1. Nello spazio vettoriale M

Esame di geometria 1 — 6 Maggio 2019

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

1. Nello spazio vettoriale M

(R) delle matrici quadrate di dimensione 2 a coefficienti in R si considerino la matrice M

:=  1 + k 1 + k

1 1 + k



e i sottosazi vettoriali

V

:=  2 1 3 0



,  0 0 1 0



,  0 1 + 2k 0 0



e

U

:= {A ∈ M

(R) tali che AM

= −

(AM

)}.

Si consideri inoltre l’applicazione lineare

f

: M

(R) → M

(R) tale che f

(A) = AM

+

(AM

).

(a) Si determinino i k ∈ R per i quali U

ha dimensione 1 e V

+ U

ha dimensione 4.

(b) Si determinino la dimensione e una base di ker(f

) e di Im(f

).

(c) Si determinino le dimensioni di ker(f

) ∩ Im(f

) e di ker(f

) + Im(f

).

(d) Per k = −1, si determini una base di ker(f

) ∩ Im(f

) e la si completi a una base di ker(f

) + Im(f

).

2. Sia W := {p(x) ∈ R

[x]|p(−1) = 0},

(a) si determini se esiste unica, al variare di k ∈ R, l’endomorfismo F

: W → W tale che

F

(x

+x

) = x

+x, F

(x

+x) = −kx

+x

+(k+1)x, F

(x+1) = −kx

+(1−k)x

+(k+1)x+k.

(b) in tali casi, si calcoli una matrice rappresentativa dell’endomorfismo F

e se ne studi la diagonalizzabilit` a.

(c) Si dica per quali k F

` e invertibile e si calcoli F

(x

− 1).

(d) Si estenda F

a un’applicazione lineare H : R

[x] → W , ponendo H(1) = x

− 1, se ne trovi una matrice rappresentativa e si determini la controimmagine di x

− 1 mediante H.

3. Nello spazio affine reale A

, si considerino le rette r, s e t, aventi rispettivamente equazioni cartesiane:

 2x + y − 3z = 0

x − 3y + z = 0 ;  2x + y − 3z + 1 = 0

x + 4y − 4z + 1 = 0 ;  2x + y − 3z − 1 = 0 2x − 2y − z = 0 . (a) Determinare la posizione relativa delle tre rette.

(b) Individuare, mediante la sua equazione cartesiana, il piano ω, passante per r e paral- lelo a s e t.

(c) Stabilire se esiste una retta l, avente intersezione non vuota con tutte le tre rette r, s

e t : in caso negativo, dimostrare che una retta sifatta non esiste: in caso affermativo,

esibire tre punti allineati A ∈ r, B ∈ s e C ∈ t.