1 Problema - 10P

Esercizio 6.13

Si trascina una cassa sul pavimento mediante una corda attaccata alla cassa ed inclinata di 15^◦sopra l’orizzontale. Se il coefficiente d’attrito statico `e 0.5, qual’`e il modulo della forza minima necessaria a smuovere la cassa? Se il coeff. µ_d= 0.35 e la massa della cassa `e M=67 kg, qual’`e l’acc. della cassa?

x : F cos 15^◦−Fs= M a n

y : +F sin 15^◦+ N − M g = 0

alla partenza a=0 e Fs= µsN

F cos 15^◦−µsN = 0 n

N = Mg − F sin 15^◦

F cos 15^◦ − µs(M g − F sin 15^◦) = 0 ⇒ F cos 15 + µsF sin 15 = µsM g F_min= _{cos 15+µ}^µsMg

ssin 15) = 300 NAppena il blocco inizia a muoversi µ_s →µ_d a moto iniziato si ha

T cos 15 − µdN = M a N = M g − T sin 15 ⇒ T cos 15 − µ_d(M g − T sin 15) = M a ⇒ a = T cos 15 − µ_dM g + µ_dT sin 15

M ⇒a = 1.3m/s²

Problema 6.20 (Halliday)

F

fa

Una forza F parallela ad una superficie in- clinata di 15^◦rispetto al piano orizzontale agisce su un blocco di peso 45 N appoggia- to su di essa. I coefficienti di attrito tra blocco e piano inclinato sono µs = 0.5 e µ_d = 0.34. Se il blocco `e inizialmente fer- mo, determinare modulo direzione e verso

Nicola GigliettoA.A. 2017/18

della forza d’attrito per i seguenti valori di F: a) F=5 N; b) F=8 N; c) F=15 N.

Nota: la forza di attrito statico nel diagramma delle forze, la aggiungia- mo per ultima: il suo verso deve essere tale da mantenere tutto fermo. Dal diagramma delle forze su ha:

y : N − mg cos θ = 0 ⇒N = mg cos θ x : +fa−F − mg sin θ = 0

Per cui si ottienefa,s= F + mg sin θche `e vera purch`e risulti fa,s ≤fs,max= µsN Dalla prima equazione ricaviamo N: N = mg cos θ = 45 cos 15^◦ = 43.5 N per cui fs,max = µsN = 21.73 N Per cui alla domanda a) risulta fa,s= F + mg sin θ = 5 + 11, 65 = 16.7 N≤21.73 NPer cui alla domanda b) risulta fa,s = F + mg sin θ = 8 + 11, 65 = 19.7 N≤21.73 N Per la domanda c) invecefa,s> 21.73 Nper cui l’oggetto si `e messo in moto e di conseguenza l’attrito `e diventato dinamico: f_d= µ_dN = 0.35·43.5 = 15.5 N Problema 6.22 (Halliday)

Due blocchi sono collegati tra loro come in figura, attraverso una puleggia.

La massa A sul piano inclinato di 30^◦ha massa 10 kg e il coefficiente d’attrito dinamico `e µd= 0.2. Se la massa A scivola lungo il piano inclinato con velo- cit`a costante, qual’`e il valore della massa B?

B A

Possiamo dire che dalla condizione v=cost⇒ a = 0 per cui tenendo conto che la forza di attrito ha verso opposto alla velocit`a si ottiene:

x : +T + µdN − mag sin θ = 0 A

y : +N − mag cos θ = 0

Da cui si ottiene l’equazione:

+T + µd(mag cos θ) − mag sin θ = 0 (1)

B T − m_bg = 0 ⇒ T = m_bg (2)

Per cui sostituendo la eq.(2) nell’eq.(1) si ha mbg/+µdmag/cos θ−mag/sin θ = 0 da cui ma= 3.3kg

6.25 (6.29 VI ed)

Due blocchi sono come in figura con m=16 kg, M=88 kg e con coeff. d’attrito statico tra i due blocchi pari a µs = 0.38. La superficie su cui poggia M `e priva d’attrito. Qual’`e la minima intensit`a di F necessaria a tenere m contro

M?

La forza d’attrito coinvolta `e quella tra i due blocchi occorre quindi visualizzare la reazione normale al piano di contatto Il diagramma delle

forge agenti su m `e :

m

mg

F f^s N

Nella situazione di massimo attrito si ha quindi:

x : +F − N = ma y : +µsN − mg = 0 Per cui si ottiene µ_sN = mg ⇒ N = ^mg_µ

s Sul blocco M invece agisce solo N (sull’asse x e non vi sono forze attrito su x): N = Ma ⇒ ^mg_µs = Ma quindi

otteniamo a = _Mµ^mg_s da cui sostituendo nella prima eq. si ha F − N = ma ⇒ F −^mg_µs = m_Mµ^mg_s Fmin= ^mg_µs + _Mµ^m2g_s = ^mg_µs (1 +_M^m) =488 N

Esercizio 6.19 (VI-ed)

Il corpo A in figura pesa 102 N, mentre B pesa 32 N.b I coefficienti di attrito tra A e il piano inclinato sono µs = 0.56 e µd = 0.25. L’angolo θ = 40^◦. Trovare l’accelerazione a del sistema quando a) A `e inizialmente fermo; b) A in moto in salita; c) A in moto in discesa.

