRASSMANN Docente: Prof. F. Flamini

Esercizi Svolti

Esercizio 1. Nello spazio vettoriale R

4

, dotato della base canonica e siano dati i due sottospazi

U :

( X

1

− X

2

+ X

3

= 0 X

1

+ X

4

= 0 e

W = Span

 

 

 

  w

1

=

 1 0 0 1

 , w

2

=

 2 0

−2

−2

 , w

3

=

 10

0

−6

−2

 

 

 

  .

(i) Determinare dim(U ), dim(W ) e basi dei due sottospazi.

(ii) Determinare equazioni parametriche di U ed equazioni parametriche e cartesiane di W .

(iii) Stabilire se R

4

= U ⊕ W . In caso di risposta negativa, determinare dimensione ed una base di U + W e stabilire se U + W = U ⊕ W ⊂ R

4

.

Svolgimento. (i) Notiamo che w

3

= 4w

1

+ 3w

2

, mentre i primi due vettori che definis- cono W non sono proporzionali. Pertanto dim(W ) = 2 ed una base per W e’ proprio w := w

1

, w

2

.

Risolvendo ora il sistema lineare dato dalle equazioni cartesiane che definiscono U si ha che la soluzione generale del sistema e’

x = t

 1 0

−1

−1

 + s

 0 1 1 0

= tb

1

+ sb

2

, t, s ∈ R.

(ii) Dal punto precedente, equazioni parametriche di U sono:

X

1

= t, X

2

= s, X

3

= −t + s, X

4

= −t, t, s ∈ R.

1

(2)

Analogamente, equazioni parametriche di W sono:

X

1

= a + 2b, X

2

= 0, X

3

= −2b, X

4

= a − 2b, a, b ∈ R e quindi equazioni cartesiane di W sono

X

1

+ 2X

3

− X

4

= 0 = X

2

.

(ii) Per determinare U ∩ W si mettono a sistema le equazioni cartesiane di U e di W e si ottiene

U ∩ W = Span

 

 

 

 

 1 0

−1

−1

 

 

 

  .

Dalla formula di Grassmann,

dim(U + W ) = 2 + 2 − 1 = 3.

Quindi non solo R

4

non e’ somma diretta di U con W , ma anche il sottospazio somma U + W non e’ somma diretta, dato che U ∩ W 6= {0}. Una base per U + W e’ data dai vettori w

1

, u

1

, u

2

.

Esercizio 2. Nello spazio vettoriale R

4

, munito della base canonica e, siano assegnati i seguenti vettori:

w

1

=

 0 1

−1 1

, w

2

=

 1 0 1 2

, w

3

=

 1

−1 2 1

, w

4

=

 0 0 2 0

 ,

le cui coordinate sono espresse rispetto ad e. Sia

W := Span(w

1

, w

2

, w

3

, w

4

).

(i) Determinare la dimensione di W estraendo dal sistema di generatori dato una base b per W .

(ii) Determinare equazioni parametriche e cartesiane di W . (iii) Estendere b ad una base per tutto R

4

.

Svolgimento. (i) I vettori dati sono banalmente linearmente dipendenti in R

4

. Basta

calcolare il determinante della matrice A del sistema dei quattro vettori dati rispetto ad

(3)

e. Ad esempio utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto all’ultima colonna, rapida- mente si vede che det(A) = 0. Tuttavia considerando la sottomatrice A(2, 3, 4|2, 3, 4), notiamo che essa ha determinante non nullo. Pertanto

dim(W ) = rg(A) = 3

ed una base b per W e’ ad esempio costituita dai tre vettori b := w

2

, w

3

, w

4

.

(ii) Poiche’ W e’ un iperpiano in R

4

, per trovare l’equazione cartesiana basta considerare la formula determinantale

det(X w

2

w

3

w

4

) = 0,

che fornisce 2X

1

+ X

2

− X

4

= 0. Equazioni parametriche sono ovviamente X

1

= t, X

2

= s, X

3

= k, X

4

= 2t + s.

(iii) Per estendere b ad una base di R

4

basta prendere un qualsiasi vettore le cui coordi-

nate rispetto ad e non soddisfino l’equazione cartesiana di W , ad esempio z =

 0 1 0 0

 .

Esercizio 3. Nello spazio vettoriale R

5

, dotato della base canonica e sia dato il sot- tospazio vettoriale W di equazioni cartesiane

W :

( X

1

− X

3

+ X

5

= 0 X

2

− X

5

= 0 (i) Determinare dim(W ).

(ii) Determinare equazioni parametriche di W .

(iii) Trovare generatori ed equazioni cartesiane di un sottospazio U di R

5

che risulti essere un sottospazio supplementare a W (in altri termini, tale che U ⊕ W = R

5

).

Svolgimento. (i) Notiamo che le 2 equazioni che definiscono W sono indipendenti.

Quindi dalla teoria dei sistemi lineari dim(W ) = 5 − 2 = 3.

(4)

(ii) Risolvendo il sistema lineare che definisce W , le equazioni parametriche vettoriali di W risultano

x = λ

 1 0 1 0 0

 + µ

−1 1 0 0 1

 + ν

 0 0 0 1 0

λ, µ, ν ∈ R.

(iii) Un supplemento di W deve essere necessariamente un piano vettoriale. Notia- mo che dalla struttura dei vettori della base di W , sicuramente i vettori e

3

ed e

5

non appartengono a W . Pertanto U = Span{e

3

, e

5

} e le sue equazioni cartesiane sono dunque

X

1

= X

2

= X

4

= 0.

Esercizio 4. Nello spazio vettoriale R

4

, munito della base canonica e, sia assegnato il seguente sistema v di vettori:

v

1

=

 1 0 k 1

 , v

2

=

 1 0 0 k

 , v

3

=

 1 0 0

−k

 , v

4

=

 1 1 1 0

 ,

le cui coordinate sono espresse rispetto alla base e e dove k ∈ R e’ un parametro reale.

Sia

W

k

:= Span (v

1

, v

2

, v

3

, v

4

) .

(i) Determinare la dimensione di W

k

, al variare del parametro k ∈ R.

(ii) Per k = 0, stabilire se il vettore z =

 1 0 1 1

, espresso in coordinate rispetto alla

base e, appartiene al sottospazio W

0

.

(iii) Determinare equazioni parametriche e cartesiane di W

0

.

(iv) Stabilire se e’ possibile trovare equazioni cartesiane per W

k

, con k 6= 0.

(5)

Svolgimento. (i) Denotata con A

k

:= M

e,v

la matrice del sistema v rispetto ad e, si ha:

A

k

:=

1 1 1 1

0 0 0 1

k 0 0 1

1 k −k 0

 .

Utilizzando lo sviluppo del determinate secondo Laplace, si ottiene det(A

k

) = 2k

2

. Pertanto, per k 6= 0, v e’ una base di R

4

e quindi W

k

= R

4

; invece per k = 0, poiche’

det(A

0

(1, 2, 4|1, 2, 4)) 6= 0, si ha dim W

0

= 3 ed una sua base e’ contestualmente

v

1

=

 1 0 0 1

 , v

2

=

 1 0 0 0

 , v

4

=

 1 1 1 0

 .

(ii) Abbiamo che z ∈ W

0

se, e solo se, il rango della matrice orlata (A

0

(1, 2, 4|1, 2, 4) z) e’ 3. Ma,

det (A

0

(1, 2, 4|1, 2, 4) z) = det

1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1

= 1 6= 0

come si ottiene facilmente utilizzando ad esempio lo sviluppo secondo Laplace rispetto alla seconda colonna. Pertanto z non appartiene a W

0

.

(iii) Le equazioni parametriche di W

0

si determinano immediatamente, dato che si conosce esplicitamente una sua base. Si ottiene pertanto

X

1

= t

1

+ t

2

+ t

3

, X

2

= t

3

, X

3

= t

3

, X

4

= t

1

, dove t

1

, t

2

, t

3

∈ R parametri liberi.

Poiche’ W

0

e’ un iperpiano in R

4

, la sua codimensione in R

4

e’ 1. Pertanto W

0

sara’ definito da un’unica equazione cartesiana. Notando la relazione che c’e’ tra la seconda e la terza equazione delle equazioni parametriche scalari che definiscono W

0

, si ha pertanto che un’equazione cartesiana di W

0

e’

X

2

− X

3

= 0.

(6)

(iv) Per W

k

con k 6= 0, non e’ possibile trovare equazioni cartesiane dato che in questi casi W

k

coincide con tutto lo spazio vettoriale ambiente R

4

.

Esercizio 5. Nello spazio vettoriale R

4

, dotato della base canonica e, siano assegnati i vettori:

v

1

=

 1 0 0 0

 , v

2

=

 1 1 0 0

 , v

3

=

 1 1 1 0

 .

(i) Verificare che sono linearmente indipendenti e completare il sistema di vettori {v

1

, v

2

, v

3

} ad una base di R

4

.

(ii) Determinare equazioni parametriche e cartesiane del sottospazio U di R

4

dato da U := Span{v

1

, v

2

, v

3

} .

(iii) Sia W un qualsiasi sottospazio di R

4

che sia supplementare ad U . Scrivere equazioni parametriche e cartesiane del sottospazio W .

Svolgimento: (i) La matrice che ha per colonne le coordinate dei vettori dati ha man- ifestamente rango 3. Pertanto i tre vettori sono linearmente indipendenti in R

4

. Per completare il sistema di vettori dato ad una base di R

4

si puo’ scegliere semplicemente

v

4

:= e

4

=

 0 0 0 1

dato che i tre vettori dati hanno sempre l’ultima coordinata nulla, quindi e

4

e’ sicura- mente linearmente indipendente da loro.