Nicola GigliettoA.A. 2017/18

Diagramma delle forze: A

T

P fs

La forza d’attrito deve essere statica all’inizio e ha un verso tale da opporsi al moto Nella situazione di massimo attrito si ha quindi (con a=0):

x : +T + µsN − MAg sin θ = MAa y : +N − Mag cos θ = 0

Per cui si ottiene T + µsMAg cos θ − MAg sin θ = MAa Dal corpo B ot- teniamo T − MBg = −MBa (in segno perch`e i versi dei due sistemi sono discordi) Risolvendo si ottienea = <sup>(MB+µSM</sup><sub>M</sub><sup>A</sup><sub>A</sub><sup>cos θ−M</sup><sub>+MB</sub> <sup>Asin θ)g</sup> Ma il risultato se vedete viene a > 0 cosa che non pu`o essere perch`e l’attrito diventerebbe motore. Pertanto l’attrito statico non sar`a massimo ma tale da elidere le altre forze ⇒a = 0 b) Il blocco viene spinto in alto quindi l’attrito `e dinamico e direzione verso il basso:

+T − µdMAg cos θ − MAg sin θ = MAa T = MBg − MBa ⇒ a = (MB−MAµ_dcos θ − MAsin θ)g

M_A+ M_B a=-3.9 m/s² c)a=-1.0 m/s²

3.24 Mazzoldi

Una massa m₁=1kg `e posta sopra una mas- sa m<sub>2</sub>=2.5kg. Le due masse sono collegate da una fune inestensibile. Una terza massa m3=5kg `e collegata come in figura a m2. Il coeff d’attrito dinamico `e 0.3 per tutte le su- perfici in contatto. Calcolare a e le tensioni delle funi.

Facciamo il diagramma delle forze di ognuno degli oggetti

( N₁ = P₁

+f_d,1−T₁ = M₁a₁

( N₂−N₁−P₂= 0 +T₂−T₁−f_d,1−f_d,2 = M₂a₂ da cui

( N₂= (M₁+ M₂)g

+T₂−T₁−µ_d,1N₁−µ_d,2N₂ = M₂a₂

+T₂−M₃g = M₃a₃ a cui si aggiunge la condizione del filo inestensibile: a₁= −a₂ e a₃= −a₂ di conseguenza si ha:

( −T₁+ µdM₁g = −M₁a₂

−T₁+ T₂−µd(M₁+ M₂)g − µdM₁g = M₂a₂ T2−M3g = −M3a2

Che porta alla soluzione:

M₃g − µd(3M₁+ M₂)g = (M₁+ M₂+ M₃)a₂⇒a2 = 3.86m/s² e T₁ = 6.8N T₂= 29.7N

1 Problema - 10P

Problema 6-10P

Un blocco di massa 2.5 Kg `e inizialmente fermo su una superficie oriz- zontale. Al blocco si applicano una forza orizzontale di intensit`a 6.0 N ed una verticale F, come in figura. I coefficienti di attrito tra blocco e superfi- cie sono:µs= 0.40 e µ_d= 0.25. Determinare modulo direzione e verso della forza di attrito agente sul blocco se il modulo di F vale: (a) 8.0 N; (b) 10N;

(c) 12N.

Nicola GigliettoA.A. 2017/18 2 PROBLEMA - 38P

2 Problema - 38P

Un ciclista pedala su una pista circolare di raggio 25.0m alla velocit`a costante di 9.0 m/s. La massa complessiva del ciclista e della bicicletta `e 85.0 Kg.

Calcolare l’intensit`a (a) della forza di attrito esercitata dalla pista sulla bicicletta; (b) della forza netta esercitata dalla pista sulla bicicletta.

Problema 4.11 Mazzoldi

m1

m2 v

Su un piano orizzontale `e appoggiata una piastra di massa m<sub>2</sub> ferma. Il coef- ficiente di attrito tra massa e piano `e µ2. Sulla piastra viene posto un corpo di massa m₁ che si muove con velocit`a iniziale v. Il coefficiente di attrito tra corpo e piastra `e µ₁. Quale relazione deve esserci tra i coef- ficienti di attrito affinch`e la piastra possa muoversi? Assumendo µ1 = 0.6, µ2 = 0.2 v=3m/s m₁ = 2 kg m₂ =3 kg, determinare percorsa dal corpo rispetto la piastra prima di fermarsi. [sol.0.689m]