(ii) Le equazioni parametriche di U sono quindi

X

1

= λ + µ + ν, X

2

= µ + ν, X

3

= ν, X

4

= 0, λ, µ, ν ∈ R.

Poiche’ U ha dimensione 3, allora U e’ un’iperpiano in R

4

, i.e. e’ definito da una sola equazione che e’ quindi

X

4

= 0.

(7)

(iii) Vista la non univocita’ di sottospazi supplementari ad un dato iperpiano, per co- modita’ possiamo scegliere W = Span{e

4

}. Quindi equazioni parametriche di W sono

X

1

= 0, X

2

= 0, X

3

= 0, X

4

= α, α ∈ R mentre equazioni cartesiane sono

X

1

= X

2

= X

3

= 0.

Esercizio 6. Nello spazio vettoriale R

4

, dotato della base canonica e, siano dati i due sottospazi

U :

( X

1

− X

2

+ X

3

= 0 X

1

+ X

4

= 0 e

W = Span

 

 

 

  w

1

=

 1 0 0 1

 , w

2

=

 2 0

−2

−2

 , w

3

=

 10

0

−6

−2

 

 

 

  .

(i) Determinare dim(U ), dim(W ) ed opportune basi dei due sottospazi.

(ii) Determinare equazioni parametriche di U ed equazioni parametriche e cartesiane di W .

(iii) Stabilire se R

4

= U ⊕ W .

Svolgimento. (i) Notiamo che w

3

= 4w

1

+ 3w

2

, mentre i primi due vettori che definis- cono W non sono proporzionali. Pertanto dim(W ) = 2 ed una base per W e’ proprio w := w

1

, w

2

.

Risolvendo ora il sistema lineare dato dalle equazioni cartesiane che definiscono U si ha che la soluzione generale del sistema e’

x = t

 1 0

−1

−1

 + s

 0 1 1 0

= tb

1

+ sb

2

, t, s ∈ R.

(ii) Dal punto precedente, equazioni parametriche di U sono:

X

1

= t, X

2

= s, X

3

= −t + s, X

4

= −t, t, s ∈ R.

(8)

Analogamente, equazioni parametriche di W sono:

X

1

= a + 2b, X

2

= 0, X

3

= −2b, X

4

= a − 2b, a, b ∈ R e quindi equazioni cartesiane di W sono

X

1

+ 2X

3

− X

4

= 0 = X

2

.

(ii) Per determinare U ∩ W si mettono a sistema le equazioni cartesiane di U e di W e si ottiene

U ∩ W = Span

 

 

 

 

 1 0

−1

−1

 

 

 

  .

Quindi R

4

non e’ somma diretta di U con W . Eppure, facilmente si vede che U + W =

R

4

.

Riferimenti

Scarica adesso ( PDF - 8 pagine - 113.80 KB )

Documenti correlati

Esercizio 1. Si considerino, nello spazio reale a tre dimensioni, i quattro punti A = (0, 1, 2), B = (−1, 1, −1), C = (2, −3, 0), D = (1, 4, −2).

PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 27/11/2018 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI.

Esercizio 1. Si considerino i quattro punti A = (1, 0, 2), B = (1, 2, 2), C = (−2, 1, −2), D = (0, −1, 4) dello spazio affine R

(1) Le coordinate dei punti medi dei segmenti sono la media delle rispettive coordinate... Utilizziamo “∼” per indicare che due matrici hanno lo

4. In R 4 sia V = span{(1, 2, 3, 4), (1, 2, 1, 2), (0, 0, 2, 2)} e W = {x + y + z − t = 0, z = 2}. Si ha:

Un sistema omogeneo di 5 equazioni in 3 incognite: a non ha soluzione ; b ha sempre almeno una soluzione; c ha soluzione solo in certi casi; d ha sempre una soluzione

3. a · 0 = 0 per ogni a 2 R 4. ( a) = a per ogni a 2 R 5. a · ( 1) = a per ogni a 2 R

Provare la seguenti propriet` a utilizzando i soli assiomi algebrici dei numeri reali ed eventualmente le propriet` a che la precedono.. Risolvere gli esercizi 1-4 del libro

colonna 1 colonna 2 colonna 3 colonna 4 colonna 5

Esercizio 2: In modo analogo a come effettuato nell’Esercizio 1, si considerino le seguenti coppie di valori reali x, y ∈ R.. Si costruisca uno

4 3 2 1 # _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 3 2 1

2 Completa le frasi in modo da ottenere periodi contenenti una subordinata soggettiva9. che non tutti

12.1) Nello spazio vettoriale reale R 4 considera i vettori v 1 = (1, 2, 1, 1), v 2 = (1, 0, 2, 0), v 3 = (1, 1, 0, 0).

Geometria 1 a.a.. 12.8) Discuti l’esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro

2 4 3 4 2 1 2 3 1 2 4 4 4 3 2

L’obiettivo è collegare ogni isola con ponti orizzontali o verticali in modo che abbia un numero di ponti corrispondente al numero dato e si formi un percorso che colleghi